数学分析教案第二十一章重积分.doc

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第二十一章 重积分
教学目的:1。理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2。理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法,并能应用其解决有关 的数学、物理方面的计算问题;3.了解n重积分的有关概念及计算方法。
教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式;难点是化重积分为累次积分.
教学时数：22学时
§ 1 二重积分概念
一。        矩形域上的二重积分 ： 从曲顶柱体的体积引入。 用直线网分割 。
定义 二重积分 .
例1            用定义计算二重积分 。用直线网分割该正方形 ， 在每个正方形上取其右上顶点为介点 .
解
.
二. 可积条件 ： D . 大和与小和.
Th 1 , .
Th 2 , .
Th 3 在D上连续 , 在D上可积 .
Th 4 设 ， 为 上的可积函数。
D,
( 或 D ) 。 若 在D上有界 , 且在D \ 上连续 ， 则 在D上可积 .
例2            P217ex2
三．  一般域上的二重积分：
1．      定义: 一般域上的二重积分。
2．      可求面积图形： 用特征函数定义.
四.     二重积分的性质 ：
性质1 。
性质2 关于函数可加性 .
性质3 则 在D上可积 在 和可积 ， 且 。
性质4 关于函数单调性 。
性质5 。
性质6 .
性质7 中值定理 。
Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线 ( 或 )组成 , 在D上连续 , 则 在D上可积 .
例3            去掉积分 中的绝对值 。
§ 2 二重积分的计算
二. 化二重积分为累次积分:
1.          矩形域 上的二重积分:
用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式。  
2. 简单域上的二重积分: 简推公式， 一般结果]P219Th9. 
例1 ， .
解法一 P221例3
解法二 为三角形， 三个顶点为 ，
.
例2 , . P221例2.
例3 求底半径为 的两直交圆柱所围立体的体积 。 P222例4。 
§ 3 Green公式 . 曲线积分与路径无关性
一.             Green公式：
闭区域的正面与边界正向的规定搭配： 右手螺旋定向， 即以右手拇指表示区域的正面（ 理解为拇指“站立在" 区域的正面上 ), 则其余四指（ 弯曲 ）表示边界的正向. 右手螺旋定向法则还可表述为： 人站立在区域的正面的边界上， 让区域在人的左方。 则人前进的方向为边界的正向. 参阅P图21—10。 若以L记正向边界, 则用—L或L 表示反向（或称为负向)边界.  
1. Green公式：
Th21.11 若函数P和Q在闭区域D R 上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有
,
其中L为区域D的正向边界。 ( 证 ) P224
Green公式又可记为 .
1.          应用举例:  
对环路积分， 可直接应用Green公式。 对非闭路积分， 常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧。
例1            计算积分 , 其中A B 。 曲线AB为圆周
在第一象限中的部分. P226例1
解法一 ( 直接计算积分 ） 曲线AB的方程为 .方向为自然方向的反向。 因此
.
解法二 （ 用Green公式 ） 补上线段BO和OA ( O为坐标原点 ）, 成闭路. 设所围

区域为D， 注意到 D为反向, 以及 ， 有

例2            计算积分 I = , 其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界（方向任意 ) P227例2
解 . ( 和 在D上有连续的偏导数）.
, 。
于是， I = 。
二。 曲线积分与路线无关性:  
单连通域和复连通域。 
1. 积分与路径无关的等价条件： P228
Th21.12 设D R 是单连通闭区域. 若函数 和 在闭区域D内连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则以下四个条件等价 :
ⅰ> 沿D内任一按段光滑的闭合曲线L, 有 .
ⅱ〉 对D内任一按段光滑的曲线L， 曲线积分 与路径无关， 只与曲线L的起点和终点有关。
ⅲ〉 是D内某一函数 的全微分, 即在D内有 。
ⅳ> 在D内每一点处有 。
2。 恰当微分的原函数:
若有 , 则称微分形式 是一个恰当微分。 恰当微分有原函数，（ 它的一个 ） 原函数为 :
.
或
其中点 D， 当点 D时， 常取 = 。
验证第一式: =
;
。
例6 验证式 是恰当微分， 并求其原函数. P231例4 
. § 4 二重积分的变量变换:(4时）
1。 二重积分的变量变换公式: 设变换 的Jacobi ， 则
，
其中 是在该变换的逆变换 下 平面上的区域 在 平面上的象. 由条件 ， 这里的逆变换是存在的.
一般先引出变换 , 由此求出变换 。而 。
例1 , 。 P235 例1.
註 当被积函数形如 , 积分区域为直线型时， 可试用线性变换 。
例2 , 。
解 设 . 则 。
， .
因此 ， 。
註 若区域 是由两组“相似”曲线 ( 即每组中的两条曲线仅以一个参数不同的取值相区别 ） 围成的四线型区域 ， 可引进适当的变换使其变成矩形区域 。 设区域 由以下两组曲线围成 ：
第一组： ;
第二组: .
可试用变换 . 。 从中解出
. 在此变换之下， 区域 变成 平面上的矩形区域
。
例3 求由抛物线 和 直线 所围平面区域 的面积 。 P236例2。  
2. 极坐标与广义极坐标变换：
极坐标变换： ， 。
广义极坐标变换： , .
例4 . P240例3.
例5 ( Viviani问题 ） 求球体 被圆柱面 所割下立体的体积 . P240例4。
例6 应用二重积分求广义积分 。 P241例5。
例7 求橢球体 的体积 。 P241例6。
四.            积分换序:  
例8 连续 。 对积分 换序。 。
例9 连续 . 对积分 换序.
。
例10 计算积分 。 .
§ 5 三重积分简介  
一． 三重积分的定义：
1．      长方体 上的积分：
2．      一般可求体积立体 上的积分：  
二． 三重积分的计算：  
1． 长方体 上的积分:
.
2. 型体上的积分：
⑴ 内一外二 : = ,
其中 , 为 在 平面上的投影.就函数 为点密度的情况解释该公式 .
⑵ 内二外一 ： = ,
其中 介于平面 和 之间 ， 是用平面 截 所得的截面。 内二外一 多用于围成 的闭合曲面由一个方程给出的情况。
例1 , : . P245例 1.
解 ，

例2 , ： 。
解 .
法一 （ 内二外一 ）
，
其中 为椭圆域 ， 即椭圆域 ， 其面积为 。 因此
。
同理得 , .
因此 。
法二 内一外二 ) 上下对称, 为 的偶函数,
, 其中 为 在 平面上方的部分, 其在 平面上的投影为椭圆 。 于是

。
， 。
因此 . 同理 ……。
于是 。
例3            设 . 计算积分
, : 。
解
. 
三。 三重积分换元公式:  
Th 21.13 P247. 
1。 柱坐标: P248. 
例4 ， : 。 P248例3
2。 球坐标： P249. P 250例4。
§ 6 重积分的应用
一、曲面的面积
设曲面方程为 . 有连续的一阶偏导数 .
推导曲面面积公式 ，
或 。
例1 P253例1`.
二、重心 P255
三、转动惯量 P256