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初中数学竞赛辅导资料（49）
对称式
甲内容提要
一.定义
1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x,　y,　z任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.
例如：　代数式x+y，　xy，　x3+y3+z3－3xyz,　　x5+y5+xy, 　 ，
.　都是对称式.
　　其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.
2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x,　y,　z循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.
例如：代数式 a2(b－c)+b2(c－a)+c2(a－b),　 2x2y+2y2z+2z2x,　，
（xy+yz+zx）(， .
都是轮换式.
显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.
二.性质
1. 含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.
2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.
例如：在含x,　y,　z的齐二次对称多项式中，
如果含有x2项，则必同时有y2,　z2两项；如含有xy项，则必同时有yz,　zx两项，且它们的系数，都分别相等.　故可以表示为：
　m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m,　n是常数.
3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.
例如：轮换式a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)中，有因式a－b一项,　必有同型式b－c和
　c－a两项.
4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.
例如：∵x+y, xy都是对称式，
∴x+y＋xy，　（x+y）xy，　等也都是对称式.
∵xy+yz+zx和都是轮换式，
∴＋xy+yz+z，　（）（xy+yz+z）. 也都是轮换式..
乙例题
例1.计算：（xy+yz+zx）(－xyz(.
分析：∵（xy+yz+zx）(是关于x,y,z的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy分别乘以，，连同它的同型式一齐写下.
解：原式＝（）＋（z+x＋y）+(y+z+x)－()
　　　　　＝2x+2y+2z.
例2. 已知：a+b+c=0, 　abc≠0.
　求代数式　的值
　　　　　　　　　　　　　 　　　　　（1989年泉州市初二数学双基赛题）
　分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的
同型式.
解：∵＝＝，
∴＝－－－
＝　－＝0.
例3. 计算：（a+b+c）3
分析：展开式是含字母　a,　b,　c的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用
待定系数法.
例4. 解：设（a+b+c）3＝m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.
（m,　n,　p是待定系数）
　 令　a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得　m=1；
令　a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得　2m+2n=8；
令　a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.
解方程组　　得
∴（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.

例5. 因式分解：
① 　a3(b－c)+b3(c－a)+c3a－b)；　　
② （x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5.
解：①∵当a=b时，a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝0.
∴有因式a－b及其同型式b－c,　c－a.
∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a－b）(b－c)(c－a)，可得
一次齐次的轮换式a+b+c.
用待定系数法：
得　a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝m(a+b+c)（a－b）(b－c)(c－a)
比较左右两边a3b的系数，得m=－1.
∴a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝－(a+b+c)（a－b）(b－c)(c－a).

② x=0时，（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝0
∴有因式x，以及它的同型式y和z.
∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz，其商是二次齐次轮换式.
∴用待定系数法：
可设（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5
＝xyz［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.
令　x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数，　得 80=m+n；
令　x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数，　得 480=6m+n.
解方程组　
　　　得.
∴（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝80xyz(x+y+z).

丙练习49
1. 已知含字母x,y,z的轮换式的三项x3+x2y－2xy2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
2. 已知有含字母a,b,c,d的八项轮换式的前二项是a3b－(a－b)，试接着写完全代数式_________________________________.
3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：
①　（x2y+y2z+z2x）（xy2+yz2+zx2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
②　（x+y+z）（x2+y2+z2－xy－yz－zx）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
4. 计算：（x+y）5.
5.　求（x+y）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.
6. 因式分解：
① 　ab(a－b)+bc(b－c)+ca(c－a)；
② 　(x+y+z)3－(x3+y3+z3)；
③ （ab+bc+ca）(a+b+c)－abc；
④ 　a(b－c)3+b(c－a)3+c(a－b)3.
7. 已知：.
　　求证：a,　b,　c三者中，至少有两个是互为相反数.
8.　计算：＋＋.
9. 已知：S＝（a+b+c）.
求证：
＝3S（S－a）(S－b)(S－c).
10. 若x,y满足等式　x=1+和y=1+且xy≠0，那么y 的值是（　　　）
（A）x－1.　　（B）1－x.　　（C）x.　　（D）1+x.

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