方程的根与函数的零点-说课稿.doc

3.1.1方程的根与函数的零点（说课稿）
一、教材分析
• 本节课处于第一节课时,为接下来的二分法做好扎实的基础。同时本节课是连接代数与解析几何的一个纽带，能够促进学生更好的形成数形结合的思想。对今后的学习具有不可替代的作用。
• 学生在以往已经对一元一次以及二次方程的性质有所了解，学习本课难度不大
教学重点
1.根据二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程根的个数
2。函数零点的概念
3.函数零点存在性的判定方法
教学难点

• 函数零点的概念
• 函数零点存在性的判定方法
二、教学目标
1、知识与技能
会数形结合的理解方程的根、函数的图像与X轴的交点与函数的零点之间的关系；
会用函数图象的交点解释相应的方程的根的意义
理解函数零点存在的条件
2、过程与方法
通过数形结合，类比归纳出一元二次方程的根与交点的关系；
理解方程的根、函数的图像与X轴的交点与函数的零点之间的相互转换的数学思维。
3。情感态度与价值观
从方程的根、函数的图像与X轴的交点与函数的零点之间的关系感受数学的统一性与完美性；
结合数形结合,函数与方程相互转换的而数学思想体验从由具体到抽象、由特殊到一般的认识事物的意识 。
三、教学法选择
教法：启发式教学

学法：归纳类比，特殊到一般，自主探究
四、教学设计
1、课题导入
三次方程的Cardano公式与四次方程的Ferrari公式诞生后，世界上许多数学家与数学爱好者寻求一般五次方程求根公式，但迟迟没有得到解决。大约三百年之后，在1824年，挪威学者Abel终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。这就是著名的Abel定理
设计意图：由数学史导入课题，生动有趣,且富有启发性,并为接下来的讲授做好铺垫。同时点明了本节课的目的与作用。从一开始就调动学生的积极性。
2、一元二次方程根与函数图像的关系
教师在黑板上写下这3个方程‘
观察以下3个具体的一元二次方程及其对应的函数
(1)y=x2+2x-3与x2+2x—3=0
(2)y=x2+2x+1与x2+2x+1=0
（3)y=x2+2x+3与x2+2x+3=0
问题
1、一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系?
2、从上面三个实例中得到一般的一元二次方程的实根与相应的二次函数与x轴交点横坐标的关系吗

设计意图：
从图形可知选择这3个方程的目的所在。它们分别代表着1个、2个、0个根的一元二次方程。方程简单,图形直观.对于学生的启发具有积极作用。而且这2个问题从根本上紧扣着本节课的重点知识点，好的问题往往能启发学生的思维。学生带着这2个问题去思考，目的明确。不难得出接下来的结论.使学生具有一种成就感。

之后老师可以以第一个为例作出图形并求出函数的根.同时解答问题。接下来可以借助多媒体把所有的都列表出来。

设计意图：通过直观的对比，学生很容易看出方程的根与函数在X轴的交点之间的关系，激发学生的学习兴趣.

结论:
二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。
于是方程的根与函数图像x轴交点个数一样。以前我们知道对于一元二次方程的根可由△与0的大小比较来刻画，于是函数图像x轴交点个数便可通过△来刻画.

设计意图:通过前面的探究,学生已然得出结论。此时教师再把结论板书到黑板上。用比较精确地数学表达出来，同时加深学生对结论的理解，为接下来的推广做好铺垫。

推广结论：一般地,二次函数y=ax2+bx+c (a≠0）的图象与x轴交点和相应一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根有何关系？（以a〉0为例，a〈0类似）

结论: 二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根

设计意图：有了前面的基础，推广本结论便顺理成章。至此已将要讲授的结论推广到最一般的形式.并且通过△来刻画.使学生感受到数学的统一性,激发学习兴趣.

3、函数零点
定义：
对于函数y=fx)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。
比如2是使得x-2=0，因此2是y=x—2的零点。
注意：零点是一个数，而不是一个坐标。
不能说（2,0)是y=x—2的零点

设计意图：由于零点的概念比较重要且学生易错，因此在讲完概念后先举个例子使学生容易理解。同时用一个错例来避免学生走入误区

方程f（x）=0有实数根
函数y=f（x）的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
得出这个结论后我将提问:“由上面可知要求方程的根即是求其对应的函数的零点。对于那些不能由求根公式求出根的方程时该怎么办？”

设计意图：本问具有承上启下的作用，启发学生用所学知识去思考,同时引出下面的探究。
4。探究：
请同学们观察函数f(x）=x²-2x-3的图象，并计算f（—2）与f(1)的乘积, f(2)与f(4)的乘积,有什么特点？
2 1
-1
-2
-3
-4
y=x²-2x-3
-2
-1
1
2
3
4

学生不难得出:f(—2)×f(1）〈0，函数f(x)=x²—2x-3在区间(—2，1）内有零点x=1，
它是方程x²—2x—3=0的一个根
同样的，f（2）×f（4)〈0，函数f（x)=x²-2x-3在区间（2，4)内有零点x=3，它是方程
x²—2x-30的另一个根.
设计意图：通过自主探究的方式可以加深课堂的趣味性，同时会加深学生对该定理的理解，为下面的函数的零点存在性定理做好基础
5函数的零点存在性
一般地，如果函数y =f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f（a)×f（b)<0，那么,函数y=f（x）在区间（a ,b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c)=0，这个c也就是方程f（x)=0的根。
提醒学生注意定理中连续不断的重要性。
之后问：请观察这两个图形说明为什么它们不满足函数的零点存在性定理?

设计意图：连续不断是函数的零点存在性定理中一个必不可少的条件。用两个反例来说明这个问题。简洁明了，印象较深刻。
6。例题1 求函数f(x）=lnx+2x－6的零点个数解：用计算器或计算机作出x、f（x)的对应值表（表3-1)和图象（图3。1-3）

x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9

由表3—1和图3.1-3可知f（2）〈0，f(3)〉0,即f（2）·f(3）<0，
说明这个函数在区间（2，3)内有零点。由于函数f(x）在定义域（0，+∞)内是增函数,所以
它仅有一个零点。
提问：
• 这个函数的单调性？(口头证明）
• 你怎样解释该函数的根的情况？
设计意图：通过本题的训练学生可以较好的掌握函数的零点存在性定理.本题采用与信息技术相结合的方式，可以叫直观的得出结论加深印象。同时希望通过这2个提问，使学生达到学以致用的目的。

7.练习
1。作出函数的图像，并指出其零点所在的大致区间 f（x)=—x3—3x+5
2.求证：方程5x2-7x—1=0的一个根在区间(—1，0）内，另一个根在区间（1，2)内.
3。 .函数 的零点所在的大致区间是（ B )
A.(1，2） B.(2，3）
C.(3，4） D。（4,5）

4。.已知函数 有一个零点为2，则函数g（x）=bx2-ax的零点是（D)
A。0和2 B。2和 1 C.0和1 D.0和—0.5
设计意图：通过4个难度逐渐增加的练习来巩固所学内容。
8。小结

1、二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。
2、方程f（x)=0有实数根
函数y=f（x）的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
3、如果函数y =f(x)在区间［a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)×f(b）<0，那么,函数y=f（x)在区间(a ,b）内有零点

9.板书

10.作业
课本P88：1（4） 2（1)
设计意图：作业比较简单但是却包含着本节课最重要的知识点，学生最重要的是要掌握本节课所学的，再通过练习巩固一下。