上海市长宁区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案).pdf

高三数学试卷 共 4 页第 1 页2018 学年第一学期高三数学教学质量检测试卷学年第一学期高三数学教学质量检测试卷一填空题（本大题共有一填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）考分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果生应在答题纸的相应位置直接填写结果1已知集合，则 4,3,2,1A6,4,2bBA2已知，则 3211xx3二项式的展开式中，常数项为 （结果用数值表示）61xx4已知向量，若向量，则实数 )2,1(),3(bmaabm 5若圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为 26已知幂函数的图像过点，则的定义域为 xxf)()22,2()(xf7已知角，且，则 ,22tan)sin(8已知函数和xxfalog)(的图像如右图所示，)2()(xkxg则不等式的解集是 0)()(xgxf9如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼的高度，CD为楼顶线段的长度为，在处测得DABm600A，在处测得，且此时看楼顶30DABB105DBAD的仰角.已知楼底和、在同一水平面上，30DBCCAB则此楼高度 （精确到）CDm1 m10若甲、乙两位同学随机地从门课程中选修门，则两人选修的课程中恰有 门相同的概631率为 11已知数列的前项和为，且，若数列收敛于常数，则首项 nannSnnnaa211 nSA取值的集合为 1aABCDyyOx1)(xfy yyxO12)(xgy 高三数学试卷 共 4 页第 2 页12已知与是个不同的实数，若方程321,aaa321,bbb6的解集是有限集，|321321bxbxbxaxaxaxA则集合中最多有 个元素A二选择题（本大题共有二选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13已知，则“”是“”的（）Rx0 x3x（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件14有一批种子，对于 1 颗种子来说，它可能 1 天发芽，也可能 2 天发芽，下表是不同发芽天数的种子数的记录：发芽天数12345678种子数826222412420统计每个种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（）（A）（B）（C）（D）235.3415已知向量和的夹角为，且，则（）ab32a 3b 22abab（A）（B）（C）（D）1074116某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数的定义域为，)(xfy DDxx21,若当时，都有，则函数是上的奇函数0)()(21xfxf021 xx)(xfy D若当时，都有，则函数是上的增函数)()(21xfxf21xx)(xfy D下列判断正确的是 （）（A）和都是真命题 （B）是真命题，是假命题 （C）和都是假命题 （D）是假命题，是真命题 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤的步骤17（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）求下列不等式的解集：（1）；（2）235x44 2120 xx 高三数学试卷 共 4 页第 3 页18（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示在阳马中，底面ABCDP PDABCD（1）已知，斜梁与底面所成角为，求立柱的长mCDAD4PBABCD15PD（精确到）；m01.0（2）证明：四面体为鳖臑PDBC19（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）已知的三个内角所对应的边分别为，复数，ABCCBA,cba,i1baz（其中 是虚数单位），且BAzcosicos2ii 321 zz（1）求证：，并求边长的值；cAbBa coscosc（2）判断的形状，并求当时，角的大小ABC3b A20（本题满分（本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分）分）已知函数，1)(2mxxxf)6sin(2)(xxg（1）若函数为偶函数，求实数的值；xxfy2)(mABCDP高三数学试卷 共 4 页第 4 页（2）若，且函数在上单调，求实数的值；0 2()3g xg)(xg0,2（3）令，若当时，总有，使得，求实数取值12,1 1x,02x)()(12xfxgm范围21（本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分）已知数列的前项和为，且，nannS11aaa 2（1）若数列是等差数列，且，求实数的值；na158aa（2）若数列满足，且，求证：数列是等差 na)(2*2Nnaann101919aS na数列；（3）设数列是等比数列试探究当正实数满足什么条件时，数列具有如下性 naa na质：对于任意的，都存在，使得数列写M*2nnN*mN10mnmnSaSa出你的探究过程，并求出满足条件的正实数的集合a2018 学年第一学期高三数学质量检测试卷学年第一学期高三数学质量检测试卷参考答案与评分标准参考答案与评分标准一填空题（本大题共有一填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5 分）考分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1 2 3 4 6,4,3,2,112065 6 7 833),0(552)2,1 9 10 11 12 212209313二选择题二选择题(本大题共有本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分分)每题有且只有一个正确选项考生应在每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13B 14B 15D 16C高三数学试卷 共 4 页第 5 页三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤须的步骤17（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）解：（1）由得，4 分5|32|x5325x解得 41x所以原不等式的解集是 6 分)4,1(（2）原不等式可化为，4 分22260 xx 因为，所以，5 分220 x62 x 解得 7 分6log2x所以原不等式的解集是 8 分2log 6,18（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）（1）解：因为侧棱底面，PDABCD则侧棱在底面ABCD上的射影是，PBDB所以就是侧棱与底面所成的角，即2 分PBDPBABCD15PBD在中，3 分PDB)(24,9022mCDADDBPDB由得 ，解得 5 分DBPDPBD tan2415tanPD)(52.1mPD 所以立柱的长约为 6 分PDm52.1（2）由题意知底面是长方形，ABCD所以是直角三角形 2 分BCD因为侧棱底面，PDABCD得，BCPDDBPDDCPD,所以、是直角三角形 4 分PDCPDB因为，又，平面，DCBC PDBC DDCPDPDDC,PDC所以平面 6 分BCPDC又因为平面，所以，PCPDCPCBC 所以 为直角三角形 7 分PBC由鳖臑的定义知，四面体PDBC为鳖臑 8 分19（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）高三数学试卷 共 4 页第 6 页（1）证明：由余弦定理得，bcacbAacbcaB2cos,2cos222222则 bcacbbacbcaaAbBa22coscos222222cacbcbca22222222c所以 3 分cAbBa coscos由题意得，(i)(cosicos)3iabAB即，3i)icoscos()cos-cos(AbBaBbAa由复数相等的定义可得，且，5 分0cos-cosBbAa3coscosAbBa即 6 分3c（2）由（1）得 1 分0cos-cosBbAa由正弦定理得，0cossincossinBBAA即 2 分BA2sin2sin因为、，),0(A),0(B所以 或，BA22 BA22即 或，即或BA 2 BABA 2C所以 知等腰三角形或直角三角形4 分ABC当时，所以；6 分BA 32cos2cAb6A当时，所以 8 分2C3cos3bAc3arccos3A 20（本题满分（本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分）分）解：（1）设，则 2h xf xx 221h xxmx 由于是偶函数，所以对任意，成立2 分 h xRx hxh x即 恒成立1)2(1)(2()(22xmxxmx即 恒成立，3 分0)2(2xm所以，解得 02 m2m所以所求实数的值是 4 分m2m高三数学试卷 共 4 页第 7 页（2）由，2()3g xg得 ，即 2 分22,362kkZ132kkZ当时，0,2x,6626x 0 因为在区间的单调递增，sinyx,6 2 所以，再由题设得 5 分262203所以 6 分12（3）设函数在上的值域为，在上的值域为，f x1,2A g x0,B由题意和子集的定义，得2 分AB当时，3 分,0 x67,66x2,1)(xg所以当时，不等式恒成立，1,2x2112xmx 由恒成立，得，1,1,2mxxx2m 由恒成立，得，2,1,2mxxx1m 综上，实数的取值范围为 6 分m1,2 其它做法，对应给分。其它做法，对应给分。21（本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分）解：（1）设等差数列的公差为由，得，nad11a 815a 1571 d解得 2 分2d则得，所以4 分32112daa3a（2）由，得，191019Sa)8(192289922910110aa解得，2 分2a由，且，得22nnaa11a22a当为奇数时，；nnnaan2211当为偶数时，4 分nnnaan2222所以对任意，都有，当时，*Nnnan2n11nnaa高三数学试卷 共 4 页第 8 页所以数列是以 为首项、为公差的等差数列 6 分 na11其它解法，对应给分。其它解法，对应给分。（3）由题意，1 分1nnaa当时，10 amSaaa123所以对任意，都有，2 分Nm032aSaSmm因此数列不具有性质 3 分 naM当时，1a1nanSn所以对任意，都有，*Nm0)1(232maSaSmm因此数列不具有性质 4 分 naM当时，21 a121log211)2(0)1(2aaaaaaa,11121lognnnnaaSaaaan111log21nnannanaSaaa取(表示不小于的最小整数)，则，.021lognaax x100nnaS001nnSa所以对于任意，*Nm0)(100nmnmaSaS即对于任意，都不在区间内，*NmmS001,nnaa所以数列不具有性质 6 分 naM当时，且，2a 1211011nnnnna aaSaaaannSa即对任意的，都有，)(2*Nnn01nmnmaSaS所以当时，数列具有性质7 分2a naM综上,使得数列具有性质的正实数的集合为 8 分 naMa),2 的另解：的另解：高三数学试卷 共 4 页第 9 页当时，单调递增，单调递增，且时，1a na nS2nnnaS 若对任意，都存在，使得，即存在在)(2*Nnn*Nm01nmnmaSaSmS区间内),(1nnaa观察，),(32aa),(43aa发现在内的只能是 5 分),(1nnaamSnS证明：在个区间，内需要个，1n),(32aa),(43aa),(1nnaa1nmS因为，所以可选择的只能是，共个21aS 11nnaSmSnSSS,32 1n由，得 6 分nSSS 321nnnaSa所以只需满足恒成立，即，1nnaSnnaaa11得对任意都成立aan12*Nn因为数列单调递增，且，所以na12212limnna2a综上,使得数列具有性质的正实数的集合为8 分 naMa),2