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初二（下）数学竞赛辅导班讲义（勾股定理和平行四边形）
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一、练习：
1、如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，则AD= ．
2、如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
3、如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，则BC的长为 ．
4、如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，
2、PC=5，则∠APB的度数是 ．
（第1题） （第3题） （第4题）
5、如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么这个三角形的周长为 ．
6、在锐角△ABC中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是( )
A．23、 B． C． D．
（第5题） （第7题）
8、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
(1)四边形ADEF是 ；
(2)当△ABC满足条件 时，四边形ADEF为矩形；
(3)当△ABC满足条件 时，四边形ADEF不存在．
9、如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则∠BOE= ．
4、
二、例题讲解：
【例1】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE，B、E在CD的同侧，若AB=，则BE= ．
【例2】 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为( )
A．13 B ．19 C．25 D．169
【例3】 如图，P为△
5、ABC边BC上的一点，且PC＝2PB， 已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度数．
【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB=c，CD=h．
求证：（1）；
(2) ；
(3) 以、、为边的三角形，是直角三角形．
【例5】一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在?若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．
【例6】 如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为 ．
【例7】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC．
【例8】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于G点，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC，求证：BC⊥BD，且BC=BD．
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