垂径定理公开课优秀教案.doc

24.1.2 垂直于弦的直径
课题
垂直于弦的直径（第一课时）
备课时间
2015-11-25
课型
新授课
授课教师
刘春芳
教
学
目
标
知识与技能
1. 研究圆的对称性,掌握垂径定理.
2. 学会运用垂径定理解决一些有关证明、计算和作图问题。
过程与方法
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。
情感态度价值观
在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。
教学重点
垂径定理及应用。
教学难点
垂径定理的证明。
教具
圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件
教
学
过
程

问题与情境
师生行为
备注与修改
创设情境导入新课
你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，赵洲桥主桥拱的半径是多少？怎样求?学完本节课后就可以解决这个问题了。

两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。

合作交流探究新知
1. 圆的对称性
（探究）不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?
由此你能得到圆的什么特性？
2. 垂径定理
（思考）如图 ：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。
① 这个图形是对称图形吗
② 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。
③ 你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
④ 你能用几何方法证明这些结论吗？
⑤ 你能用符号语言表达这个结论吗？

圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。
教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。
学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。
学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并板书。
教师明确定理中的条件和结论，
垂径定理的内容比较多，且为考察重点，非一课时所能解决，所以此内容最少需两课时来探究。
本节课主要探讨垂径定理。
推论和更深入的应用，放在下一节课进行研究。
灵活应用
提高能力
l 简单应用
设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，弦
心距OD=d且OC⊥AB于D，弓形高CD为h，已知：r、 a、d、h中的任两个可求其
他两个，这种说法对吗？
说明理由。
从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？
l 生活中的应用
如图，是赵州桥的几何示意图，若其中AB是桥的跨度为37.4米,桥拱高CD为7.2米你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗?
提示：此中直角三角形AOD中只有AD是已知量，但可以通过弦心距、半径、拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列出方程。
l 利用垂径定理进行的几何证明
教材第82练习第2题。
简单应用由学生独立完成,教师可让学生自己进行评判.
在典型应用中教师可通过问题设置,引导学生联系弦、半径、弦心距或者拱高等因素，从而构成直角三角形，利用勾股定理解决问题。这也是解决计算问题的主要方法，教师一定要重点重申。
此题是垂径定理计算题中另一种题型，主要利用将垂径定理、勾股定理、方程的知识进行综合应用。
教师在提示后让学生进行小组讨论，然后进行总结，得出结论，让学生做好笔记，养成良好的学习习惯。
本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。
小结升华与作业
l 小结升华
（1） 本节课你学到了哪些数学知识？
（2） 在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？
（3） 这些方法中你又用到了哪些数学思想？
l 作业布置
（1）教材82页练习第1题 88页第11题
（2）分层作业
思考：
在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.（有几种情况）

教师提出问题，学生回顾本节课所学知识，自己进行小结，养成梳理知识的习惯。

垂直于弦的直径
教学设计
初中数学
白水县城关一中
刘春芳
垂直于弦的直径
教学设计
教学目标：1.使学生理解圆的轴对称性 ；2.掌握垂径定理
3.学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题。
过程与方法：通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力2.锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活。
情感、态度与价值观：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。
教学重点：垂径定理及应用
教学难点：垂径定理的理解及其应用
学情分析： 学生在生活中经常遇到圆方面的图形，对本节课会比较有兴趣,并且学过轴对称图形相关知识。同时九年级的同学仍然是比较好奇、好动、好表现的。但在合作交流、探索新知等方面发展的极不均衡。在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异。 
教学用具：圆形纸片，多媒体
教学过程：
一、 创设情景：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，赵洲桥主桥拱的半径是多少？怎样求?学完本节课后就可以解决这个问题了
二、引入新课---揭示课题：
1、运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿直径对折，观察两部分是否重合，通过实验，引导学生得出结论
(1)圆是轴对称图形
(2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴
(3)圆的对称轴有无数条
(4)圆也是中心对称图形.（出示教具演示）。
2、 再请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦 AB；(2)作直径CD垂直弦AB垂足为M。（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB此时的关系，说明直径CD垂直于弦AB的，并设问：垂直于弦的直径它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？
三、讲解新课---探求新知
（1）实验--观察--猜想：　让学生将上述作好的圆沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪些线段相等、弧相等，并得出猜想：在圆O中，CD是直径，AB是弦CD垂直AB于M.那么AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.
（2）证明：引导学生用“叠合法”证明此定理
（3）对定理的结构进行分析
（4）结合图形用几何语言表述
（5）垂径定理的变式
四、定理的应用：
l 简单应用
例1：（2008哈尔滨中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1,则弦AB的长是多少？
从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？
归纳：求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,半径r、弦半a/2、弦心距d,三者构造出一个直角三角形，知道两个量可用勾股定理求出第三个量。
l 生活中的应用
例题2 一千三百年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形.已知桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径长（精确到0.1米）.
五、小结升华
（4） 本节课你学到了哪些数学知识？
（5） 在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？
（6） 这些方法中你又用到了哪些数学思想？
六、作业布置
（1）教材82页练习第1题 88页第11题
（2）分层作业
思考：
在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.（有几种情况）

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