准一维和二维手性材料的力学建模与分析(论文).pdf

摘要手性材料具有特殊的光学、电学、热学和力学性能，具有很好的 应用前景。手性及与其相关的各种手性现象吸引了包括力学在内很多 领域的研究兴趣。围绕手性材料力学性能和行为的研究，对于理解手 性材料的生长和组装、手性纳米器件的创制和多级手性材料的设计和 仿生等有重要的理论和应用价值。本文从力学建模角度，围绕准一维 和二维手性材料的理论模型展开工作，并应用模型对手性材料的稳定 性及拉伸行为进行了分析。本文在Co sserat杆理论框架内利用手性杆的非线性本构关系，建 立了广义Co sserat手性杆模型。应用此手性杆模型作为螺旋结构的等 效一维模型，可以避开三维结构的复杂计算。利用典型手性结构-弹簧 拉伸的实验结果来拟合确定模型中的待定参数，可用于描述螺旋夹杂 的弹性行为。本文在建立的手性杆模型基础上，对手性杆稳定性进行分析。分 别研究了在轴向压力和扭矩作用下的手性杆稳定性问题，给出了失稳 临界载荷及手性杆失稳后的应变情况。本文分析了手性程度及杆的截 面半径对失稳临界载荷的影响，结果表明，在轴向压力和扭矩作用下，拉伸-扭转变形耦合与剪切-弯曲变形耦合对手性杆稳定性具有重要影 响，对其失稳临界载荷有一定的增强或减弱作用。手性杆的半径越小，越容易失稳，其临界载荷越小。对于二维手性材料，本文将非协调协变线弹性理论中的度量应变 引入到应变梯度弹性理论中，建立了手性板的二维度量梯度弹性模型，并应用此手性板模型对手性薄板的拉伸力学行为进行了简单分析。本文所建立的模型可有效地描述准一维和二维手性材料的力学行 为，有助于此类材料的力学性能表征。关键词：手性杆手性板稳定性分析变形耦合ABSTRACTDifferen t wit h gen eral en gin eerin g mat erials,c hiral mat erials have n o n c en t ro symmet ric al pro pert ies,su c h as t he ex t en sio n-t o rsio n c o u plin g an d so me spec ial o pt ic al,elec t ric al,t hermal an d mec han ic al pro pert ies,so t hat t his mat erial has a go o d applic at io n pro spec t.Chiralit y an d c hiral phen o men o n s at t rac t mo re an d mo re at t en t io n o f man y fields in rec en t years.St u dy o n t he mec han ic al pro pert ies an d behavio rs o f c hiral mat erials is sign ific an t t o t he t heo ret ic al researc hes an d prac t ic al applic at io n s fo r u n derst an din g t he gro wt h an d assembly o f c hiral mat erials,t he c reat io n o f c hiral n an o devic es,an d t he design an d bio mimet ic o f mu lt i-level c hiral mat erials.This paper fo c u ses o n t he mec han ic al mo del o f q u asi o n e-dimen sio n al an d t wo-dimen sio n al c hiral mat erials.A gen eralized Co sserat c hiral ro d mo del is c o n st ru c t ed by u t ilizin g t he n o n lin ear c o n st it u t ive relat io n ships o f c hiral ro ds wit hin t he framewo rk o f gen eralized Co sserat t heo ry o f ro ds.The t hree-dimen sio n al c o mplic at e c alc u lat io n c an be avo ided by applin g t he c hiral ro d mo del as t he eq u ivalen t o n e-dimen sio n al mo del o f helic al st ru c t u res.The paramet ers o f t he c hiral ro d mo del c an be det ermin ed t hro u gh t he resu lt s o f sprin gs t en sio n t est s,an d t he mo del c an be u sed t o desc ribe elast ic behavio rs o f helic al in c lu sio n s.Based o n t he c o n st ru c t ed c hiral ro d mo del,t he st abilit y o f c hiral ro d is an alyzed.The wo rk st u dies t he st abilit y pro blems o f c hiral ro d lo aded wit h ax ial c o mpressio n an d t o rsio n,an d gives t he in st abilit y c rit ic al lo ad an d st rain s aft er in st abilit y.The wo rk also an alyzes t he in flu en c es o f t he c hiral level an d c ro ss-sec t io n radiu s o n t he in st abilit y c rit ic al lo ad.The resu lt s sho ws t hat,u n der t he ax ial t en sio n an d t o rsio n,t he ex t en sio n-t o rsio n c o u plin g an d t he shear-flex u re c o u plin g have an impo rt an t in flu en c e o n t he st abilit y o f c hiral ro ds an d make t he in st abilit y c rit ic al lo ad in c rease o r dec rease.The smaller t he radiu s o f c hiral ro d is,t he mo re likely t o be in st abilit y c hiral ro d is,an d t he smaller t he c rit ic al lo ad is.As fo r t wo-dimen sio n al c hiral mat erials,t he wo rk in t ro du c es t he met ric u sed in t he in c o mpat ible c o varian t elast ic it y in t o t he st rain gradien t elast ic it y,an d c o n st ru c t s a c hiral plat e mo del o f t wo-dimen sio n al met ric st rain gradien t elast ic it y.Then t he c hiral plat e mo del is u sed t o an alyze t he t en sio n behavio rs o f c hiral t hin plat e.The mo dels in t his paper c an effec t ively desc ribe t he mec han ic al behavio rs o f q u asi o n e-dimen sio n al an d t wo-dimen sio n al c hiral mat erials,an d c o n t ribu t e t o t he c harac t erizat io n o f mec han ic al pro pert ies o f su c h mat erials.KEY WORDS:Chiral ro ds,Chiral plat es,St abilit y an alysis,Defo rmat io n c o u plin g目 录第一章绪论.11.1 选题背景与研究意义.11.2 国内外研究现状.21.2.1 手性材料的研究现状.21.2.2 Co sserat杆理论的研究现状.61.2.3 应变梯度弹性理论的研究现状.71.3 本文工作.7第二章 手性杆的广义Co sserat理论模型.92.1 广义Co sserat手性理论模型.92.1.1 手性杆的本构关系.92.1.2 手性杆的变形与应变.122.1.3 静力学平衡方程.152.1.4 用欧拉角表示的平衡方程.172.1.5 平衡方程的解.192.2 典型手性结构：弹簧的拉伸行为.232.2.1 弹簧的等效手性杆模型.232.2.2 基于弹簧单轴拉伸实验的模型拟合.252.3 本章小结.27第三章手性弹性杆的稳定性分析.293.1 手性杆的扰动量方程.293.2 手性杆的材料参数与边界条件.323.3 手性杆在轴向压力作用下的稳定性分析.343.3.1 基本方程组.343.3.2 手性杆的失稳临界载荷分析.393.3.3 手性杆失稳后的应变分析.423.4 手性杆在扭矩作用下的稳定性分析.453.4.1 基本扰动方程组.453.4.2 手性杆的失稳临界载荷分析.473.4.3 手性杆失稳后的应变分析.503.5 本章小结.53第四章手性板的二维度量梯度弹性理论模型.554.1 三维度量梯度弹性理论.554.1.1 基本方程组的推导.554.1.2 应变能密度函数.594.2 手性板的弹性理论.614.2.1 手性板的广义平面应力假设.624.2.2 手性板的应变能密度函数.634.2.3 手性板的应变.644.3 手性板的拉伸行为.654.3.1 手性板的形貌与应变.654.3.2 最小势能原理对变形参数的直接求解.674.3.3 手性板的拉伸行为分析.684.4 本章小结.70第五章总结与展望.71参考文献.73发表论文和科研情况说明.81致 谢.83天津大学博士学位论文第一章绪论1.1 选题背景与研究意义手性，描述了物体不能与其镜像重合的儿何性质川。Lo rd Kelvin 提出的这一“手性”概念应用在数学，物理，化学，生物，光学和材料 工程等众多领域。自然界中的手性广泛存在，体现在不同的尺度上。在宏观尺度，动植物体中具有手性形貌的结构比比皆是，如蜗牛、贝 类动物的壳为螺旋线结构，缠绕植物的茎为螺旋结构，剥开的豌豆荚 为扭转带等；在微纳米尺度，人工合成的Palladiu m纳米弹簧，Zn O 纳米螺旋，DNA分子的双螺旋结构，单一的化学分子等（如图1-1）。另外，手性还广泛地应用于螺纹和弹簧等机械结构、建筑结构和艺术 作品中。图1-1不同尺度上的手性（a.单个化学分子；b.DNA分子的双螺旋结构;c.肽两亲分子；d.长瓣兜兰的花瓣；e.常青油麻藤）手性材料一般由手性分子、螺旋微结构等手性单元组成，通常具 有扭转或螺旋的手性形貌。微结构手性不仅在很大程度上决定着手性 材料的生长和形貌，还对材料的性能有很大影响，手性碳管就是个 典型的例子。根据纽曼对称性原理，微结构的手性对称性，往往使材 料具有特殊的光学、电磁学和力学性能等，如旋光性、电磁场的交 叉极化、超弹性记忆效应等。这些优良的性能使得手性材料在多 个重要领域具有良好的应用前景，如手性反射器，滤波器及圆偏振检 测器，隐身吸波材料口 21，纳米机电系统等。1第一章绪论另外，手性材料的力学性能和行为也不同一般的固体材料。在连 续介质力学中，一般把固体材料当成弹性体，其材料具有中心对称性，可以用偶数阶的张量来描述，对于坐标轴的反转不敏感，即不体现材 料手性。手性材料由于包含有螺旋或扭转夹杂、原子手性排列等，其 材料性能具有非中心对称性口3Hl4,表现为拉伸-扭转等变形耦合。因 此，手性材料具有一些特殊的力学行为，比如含有手性夹杂的弹性细 杆或纤维，很容易扭转成扭转带或螺旋带。开展针对手性材料力学性 能和行为的研究，对于理解手性材料的生长和组装、手性纳米器件的 创制和多级手性材料的设计和仿生等有较重要的理论和应用价值。1.2 国内外研究现状1.2.1 手性材料的研究现状自19世纪以来，手性一直是生物、物理、化学、制药、材料和数 学等领域的重要和基本概念，具有多学科性，但是手性的概念在力学 领域一直未受到重视。近年来，随着对手性高分子材料、DNA、手性 碳管、生物丝等手性材料的关注，手性及与其相关的各种手性现象吸 引了包括力学在内很多领域的研究兴趣。在历史上，人们最开始是把手性与物质的光活性（或旋光性）联 系在一起的。基于手性材料的旋光性，人们通常用测量旋光度来检测 手性。1848年，Past eu r认为介质的旋光性是由手性分子所引起的，手性分子的排列与其镜像不对称，成空间螺旋排列，从而引入了手性 的概念。1920年和1922年，Lin dman口6用微波代替光波，用金属螺旋 线代替手性分子，从而修正了宏观手性模型。几年后，这一模型又被 Pic kerin g进一步修正，从而形成了近代手性体的基本理论。20世纪 50年代，LTin o c。等把铜丝绕成三匝螺线圈使其具有了手性，并埋 入聚苯乙烯中，发现这种混合物在微波段具有旋光色散现象。他们的 工作提示了制造手性材料的一种方法：在普通介质中埋入随机取向分 布的手性微体如小螺线圈等。80年代开始，手性材料对微波的吸收和 反射特性受到了学者们的重视，并开始了相关的应用研究，如新型微 波器件，隐身材料，微波透明天线罩口刃等。手性材料能够减少入射电磁波的反射并能吸收电磁波2,具有独 特的电磁性能23,并能够使用手性参数来描述材料的电磁场交叉极 2天津大学博士学位论文化特征。根据理论分析，可以通过调整手性参数的值来制备无反射吸 波材料2句。日本Mo t o jima S研究小组.卜和西北工业大学王召娣研 究小组印深入研究了微螺旋炭纤维这种手性材料的制备以及其吸波性 能，并应用到雷达隐身技术中去。将手性体加入到非手性基质材料中，复合材料也将获得宏观手性，依靠手性材料的交叉极化效应可以有效 增强基体的电磁屏蔽效应，如手性混凝土 29和手性水泥砂浆3。等。从上世纪90年代，科学家们还将手性与生命起源相联系，即生命 手性体在生存、复制、遗传等方面的生命机制问题。生命分子，如蛋 白质，DNA,RNA或多聚糖等都具有手性性质，由这些分子组成的生 物材料，其高级结构可以反映出分子手性。例如，DNA分子的双螺旋 结构使得它具有拉伸-扭转耦合与弯曲-扭转耦合的力学特性卬。其拉 伸-扭转耦合性质在实验/32和理论33-34方面都有了较为详细的研 究，并在分子聚合中发挥着重要的作用。弯曲扭转耦合是非对称的，影响着DNA分子沿核小体核心颗粒的缠绕方向。To mo hiro Yan ao l等中 研究指出DNA分子的弯扭耦合手性非对称性是决定核小体成形中缠 绕方向的重要因素之一。近两年，有学者在传统弹性模型上做扩展建 立了适合的动力学模型来研究DNA分子的手性(结构)转换问题 36?37o现在DNA分子作为准一维的手性材料仍然是研究的热点。类 似的例子还包括，节肢动物表皮的螺旋状的壳型I、骨骼组织中的胶原 蛋白质3刃、植物细胞壁中的纤维等纲。在这些材料中，扭转的微纤维 间相互旋转，形成了扭转带的结构，另一种典型的手性形貌是螺旋带 结构。对手性材料手性形貌的研究已经引起人们越来越多的关注，自 然或人工合成材料的手性形貌形成与转换机理仍然是一个重要问题。在材料自组装领域，超分子结构的精确控制是一个重要的研究课 题，而在其自组装过程中，往往可以看到两种典型手性形貌之间的转 换，如图1-2所示的肽两亲分子(PA:pept ide amphiphile)在六氟异丙 醇(HFIP：hex aflu o ro iso pro pan o l)中的自组装过程“L Mark S.Spec t o r 等42总结了若干分子自组装的模型，指出手性对分子是否自组装为螺 旋结构具有重要的影响。3第一章绪论图1-2低温TEM（透射电镜）观察肽两亲分子的自组装过程MU研究发现，材料自组装为何种形状是由其组成分子的弹性力、方 向和手性之间的复杂相互作用决定的。Selin ger等使用蒙特卡罗方法模 拟了这种相互作用，指出近距离的手性相互作用导致了复杂手性形貌 的形成，如扭转带和螺旋带形貌43。Ghafo u ri等44研究分析了手性材 料从扭转带到螺旋带形貌之间的连续性屈曲变换，并给出其临界变换 时的FGppl-vo n Kdmidn数。Nyrko va和Semen o v的研究1揭示了手性 表面活性剂的扭转薄膜结构与对映体过剩之间的关系，指出其薄膜层 数随着对映体过剩的增大而减小。Ziserman L.A.46通过低温透射电 镜观察给出了两亲分子聚合过程中，条带宽度与其形貌间的明确关系。Armo n S.等研究了豆荚张开的力学过程，使用胶乳片来模拟豆荚扭转 带结构的形成，并建立了基于非协调弹性理论框架的薄带状模型。手性作为一个几何特征常常出现在纳米材料的研究中，如碳纳米 管47 H48,石墨烯49H5 0等。具有手性形貌的纳米材料在微纳机电系统 和医学工程中具有潜在的应用前景。纳米材料的比面积很大，表面应 力和表面能对于纳米尺度材料和设备的生长，材料性质和物理行为具 有重要影响H5 2。Wan g等5 3H5 5通过实验和理论揭示了表面应力可 诱发纳米材料手性形貌的形成。很多天然及人工合成的材料都具有手性多级结构，对于这类手性 材料来说，手性形貌一般可以看作是由分子层次或纳米尺度上的微结 构手性在宏观尺度上的反映。例如，在手性高分子片晶的生长过程中，4天津大学博士学位论文手性由分子传递到分子链的螺旋构象，然后传递到高分子片晶的扭转 形貌型,见图1-3。手性传递问题在国内外已有了一些初步的研究，Wan g5 6建立了一个连续介质理论模型，研究了准一维纳米材料中山 分子到宏观儿何形貌的手性传递，指出在小尺度下手性同表面效应之 间的协同和竞争是导致材料不对称儿何形貌形成的原因。最近，他们 研究了攀附植物卷须等生物材料手性生长中的多尺度传递现象，通过 实验和理论揭示了宏观的形貌手性来源于亚细胞层次的手性，并建立 了它们之间的定量关系卬。图1-3手性高分子片晶的多尺度结构56手性材料的力学问题也越来越受到人们的重视。例如，Chen和 Dikin g利用AFM悬臂做了碳纳米管线圈的拉伸实验；Zho u等微刃基于 欧拉角形式的形状方程研究了螺旋弹性杆的曲率、应力与扭矩。由于 手性材料中的手性单元具有变形耦合和旋转等多自由度，因此经典弹 性理论不再适用。现有研究中用于描述手性材料力学性能的理论有非 中心对称微极弹性理论和应变梯度弹性理论。Ro deric S.Lakes13-14 提出可以使用非中心对称微极弹性理论来描述手性材料的本构关系。非中心对称微极弹性理论引入了三个手性参数，这一理论能够有效地 描述材料和结构中的手性影响，如碳纳米管与手性杆中的载荷传递现 象60H61,骨的力学性质62,手性体中的波传播问题63M64等。最近，Papan ic o lo pu lo s S.A.65指出应变梯度弹性理论还可以用来描述手性 材料的力学性能，并且与非中心对称微极弹性理论相比，只需引入一 个手性参数。Iean D.利用非中心对称微极弹性理论建立了一维手性杆（或管）的理论模型，分析了手性杆的扭转力学行为.I-和手性管的 压力容器问题68。随后，他又建立了手性微极弹性板模型69,与非手 5第一章绪论性板不同的是，手性板的拉伸和弯曲之间是相互耦合的。现有的理论工作主要着重于理论系统的建立，对于具体问题的研 究不够深入，并且在手性形貌的描述上着墨不多。在现有的这两类理 论工作基础上，本文分别使用引入欧拉角描述的广义Co sserat杆理论 和引入度量的广义应变梯度弹性理论来描述手性杆和手性板的力学行 为。下面分别介绍Co sserat杆和应变梯度弹性理论的研究进展。1.2.2 Cosserat杆理论的研究现状三维空间的弹性细长杆可以看成一条具有截面性质的空间曲线。细长杆不同于传统弹性力学的研究对象，松弛状态下的直杆变形后可 呈现蜿蜒、缠绕、扭结等复杂的几何形态，其平衡和稳定性问题有着 广泛的实际背景，电缆、绳索、钻杆、纤维乃至自然界中攀附植物的 细茎和卷须等都可将弹性细杆作为其力学模型。在Co ss erat理论中，细长杆结构在三维空间的运动和变形可由一 条Co sserat曲线和三条相互垂直的向量矢来描述。Co sserat连续体的 每一个物质点不仅有位移向量场还有转动向量场。Co he/。提出了 Co sserat曲线的静力学非线性理论,A.B.Whit man等L将Co hen的 工作扩展到动力学，并给出了细长杆非线性理论的精确解。An t man7 3 在他的著作中运用该理论的基本思想建立了弹性杆和薄壳的Co sserat 模型。Tu c ker和Wan g。句和Cao等。卜色进一步完善了 Co sserat杆模 型并分别应用于钻柱和MEMS中复杂结构的非线性动力学研究。近年 来，Co sserat杆模型被用于描述纳米管材料的力学性能。Go u ld和 Bu rt o n。，提出使用修正后的Co sserat杆理论来研究具有变截面的单壁 纳米管的力学行为，并假设纳米管是各向同性线弹性的。Chan draseker 等。8则在纳米管的原子结构基础上应用Co sserat杆模型，建立了单壁 纳米管的一维非线性弹性杆模型，该模型克服了原有模型的局限性，可用于研究材料的各向异性和大应变行为。国内学者在Co sserat模型 的发展与应用中也做了很多重要的工作。刘延柱等748。从更偏重于力 学分析的角度得到了任意初始构形圆截面Co sserat杆的动力学方程，并在其框架下推导了 Rayleigh梁、Kirc hho ff杆以及Timo shen ko梁的 动力学方程，对基于精确的Co sserat杆模型的螺旋杆进行了稳定性分 6天津大学博士学位论文析。曹登庆等在Co sserat杆模型框架下通过引入描述固连在杆横 截面随其一起运动的初始变形、初始横截面转动以及横截面间的初始 接触力和力矩等变量，建立了考虑预应力的细长曲杆的Co sserat动力 学模型。这个模型不仅保留了几何非线性特征，而且具有很好的普适 性，可以容易地导出实际工程问题中细长结构的非线性动力学模型。1.2.3 应变梯度弹性理论的研究现状应变梯度弹性理论是近20年来为解释材料在微米尺度下的尺寸效 应现象而发展起来的，在本构关系中增加考虑了应变梯度项及其对材 料变形和强度的影响。通过引入不同的应变梯度，应变梯度弹性理论 形成了很多不同的理论，如弹性偶应力理论，拉伸和旋转梯度理论（SG 理论）等，并在弹性理论基础上扩展建立了基于细观机制的应变梯度 塑性理论（MSG 理论，mec han ism-based st rain gradien t）0 应变梯度理 论用来解释和分析微米及亚微米压痕82H84,裂纹尖端场断裂85 M86,颗粒增强金属基复合材料及细丝扭转和微薄梁弯曲内-89的尺寸效 应。Lazo po u lo s K90通过将应变梯度弹性理论引入到板的冯-卡门（Vo n-Karmo n）非线性方程中去，建立了板的非线性平衡控制方程，并用来分析长矩形板在单轴面内压缩与小侧向力作用下的局部屈曲问 题。Miihlic h等以具有线弹性微结构的材料为研究对象，利用含有 球状夹杂的球体单元获得了相应应变梯度连续体材料参数的限制条 件。Tran等192使用应变梯度弹性理论描述周期性线弹性复合材料的宏 观行为，其中高阶项用来考虑微结构效应。应变梯度弹性理论还被广泛地应用于岩土介质的研究所中，常用 来分析岩土破坏过程中应变梯度的形成和发展及其对岩土介质的影 响。1.3 本文工作本文围绕准一维手性杆与二维手性板的力学模型开展工作，将手 性参数分别引入到Co sserat杆理论和应变梯度弹性理论中去，建立适 用于分析手性杆和手性板的理论模型。这两种模型能够有效地描述准 一维和二维手性材料的力学行为，文章的结构安排如下：7第一章绪论第一章，绪论。介绍文章的选题背景及意义，并叙述本领域的国 内外研究现状，最后概括本文工作。第二章，手性杆的广义Co sserat理论模型。介绍在Co sserat杆理 论框架下，准一维手性模型的建立过程，给出其基本方程及特殊情况 下的解析解；并应用此模型作为螺旋结构的等效一维手性杆模型，利 用弹簧拉伸的实验结果对模型进行验证。第三章，手性弹性杆的稳定性分析。在手性杆模型基础上，建立 其扰动方程组，给出在特定的边界条件下，手性杆在轴向压力或扭矩 作用下的失稳临界载荷及其失稳后的应变情况，并分析了材料的手性 参数与手性杆截面半径的变化对失稳临界载荷的影响。第四章，手性板的理论模型。在非协调协变弹性理论框架下，利 用应变梯度弹性理论，建立了手性板的理论模型，并应用此模型分析 了长矩形薄手性板在单轴面内拉伸情况下的变形和形貌。第五章，总结与展望。对论文工作进行归纳总结。8天津大学博士学位论文第二章 手性杆的广义Cosserat理论模型手性，是物体构型与其镜像不能重合的几何性质。根据纽曼对称 原理，螺旋或扭转夹杂等手性微结构可使材料性能具有明显的手性对 称性，从而表现出拉伸-扭转、弯曲-剪切等变形耦合以及多场耦合。典 型的例子包括DNA*】、细菌鞭毛.I、攀附植物卷须R，96、手性高分 子片晶、手性碳管等。在这些准一维的手性材料中，原子或蛋白 点阵的手性排列、分子的手性构象、纤维素微纤维螺旋等微尺度层次 上的结构手性对材料的生长、形貌和性能都具有重要作用。由于材料 性能的手性对称性，准一维材料在生长应力、温度及湿度变化等引起 的载荷作用下，很容易形成螺旋等空间形貌。由于它们的长度远远大 于截面几何尺寸，可以用手性的弹性细杆模型来描述。T.J.Healey*基于材料对称性给出了手性杆的非线性材料本构关 系，建立了手性的弹性细杆模型9刃，并用此模型预测了 DNA单分子 链的失稳载荷条件，其几何变量用指向矢来描述，对手性杆的空间形 貌和杆截面姿态的三维描述不是很方便。基于此，本文在Co sserat杆理论框架内利用手性杆的非线性本构 关系，建立了适用于手性杆的广义Co sserat理论模型。应用此手性杆 模型作为螺旋结构的等效一维杆模型，用弹簧拉伸实验进行了验证。2.1 广义Cosserat手性理论模型2.1.1 手性杆的本构关系材料本构关系与材料本身的性质有关，决定了材料在外载作用下 的响应。手性杆的本构关系决定了杆的抗拉，抗剪，抗弯和抗扭刚度 并包含了拉伸和扭转以及剪切和弯曲之间的耦合项。根据手性微结构的对称性，手性杆常用的二次应变能密度函数四 可以表示为，9第二章手性杆的广义Co sserat理论模型H Ezf+E2z+E3Z；+Axky+A2k：2+4犬；+2。/1%+2D2z2/c2+2D3z3k3,(2-1)其中4和匕为手性杆的广义应变，E2,E3,4,4,4,D1,2和 2为材料性能参数，3和。3为模型引入的手性参数，可以为正值 也可以为负值。由应变能正定性假设，可确定以下材料参数关系，E1,E2,E3,4,4,4 0,EA-D；0,E-,A2 L)2,E34-D；0,(2-2)当不存在耦合效应时，即。=。2=。3=。时，手性杆退化为一般的各向 同性杆。这里出现以及后文中出现的下标，罗马字母等表示指标 1,2,3,希腊字母a,力等表示指标1,2o材料的本构关系通过对应变能密度函数求偏微分得到：d H QHT.=-,叫=-d zt d Ki(2-3)其分量形式为:5二逐+。内，t2=E2z2+D2k2,t3=E3z3+D3k3,mx=Dz1+A,m2=D z2+A2/c2,m3=D3z3+A3/c3.(2-4)引入材料的杨氏模量剪切模量G和Timo shen ko剪切系数K2,上述方程中的本构参数与一般梁理论中的本构参数对照口刈如表2-1所示：10天津大学博士学位论文表2-1梁理论与手性杆的N构参数对照梁理论手性杆剪切刚度K Ga4剪切刚度K2GaEHF a2拉压刚度Ea4 4-D；4弯曲刚度E。11=EapE&-D；Ei弯曲刚度E012=o；E?扭转刚度GJ=Ga(p；+夕；)E3其中，。为手性杆变形前的截面面积，月和勺为截面的惯性半径。当 横截面为圆形时，Timo shen ko剪切系数KI,储表示为：6(,-7+12v+4v2(2-5)其中为材料泊松比。这一组对应关系是手性杆分别在纯剪切，纯拉压，纯弯曲和纯扭转情况下得到的。手性参数3和2与材料的微结构 有关，是材料的固有参数，考虑材料参数关系（2-2）,本文利用 Sharama口?定义的参数最来表示弹性细杆的手性程度，1/(2-6)其中，04品，52，53W1，当q=0时，手性杆退化为一般的弹性杆，不11第二章手性杆的广义Co sserat理论模型具有手性，当q=i时，弹性杆具有理论上最高的手性程度。在手性杆本构方程中的材料参数用，e2,e3,4,a2,4与在一般 弹性杆中的物理意义是不同的。通过表2-1和(2-6)式可以得到，E Kf ia E(2-7)1-Chl i-ch2 1-Ch34=岸，半，4=/，(2-8)八一武屏的网,)_ d Ch2(K2Ga)(E.I2)J-一工,D,一工,Y 二2(2.9)/(Eo aXGJ)3=-i-ch3-可以看出上述参数与手性杆的截面积和惯性半径相关，由于本文研究 对象为等截面的圆杆，所以上述参数沿杆长度方向并不发生变化。2.1.2 手性杆的变形与应变手性杆作为三维体，假设它为三维欧几里得空间E3的一个子集，表示为火=0,切X/,其中力为二维空间后的一个子集，用来表征杆的 任一横截面的形状，L为杆变形前的长度。杆上所有材料点可以用中 心线即Co ss erat曲线来定位。中心线表示为Se0,L,S为弧长，每个 S与一个截面相对应，表示为工，并用与表示S处的定向截面。假设 弹性杆为等截面杆，则对所有a,be0,，有Z=Z。本文假设弹性杆在变形前为一直杆并且无初始扭转，此时杆的构 型为参考构型Q。根据Co sserat理论，参考构型可以用下列四个 矢量函数来表示，R=R(S),2=，(S),(2-10)其中R(S)表示弹性杆中心线的位置，即截面中点在三维空间中的位置；R(S)表示截面与的方向，为三个相互正交的单位矢量；建立标准正交 12天津大学博士学位论文坐标系%，y，z为参考坐标系，对应的标准正交基矢量为ei，e2,e3)o 由图2-1中可以看出，参考构型的中心线即杆的轴向平行于03方向，任意截面或的方向可用正交矢量e,表示，即，(S)=e,；以e为基矢量,位置矢量可表示为R(S)=Xj(S)%。同理，弹性杆的变形构型Q可以用以下四个矢量函数表示，如图 2-1所示，r=r(s),4=4(s),(2-11)其中,(s)表示弹性杆变形后其截面Z的中点的空间位置，在参考坐标 系下，此位置矢量可表示为，(s)=%j(s)4；4(s)表示变形后截面器的方 向场；S表示变形后的弧长变量，设变形后弹性杆的长度为I,则 S G 0,1 O和均为标准正交的单位矢量。参考坐标系与方向场矢量/构成的坐标系之间的关系可用一组欧 拉角(匕仇。)进行表示，本文选择Lo ve3定义的欧拉角，如图2-2所 示，则方向场矢量，与标准正交基/之间的转换关系可表示为：13第二章手性杆的广义Co sserat理论模型4二一 sin-sin 0+c o s-c o s0c o se-sin w c o s。-c o s-sin。c o s 0 sin g c o s”c o s“sin。+sin w c o s。c o s 0 c o s w c o s。-sin-sin。c o s 0 sin Osin-一 sin d c o s。sin g sin。c o s9(2-12)其中的欧拉角（匕仇。）为弧长变量s的函数。在参考构型下，定义一组 欧拉角（匕2。）为弧长变量S的函数，则以可表示为式（2-12）的形式。在本文的假设条件下，(2-13)引入弹性杆的变形度量，定义如下：(2-14)1 耳=.4区，(2-15)14天津大学博士学位论文其中，o=d/d s o同理，参考构型下，弹性杆的变形度量量相关定义如下:y-)=R-D(2-16)与(2-17)通过上述量，引入弹性杆的应变Z,和修,其在参考构型下为零,zT，(2-18)其中4和马为“剪应变”，Z3为“拉应变”;修和修为“曲率”,勺为“扭率”。2.1.3 静力学平衡方程Ay图2-3任意截面的内力和内力矩手性杆受到端部载荷作用时，任意截面处的内力和内力矩表示为 了和力,如图2-3所示，/和相分别为作用在弹性杆上的体力和 体力偶，根据动量守恒，可以得到张量形式的平衡方程：15第二章手性杆的广义Co sserat理论模型T+f(0)=0,m-rx r+7 M(0)=0,(2-19)其中，内力c（s）=4，内力矩皿s）=s4，体力/）=/4和体 z=l i=l i=l力偶加（。）=困。）4都是以4基矢的。所以平衡方程（2-19）的分量形式可以表示为:另一 时汽.耳+1）=0,(2-20)应用式吗耳+%）+忌。）=0.本文假设手性杆无体力和体力偶作用，则平衡微分方程简化为：7=0,（2-21）m-Txr=0,其分量形式为,/eQjFk=0,粉，(阴/4+zyy)=0,(2-22)。一匕+0=0,M-%F+马玛=0,t-txF2+t2F=0,(2-23)16天津大学博士学位论文mx-m2月一号为+mE+v3y2-0,m2-m3F-T yx+mF3+rxy3-0,(2-24)粉3-miF2-rxy2+m2Fi+T2yx-0.为了更好地理解手性杆的力学行为，在表2-2和2-3中给出前文所 述各量的物理单位。表2-2运动量和力学量的物理量纲量r(s),R(S)4,2为S)水(S)FHgc(s)7 W(5)单位mi111/mNNm表2-3材料参数的单位参数E。GVkx,k2aPg Pl4422单位N/m2N/m211m2mNNm2Nm2.1.4 用欧拉角表示的平衡方程已知r(s)=w(s)4,dk=dkiej,将其代入至(2-14)式中,可以得到变形 量%在参考坐标系下的完整分量形式为：二+4，(2-25)同时可以得到3=以您。将(2-12)代入到(2-25)可以得到用位置坐标和 欧拉角表示的表达式，必=x1(-sin/sin +c o s 甲 c o s c o s 3)+x2(c o s/sin +sin y/c o s c o s 0)+&(-sin 6c o s),y2=x(-sin w c o s。-c o s