1、归纳—猜想—论证（高三复习课）
打开课件时请先安装几何画板
教学目标
1.经历“归纳—猜想—论证”的思维过程，领会“归纳—猜想—论证”的思想方法.
2.发展学生的归纳猜想能力，提高演绎论证能力，体会归纳与演绎的辩证与统一.
3.通过实验、观察、尝试，培养学生的科学探究能力.
教学重点
“归纳—猜想—论证”的思维方法.
教学难点
“归纳—猜想”能力的培养．
教学过程
一. 复习“归纳—猜想—论证”的思想方法（我们先看这样一个问题）
【引例】观察下列等式，你可以归纳出一个更一般的结论吗？（大家想想）
2、
【学生】
【教师】这个等式很简洁、很美，这么漂亮的等式用什么方法证明呢？（数学归纳法）
证明：1. 当时，猜想成立.
2. 假设时，
则当时，
所以，时猜想也成立.
综上，对任意的猜想都正确.
【问题】如果直接给你这样一个问题 .若不能直接完成，你又该怎么做？
【教师】为了探求一般规律，先考察一些简单的特例，进行归纳，形成猜想，然后设法证明猜想的正确性，这样解决问题的想法就是“归纳—猜想—论证”的思想方法（今天我们复习“归纳—猜想—论证”，直接点题）.
二．应用“归纳—猜想—论证”的思维方法解决问题
【例1】设定义
3、在上的函数，如果
，那么
.
【问题】这是去年浦东新区一模第13试题，也是一个和正整数有关的问题，如何解答？
【教师】需要强调：因为归纳猜想的结论不一定正确，所以我们一定要尽可能地利用证明验证猜想的正确性，由于这道题目证明方法比较巧妙，我给大家留下充足的时间课后思考、探讨，下节课我们相互交流.
【教师】到目前为止，我们应用“归纳—猜想—论证”的思想方法解决的都是与数列有关的问题，那么，是不是这种方法只能解决与数列有关的问题呢？（不是！学生斩钉截铁回答的背后很大程度上是直觉在说话，而后面【例2】的解答才给予学生充分的底气）下面，我们尝试应用“归纳—猜想—论
4、证”解决一个看起来和正整数无关的问题（自然过渡）.
【例2】在空间直角坐标系中，满足条件的点构成的空间区域的体积为，（分别表示不大于的最大整数），则 .
（1）高斯和高斯函数简介：见课件.
【教师】点评：空间问题有时比较复杂、比较抽象，这时我们可以简化问题，先研究直线、平面上的情况，再归纳猜想空间的情形，这就是“归纳—猜想—论证”的思想方法(再次点题).
三．小试牛刀（下面我们做几个练习）
【1】设是空间中给定的个不同的点，则使
成立的点的个数为 （ ）.
A．0 B．1 C． D．
【2】在
5、行列矩阵中，记位于第行第列的数为. 若为正奇数，则 .
【问题】若用数学归纳法证明上面的猜想，在第二步，假设（，是正奇数）时，猜想成立，则当 .时，要证明的等式是 .
四．小节提升
1. “归纳—猜想—论证” 是把解答问题转化为证明问题的方法，核心是把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，蕴涵着简化问题的思想.
2.需要注意的问题是：归纳猜想后，只有证明了我们才可以肯定猜想的正确性.
3. “归纳—猜想—论证”，是人们探究（数学）问题最基本的方法，所以可以用它来解决各类问题（如这节课解决的几何、向量、矩阵等问题），它完美地把
6、归纳猜想和演绎论证统一了起来.
最后，送大家一句名言：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现！
作业设计
作业设计
【1】数学上有一个著名的猜想：哥德巴赫猜想，大家可以上网找找，看看我国的数学家做了哪些贡献？
【2】在数列中，. 若，则数列的通项公式是 .
【3】函数．项数为27的等差数列满足，且公差≠0．若，则当 时，．
【4】 画高斯函数的图像.
【5】设n阶方阵，
任取中的一个元素，记为；划去所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成阶方阵，任取中的一个元素，记为；划去所在的行和列，……；将最后剩下的一个元素记为，记，则，
7、则=______________.
【6】在三角形ABC内有任意三点不共线的2008个点，加上A、B、C三个顶点，共有2011个点，把这2011个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成的小三角形的个数为______________.
【7】在空间直角坐标系中，满足条件的点构成的空间区域的体积为，（分别表示不大于的最大整数），则 .
【思考】我们知道的重心把三角形的中线分成两个部分.在三棱锥中也有类似的重心的点，此点我们叫三棱锥的重心.三棱锥的重心把三棱锥的中线（顶点与对面重心的连线）分成的比例为 . 若，则三棱锥的重心的坐标是 .
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