浅谈数学基础课程与数学物理方法课程的衔接.doc

浅谈数学基础课程与数学物理方法课程的衔接

杨明
东南大学数学系, 南京 210096。
Email： mathyangming＠.
摘要:
作者在本文中对数学物理方法中的一些知识点与数学基础课中知识点的联系做了探讨。主要目的是通过这些研究，合理地安排好这些课程中的教学内容,让它们在不同课程中衔接好，达到帮助学生理解和掌握的目的.

关键字：高等数学,线性代数，数学物理方法,教学内容与方法。

1. 介绍

数学物理方法课是工科电类本科专业的重要课程,也被认为是一门难度较大的课程。因为在这门课程中,学生需要综合应用数学基础课程(高等数学，线性代数）的知识去解决新的问题,同时也会接触到现代数学中的一些抽象的基本概念，从而为进一步学习先进数学工具打下坚实的基础.我们在教学研究中发现,数学物理方法中的知识点其实在数学基础课中都有体现，如果能衔接好数学基础课与数学物理方法中的知识点,将能较好地让学生理解并掌握这门课程中的思想和方法。本文中,我们从具体的教学内容出发，来说明我们的教学方法.

2. 教学案例：

(1) 线性非齐次常微分方程

在高等数学中，对于线性非齐次常微分方程的求解方法，重点是介绍了常数变异法和待定函数法，参见文献[1]，对积分因子方法（凑导数）和齐次化原理的介绍很少,而后两者却是推导非齐次问题解的表达式的常用方法。积分因子方法一般用来处理一阶方程,而齐次化原理对高阶方程也是有效的,而且偏微分方程的齐次化原理和常微分方程的齐次化原理也是相通的。因此理解和熟练应用常微分方程的积分因子方法和齐次化原理具有重要意义.下面我们来简单地叙述和推导下一阶线性常微分方程的积分因子方法和齐次化原理。
考虑下面的问题:

(i) 积分因子法（凑导数）

其中被称为积分因子。
(ii) 齐次化原理
先做线性拆分,将原来问题分成两个问题，一个初值为,一个非齐次项为，即

其中齐次方程用分离变量法可解出，
。
下面来考虑问题。为此我们引入一个带参数的新问题:

用分离变量法将该问题求出,
，
则

直接验证可得上面的表达式即为所求，但验证时要用到含参变量的导数的求法，一般工科的高等数学中不做要求,需要教师补充,即
。
值得注意的是本方法可以推广导高阶线性常微分方程和线性偏微分方程,请读者自行推导.

(2） Gauss公式,第二Green公式以及位势方程的基本解

在高等数学中，Gauss公式是要求重点掌握的内容,利用该公式来计算第二型曲面积分是学生比较熟悉的方法.向量形式的Gauss公式就是散度定理（divergence theorem）：
，
其中是空间区域,是的单位外法向量.利用散度定理可以方便的推出第二Green公式,参见文献［2，3］，
。
第二Green公式是用Green函数法研究位势方程的重要工具.下面我们利用它来证明三维情况下，位势方程的基本解是:。这是一个重要的证明,是学生学会处理函数奇性的一个重要例子.证明需要综合运用在高等数学中的知识，证明等价于证明全空间下的位势方程:
,
的解为

下面我们来推导一下.

因为在原点有奇性且，所以我们将以原点为圆心半径为的小球挖去，并求极限。

下面利用第二Green公式，将积分转化为球面上的积分,
,
其中是球面的单位外法向量。再利用的表达式计算，并利用积分中值定理即得,

这样,我们有

故

即是三维位势方程的基本解.

（3)向量空间与函数空间

在线性代数课程中，我们学习了向量的内积,下面我们把内积的概念推广到分段连续函数上.先来回顾一下维复向量的内积。维向量可以看成是定义在集合上的函数,它的分量是。所以它的内积和模就是:

记区间上的分段连续函数的全体为。将函数看成是无穷维向量,它的分量是,在区间上。那么定义函数的内积和模，我们只要简单地将上面的求和改为它在连续情况下的形式即积分：

因为只改变函数在有限多个点的值，函数的积分不会改变。这就产生了一个问题,如果函数在上除了有限多个点外都是,则。这与模的要求不符，怎么解决呢？我们可以用等价类的观点来看待这个问题，即对于中的函数，我们可以简单认为如果两个函数仅在有限多个点处值不等（或者说这两个函数是几乎处处相等的），那么我们仍然认为它们是相等的.另外还有个问题就是并不是一个像欧氏空间那样的很好的无穷维空间,因为它并不完备，即中的柯西列的极限未必在中。我们需要将扩充成一个完备的空间，以包含一些具有高度奇性的函数。幸运的是，我们有一套Lebesgue积分理论,参见文献[3],它可以处理对正则性要求很低的函数，称之为可测函数。一般来说,在工科数学范围内遇到的函数都是可测函数。记区间上的平方可积函数空间为，即

这里的积分指的是Lebesgue积分。与空间上函数内积和模的定义一样定义上的函数的内积和模.关于Lebesgue积分,我们工科学生并不需要知道它复杂的构造方法和技巧，而只要知道它的定义和下面的结论即可。
结论: (i） 按摸收敛下是完备空间;
(ii） 对任意的,存在函数列使得在中.
这个结论可以通俗的理解为通过填满空间的缝隙而得到。
我们认为在数学物理方程这门课程中引入是很有必要，也是很好的时机.这样既可以深化学生对Fourier级数理论的认识，也是学生认识无穷维空间的一个很好的例子，从而为后面学习泛函分析等抽象的数学课程提供具体感性的认识.学习要从简单到复杂, 从具体到抽象，只有这样才符合我们的认知规律。

(4）Sturm-Liouville问题与线性代数中自共轭算子的特征值问题的联系

我们在利用分离变量法求解偏微分方程时,经常会遇到如下的Sturm—Liouville问题(特征值问题）。设,其中是上的实的连续函数且在上,.考虑如下常微分方程边值问题(正则的Sturm-Liouville问题）：

其中为常数，实的连续函数,边界条件一般是指:
。
当然研究实际问题时也会遇到周期边界条件:或其他边界条件。记

关于Sturm—Liouville问题，最核心的结论是：不同特征值的特征函数关于权函数加权正交，且所有特征函数构成了空间的一组正交基。那么如何来认识这个抽象的结论呢？其实我们在线性代数中已经学习过一个类似的结论,即关于自共轭线性变换的特征向量的结论.设线性变换，若，则称是自共轭的.当是自共轭时,的特征向量构成了的一组正交基，参见文献［4]。这是一个在维内积空间上的精妙结论，那么自然可以想到在无穷维内积空间上也有类似结论,即上的自共轭线性算子的特征函数构成的正交基.而这正是我们在上面的Sturm—Liouville问题的结论,唯一需要做的就是验证上面的常微分方程边值问题是一个自共轭问题，这里留给读者验证。我们认为虽然工科学生对Sturm—Liouville问题结论的证明不做要求，但是理解该结论与上自共轭线性算子的结论的联系却是必要的.这样的话，如果在线性代数教学时能让学生对自共轭线性算子的特征值问题有比较深入的认识，那么对这里的Sturm-Liouville问题的结论就不难理解了。我们认为虽然工科数学更加侧重对计算的要求,但是如果离开对数学内容的深刻地认识,那么学生的数学能力是不会有大的提高的。对任何数学问题来说，深入理解总是第一重要的.本文为互联网收集，请勿用作商业用途

3. 总结

本文对数学物理方法中的一些知识点与数学基础课中知识点的联系做了探讨,主要的目的是通过这些研究，希望能把这些课程中教学内容按照从简单到复杂，从具体到抽象的认知规律合理地安排好,让它们在不同课程中衔接好，达到帮助学生理解和掌握的目的。

参考文献：
[1] 东南大学高等数学教研室, 高等数学（上)， 北京：高等教育出版社,2007。7.
[2］ 王明新， 数学物理方程， 北京：清华大学出版社， 2009.10.
［3］ 王元明, 数学物理方程与特殊函数， 北京：高等教育出版社， 2004。7。
[4］ E。 H。 Lieb， M. Loss, 分析学 （第二版）， 北京：高等教育出版社， 2006。10.
［5］ S。 J。 Leon, 线性代数 (第七版）， 北京: 机械工业出版社， 2008。7

Talk about the connection of mathematic basic courses
and mathematical physics course

Yang Ming
Department of Mathematics, Southeast University, Nanjing 210096.
Email: mathyangming@.

Abstract： In this paper, the authors study the connection of mathematic basic courses and mathematical physics course。 The main purpose of this paper is to find the way of linking the contents of these courses by arranging them well， so that the students may grasp the ideas and contents well in mathematical physics course.

Key words: Advanced mathematics, Linear algebra, Mathematical physics， Contend and method of teaching。