函数的基本性质模拟题.docx

4.函数的基本性质

1.(2016·北京)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是(　　)
A.y＝ B.y＝cos x
C.y＝ln(x＋1) D.y＝2－x
2.(2016·山东)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)＝(　　)
A.－2 B.－1 C.0 D.2
3.(2016·全国Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝(　　)
A.0 B.m C.2m D.4m
4.(2016·北京)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________.
5.(2016·四川)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0B. 奇函数，且在(0，1)上是减函数
C. 偶函数，且在(0，1)上是增函数
D.偶函数，且在(0，1)上是减函数
2.(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A.y＝ B.y＝(x－1)2
C.y＝2－x D.y＝log0.5(x＋1)
3.(2014·陕西)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是(　　)
A.f(x)＝x B.f(x)＝x3
C.f(x)＝ D.f(x)＝3x
4.(2014·新课标全国Ⅱ)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)
A.(－∞，－2] B.(－∞，－1]
C.[2，＋∞) D.[1，＋∞)
5.(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________.
6.(2014·新课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.
考点2　函数的奇偶性
7.(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)
A.y＝cos x B.y＝sin x
C.y＝ln x D.y＝x2＋1
8.(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A.y＝x＋ex B.y＝x＋
C.y＝2x＋ D.y＝
9.(2015·福建)下列函数为奇函数的是(　　)
A.y＝ B.y＝|sin x|
C.y＝cos x D.y＝ex－e－x
10.(2015·山东)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为(　　)
A.(－∞，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，＋∞)
11.(2014·重庆)下列函数为偶函数的是(　　)
A.f(x)＝x－1 B.f(x)＝x2＋x
C.f(x)＝2x－2－x D.f(x)＝2x＋2－x
12.(2014·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
13.(2014·广东)下列函数为奇函数的是(　　)
A.y＝2x－ B.y＝x3sin x
C.y＝2cos x＋1 D.y＝x2＋2x
14.(2014·大纲全国)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝(　　)
A.－2 B.－1 C.0 D.1
15.(2014·湖南)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A.－3 B.－1
C.1 D.3
16.(2014·湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
17.(2014·湖南)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝______
考点3　函数性质的综合应用
18.(2015·浙江)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有(　　)
A.f(sin 2x)＝sin x B.f(sin 2x)＝x2＋x
C.f(x2＋1)＝|x＋1| D.f(x2＋2x)＝|x＋1|
19.(2015·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D.∪
20.(2014·湖南)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是(　　)
A.f(x)＝ B.f(x)＝x2＋1
C.f(x)＝x3 D.f(x)＝2－x
21.(2014·四川)已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1，1).现有下列命题：
①f(－x)＝－f(x)；②f＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|.
其中的所有正确命题的序号是(　　)
A.①②③ B.②③
C.①③ D.①②
22.(2014·湖南)已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)
A. B.(－∞，)
C. D.
23.(2014·新课标全国Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.

1.(2015·广东惠州模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，1)上单调递减的函数为(　　)
A.y＝ B.y＝lg x
C.y＝cos x D.y＝x2
2.(2015·山东临沂模拟)下列函数为偶函数的是(　　)
A.y＝sin x B.y＝ln(－x)
C.y＝ex D.y＝ln
3.(2015·山东日照模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log3 5)的值为(　　)
A.4 B.－4
C.6 D.－6
4.(2016·湖北七校联考)已知函数f(x)＝则f(3)的值为________.
5.(2016·辽宁沈阳模拟)下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是(　　)
A.y＝2x B.y＝2|x|
C.y＝2x－2－x D.y＝2x＋2－x
6.(2015·山东潍坊模拟)若函数f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.
7.(2016·芜湖马鞍山一模)已知f(x)是R上的奇函数，f(1)＝1，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 015)＋f(2 016)＝________.
8.(2015·辽宁沈阳模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x≤－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数f(x＋8)为偶函数，则(　　)
A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9)
C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)
12.(2016·湖南雅礼中学模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是________.
13.(2015·广东揭阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)、f(x－1)都是奇函数，则(　　)
A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数
C.f(x＋5)是偶函数 D.f(x＋7)是奇函数
14.(2016·云南昆明七校联考)已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若对任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，3]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________.
15.(2016·广东汕头模拟)已知函数①f1(x)＝；②f2(x)＝(x－1)·；③f3(x)＝loga(x＋)，(a>0，a≠1)；④f4(x)＝x·，(x≠0)，下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是(　　)
A.都是偶函数
B.一个奇函数，一个偶函数，两个非奇非偶函数
C.一个奇函数，两个偶函数，一个非奇非偶函数
D.一个奇函数，三个偶函数
162016·河南八市模拟)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点.设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)有下列判断：①函数y＝f(x)是偶函数；②对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2)；③函数y＝f(x)在区间[2，3]上单调递减；④f(x)dx＝.其中判断正确的序号是________.

17.(2015·山东菏泽模拟)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；③对于任意的x1，x2∈[0，1]，且x1f(x2).则ff(2)，f(3)从小到大排列是________.
18.(2016·江西赣中南五校模拟)有下列4个命题：
①若函数f(x)定义域为R，则g(x)＝f(x)－f(－x)是奇函数；②若函数f(x)是定义在R上的奇函数，∀x∈R，f(x)＋f(2－x)＝0，则f(x)图象关于x＝1对称；③已知x1和x2是函数定义域内的两个值(x1f(x2)，则f(x)在定义域内单调递减；④若f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)也是奇函数，则f(x)是以4为周期的周期函数.
其中，正确命题是________(把所有正确结论的序号都填上).
19.(2015·杭州七校模拟)已知函数f(x)＝x2＋(x－1)·|x－a|.
(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；
(2)若函数f(x) 在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)若a<1且不等式f(x)≥2x－3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围.
20.(2015·四川乐山模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x≥0时，
f(x)＝－x＋1.
(1)求f(－1)的值；
(2)设f(x)的值域为A，函数g(x)＝的定义域为B.若B⊆A，求实数a的取值范围.

4.函数的基本性质
【三年高考真题演练】
[2016年高考真题]
1.D　[y＝与y＝ln(x＋1)在区间(－1，1)上为增函数；
y＝cos x在区间(－1，1)上不是单调函数；y＝2－x＝在(－1，1)上单调递减.]
2.D　[当x>时，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，
∴T＝1，∴f(6)＝f(1).当x<0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，
f(－x)＝－f(x)，∴f(2)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.]
3.B　[由题f(x)＝f(2－x)关于x＝1对称，函数y＝|x2－2x－3|的图象也关于x＝1对称，因此根据图象的特征可得i＝m，故选B.]
4.2　[f(x)＝＝1＋，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则f(x)最大值为f(2)＝＝2.]
5.－2　[首先，f(x)是周期为2的函数，所以f(x)＝f(x＋2)；
而f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，
所以：f(1)＝f(－1)，f(1)＝－f(－1)，即f(1)＝0，
又f＝f＝－f，f＝4＝2，
故f＝－2，从而f＋f(1)＝－2.]
6.－　[由已知f＝f＝f＝－＋a，
f＝f＝f＝＝.
又∵f＝f，则－＋a＝，a＝，
∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＋＝－.]
[两年经典高考真题]
1.A　[易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln＝ln，由复合函数单调性判断方法知f(x)在(0，1)上是增函数，故选A.]
2.A　[显然y＝是(0，＋∞)上的增函数；y＝(x－1)2在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y＝2－x＝在x∈R上是减函数；y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数.故选A.]
3.D　[根据各选项知，选项C、D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y).又f(x)＝3x是增函数，所以D正确.]
4.D　[因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x＞1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立.因为x＞1，所以0＜＜1，所以k≥1.故选D.]
5.　[由题可得f(x)<0对于x∈[m，m＋1]恒成立，即解得－0.f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，若f(x－1)>0，则－1数、偶函数、偶函数，故选A.]
9.D　[由奇函数定义易知y＝ex－e－x为奇函数，故选D.]
10.C　[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，整理得(1－a)(2x＋1)＝0，
∴a＝1，∴f(x)＞3即为＞3，化简得(2x－2)(2x－1)＜0，
∴1＜2x＜2，∴0＜x＜1.]
11.D　[函数f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B；选项C中f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以f(x)＝2x－2－x为奇函数，排除选项C；选项D中f(x)＝2x＋2－x，则f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2－x为偶函数，故选D.]
12.C　13.A　14.D
15.C　[用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.]
16.B　[由题意得，若a＝0，f(x)＝x，显然成立；
若a≠0，当x≥0时，f(x)＝作出x≥0的图象，利用f(x)是奇函数作出整个定义域上的图象如图：

而f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位得到的，要满足对任意实数x，都有f(x－1)≤f(x)，至少应向右平移6a2个单位，所以6a2≤1，解得－≤a≤，且a≠0.
综上，实数a的取值范围是.]
17.－　[由题意得f(－x)＝ln(e－3x＋1)－ax＝ln－ax＝ln(1＋e3x)－ln e3x－ax＝ln(e3x＋1)－(3＋a)x，而f(x)为偶函数，因此f(－x)＝f(x)，即ax＝－(3＋a)x，所以a＝－.]
18.D　[排除法，A中，当x1＝，x2＝－时，f(sin 2x1)＝f(sin 2x2)＝f(0)，而sin x1≠sin x2，∴A不对；B同上；C中，当x1＝－1，x2＝1时，f(x＋1)＝f(x＋1)＝f(2)，而|x1＋1|≠|x2＋1|，
∴C不对，故选D.]
19.A　[由f(x)＝ln(1＋|x|)－，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|).
当x＞0时，f(x)＝ln(1＋x)－，得f′(x)＝＋＞0，所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1，故选A.]
20.A　[由偶函数的定义知，A，B为偶函数.A选项，f′(x)＝－在(－∞，0)恒大于0；B选项，f′(x)＝2x在(－∞，0)恒小于0.故选A.]
21.A　[f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故①正确；因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln，又当x∈(－1，1)时，∈(－1，1)，所以f＝ln＝ln＝2ln＝2f(x)，故②正确；当x∈[0，1)时，|f(x)|≥2|x|⇔f(x)－2x≥0，令g(x)＝f(x)－2x＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x(x∈[0，1))，因为g′(x)＝＋－2＝>0，所以g(x)在区间[0，1)上单调递增，g(x)＝f(x)－2x≥g(0)＝0，即f(x)≥2x，又f(x)与y＝2x都为奇函数，所以|f(x)|≥2|x|成立，故③正确，故选A.]
22.B　[由题意可得，当x>0时，y＝f(－x)与y＝g(x)的图象有交点，即g(x)＝f(－x)有正解，即x2＋ln(x＋a)＝(－x)2＋e－x－有正解，即e－x－ln(x＋a)－＝0有正解，令F(x)＝e－x－ln(x＋a)－，则F′(x)＝－e－x－<0，故函数F(x)＝e－x－ln(x＋a)－在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g(x)＝f(－x)有正解，则存在正数x使得F(x)≥0，即e－x－ln(x＋a)－≥0，所以a≤ee－x－－x，又y＝ee－x－－x在(0，＋∞)上单调递减，所以a)＝f(3)＝3.]
【两年模拟试题精练】
1.C　[首先y＝cos x是偶函数，且在(0，π)上单减，而(0，1)⊆(0，π)，故y＝cos x满足条件.故选C.]
2.D　[y＝sin x与y＝ln(－x)都是奇函数，y＝ex为非奇非偶函数，y＝ln为偶函数，故选D.]
3.B　[由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)＝1＋m＝0⇒m＝－1，f(－log3 5)＝－f(log3 5)＝－(3log3 5－1)＝－4，选B.]
4.　[f(3)＝f(5)＝＝.]
5.C　[A虽为增函数却是非奇非偶函数，B、D是偶函数，对于选项C，由奇偶函数的定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在共定义域内是增函数(或y′＝2xln 2＋2－xln 2>0)，故选C.]
6.1　[∵f(f(1))＝f(0)＝a3＝1，∴a＝1.]
7.－1　[因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.在f(x＋6)＝f(x)＋f(3)中，令x＝－3得f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)⇒f(3)＝－f(3)＋f(3)＝0，知对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)成立，所以奇函数f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(2 015)＋f(2 016)＝f(6×336－1)＋f(6×336)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－1.]
8.B　[f(x)为周期为6的周期函数，且f(1)＝1，f2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，
则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335＝338，故选B.]
9.D　[依题意，对于选项A，注意到当x＝－1时，y＝2；当x＝1时，y＝4，因此函数y＝x3＋3x2不是奇函数.对于选项B，注意到当x＝0时，y＝1≠0，因此函数y＝不是奇函数.对于选项C，注意到当x＝－时，y＝；当x＝时，y＝，因此函数y＝xsin x不是奇函数.对于选项D，由>0得－3f(10)，故选D.]
12.　[∵f(x)为偶函数，∴f(loga)＝f(－log2a)＝f(log2a)，代入f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)得f(log2a)≤f(1)，又∵f(x)为增函数，∴|log2a|≤1，解得≤a≤2.]
13.D
14.[，＋∞)　[依题意得，当x∈[0，1]时，f(x)＝x－单调递增，f(x)的最小值是f(0)＝－1，则要求存在x∈[1，3]，关于x的不等式x2－2ax＋4≤－1，即a≥有解，所以a≥.注意到当x∈[1，3]时，≥＝，当且仅当x＝，即x＝∈[1，3]时取等号，此时＝，所以a≥，则实数a的取值范围是[，＋∞).]
15.C　[①f1x)定义域为(－1，0)∪(0，1)，对∀x∈(－1，0)∪(0，1)，f1(－x)＝＝＝f1(x)，故f1(x)为偶函数.②f2(x)定义域为[－1，1)，故非奇非偶函数.③f3(x)定义域为R，对∀x∈R，f3(－x)＝loga(－x＋)＝loga(－x)＝loga＝loga＝－f3(x)，∴f3(x)为奇函数.④f4(x)＝x·＝.f4(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，对∀x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f4(－x)＝＝＝＝f4(x)，故为偶函数，故选C.]
16.①②④　[从函数y＝f(x)的图象可以判断出，图象关于y轴对称，每4个单位图象重复出现一次，且在区间[2，3]上随x增大，图象是往上的，所以①②正确，③错误；又函数图象与直线x＝0，x＝2，x轴围成的图形由一个半径为、圆心角为的扇形，一个半径为1、圆心角为的扇形和一个直角边长为1的等腰直角三角形组成，其面积S＝×π×2＋×π＋＝，④正确.]
17.f(3)增函数.因为f(3)＝f(2＋1)＝f(1)，在区间[1，2]上，1<<2，所以f(1))＝f(－x－2)⇒f(x－2)＝f(x＋2)⇒f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，故④正确，综上，真命题的序号是①④.]
19.解　(1)当a＝－1时，有f(x)＝
当x≥－1时，2x2－1＝1，解得：x＝1或x＝－1，
当x<－1时，f(x)＝1恒成立，
∴方程的解集为：{x|x≤－1或x＝1}.
(2)f(x)＝
若f(x)在R上单调递增，则有解得：a≥.
(3)设g(x)＝f(x)－(2x－3)，
则g(x)＝
即不等式g(x)≥0对一切实数x∈R恒成立
∵a<1，
∴当x2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2，∴g(x)≥0恒成立
当x≥a时，∵a<1，∴a<，
∴g(x)min＝g＝a＋3－≥0，得－3≤a≤5，
∵a<1，∴－3≤a<1，
综上：a的取值范围是－3≤a<1.
20.解　(1)∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
则f(－1)＝f(1).
又x≥0时，f(x)＝－x＋1，
所以f(1)＝－1＋1＝，
故f(－1)＝.
(2)由函数f(x)是定义在R上的偶函数，
可得函数f(x)的值域A即为x≥0时，f(x)的取值范围.
当x≥0时，f(x)＝－x＋1为单调递减函数，
所以f(x)＝－x＋1≤f(0)＝2，
故函数f(x)的值域A＝(－∞，2].
又函数g(x)的定义域为B＝{x|－x2＋(a－1)x＋a≥0}＝{x|(x－a)(x＋1)≤0}，
讨论：
①若a<－1，则B＝[a，－1]，显然满足B⊆A；
②若a>－1，则B＝[－1，a]，要使B⊆A，则需a≤2，此时－1