半拟可微拟凸规划的KKT型最优性条件.pdf

uasl-4,45No.2Vol.45Mar.2024Journal of ChinaWestNormalUniversity(NaturalSciences2024年3月第2 期第45卷自然科学版西华师范大学学报D0I:10.16246/j.issn.1673-5072.2024.02.005半拟可微拟凸规划的KKT型最优性条件何土坤，郭洋俊骁，赵世莲（西华师范大学数学与信息学院，四川南充637009)摘要：最优性条件在优化问题中起着重要的作用，它为优化算法的研究提供了重要的理论依据。众所周知，凸规划方面最优性条件已比较完善。然而，由于拟凸函数性质的特殊性，对于拟凸规划问题解的Karush-Kuhn-Tucker（K K T）类型最优性条件的研究相对较少。本文利用半拟可微刻画了拟凸规划的最优性条件，同时研究了可行集法锥与带半拟可微性质的约束函数之间的关系，并证明了上述两个结果与Greenberg-Pierskalla次微分的关系。关键词：半拟可微；次微分；拟凸规划；最优性条件；法锥中图分类号：0 2 2 4文献标志码：A文章编号：16 7 3-50 7 2(2 0 2 4)0 2-0 150-0 5拟凸函数及其性质的研究因其在数学、经济学、图像处理和机器学习等各个科学技术领域的应用而受到广泛关注1-6。在优化问题的研究中，最优性条件起着重要的作用。对于凸规划和拟凸规划问题，许多学者通过使用一些次微分，引入了各种类型的充分和必要最优性条件。然而，关于不可微拟凸规划的Karush-Kuhn-Tucker型（KKT型）最优性条件的结果并不多。本文研究如下带不等式约束的拟凸规划问题：minf(x),x E K,(1)其中，可行集K=（R：g（）0,i I)，f,g:R R：=R（0，是有限指标集，设集合I(x）=(ieI:g.（x）=0,x e K。若无特别说明，本文出现的g,均为凸函数。2020年，Suzukil给出了Greenberg-Pierskalla次微分（GP次微分）的一些闭性，同时在Slater约束规范下，用GP次微分证明了本质拟凸规划的充要最优性条件：对于问题（1），若f为实值本质拟凸函数，则x。是K在f上的最优解当且仅当存在入：R*使得0 aF(x。）+入,ag（x o），其中，R#：=（入=R：ViieI(xo)1,入，0,1iE1:入，0 是有限的！。近年来，在没有凸性的假设下，利用上正则凸化器逼近非凸函数得到非凸问题的最优性条件被广泛讨论。Kabgani7介绍了函数的半拟可微性质作为上正则凸化器的推广，并在拟凸的假设下用半拟可微刻画了函数的GP次微分。SuzukilI利用GP次微分证明了本质拟凸规划的充要KKT型最优性条件，但对于一般拟凸规划问题的KKT型最优性条件并没有研究，又因半拟可微性质良好，故想利用函数的半拟可微性质刻画问题（1）的KKT型最优性条件，同时研究问题（1）中可行集法锥与带半拟可微性质的约束函数之间的关系，最终形成一套完整的体系。1预备知识在本文中，R表示具有欧式范数II的n维欧氏空间，O VVI为V的极锥，对任意非空锥VR,有vo=clcoV,特别地，如果V为闭凸锥，则收稿日期：2 0 2 2-11-2 9基金项目：国家自然科学基金项目（118 7 10 59）作者简介：何坤（1998 一），男，硕士研究生，主要从事优化理论及其应用研究。通信作者：赵世莲（198 4一），女，讲师，主要从事非线性分析泛函分析研究。E-mail：146 2 2 959 q q.c o m引文格式：何坤，郭洋俊骁，赵世莲.半拟可微拟凸规划的KKT型最优性条件J.西华师范大学学报（自然科学版），2 0 2(2):150-154.HE K,GUO Y J X,ZHAO S L.Karush-Kuhn-Tucker type optimality conditions for semi-quasi-differentiable qconvex programming J.Journal of China West Normal University(Natural Sciences),2024,45(2):150-154.J151何坤，微拟凸规划的KKT型最优性条件第45卷第2 期有Vo=V。令VR,V,则V在xclV处的可行方向锥和切锥记为D（）、T（），分别定义为：D(x):=Id e R:38 0,V入 E(0,8),x+Ad e V),T,(x):=ide R:3t,Io,3id.I e R,d,-+d,x+t,d,e V)。若V是凸集,则V在clV处的法锥定义为：N(）：=（d R:d,x-）O，V x V)，此时T（）与N（）均为闭凸锥，且有clD（）=T（x），N（x）=T（）。称函数f:RR为拟凸函数,若对xR,0,1,有f(x+（1-)y）m a x(f(x）f(y)。定义S,(f)：=x R:f(x）f()为f在xR处的下水平集;S(f)：=(x R:f(）f()为f在R处的严格下水平集。当f:RR是拟凸函数时，VR,S（f）和S（）是凸集。定义的函数S：R（-8，+称为集合S的示性函数，对函数f:R-,的共轭函数定义为f（：=s u p l ,x）-f(x）:R。对于非空凸集SR的示性函数s,其共轭函数：R（-，+称为集合S的支撑函数，S在R处的支撑函数为Ss(y)=supx,y)。定义1称函数f:R”-0，+在R处是上半连续的，若对任意收敛于的点列 xR均有f(）l i m s u p f(x）成立。K称集合a(）:=（R:f）f(）+,-）R 为函数f:R（-，+在点处的次微分。与凸函数类似，拟凸函数具有多种形式的次微分，包括与水平集有关的一类特殊的拟凸次微分，如CP次微分。定义2 8 称集合f()：=(R：,）,f()f(）为拟凸函数f:R（-0 0，在点。处的GP次微分。定义3令f:RR,xER,deR,定义f在x处d方向上的Dini方向导数为：f(+td)-f(x)f*(x;d):=limsupt10t7定义4如果f:RR在点R处存在两个非空闭集a(）a f(）R 使得f*(x;d)sup+inffs,d),VdeR,ned.f(a)5ea*f(a)则称函数f:RR在点R处是半拟可微的。其中闭集对（a.f(x），a f(）被称为函数f:RR在点xER处的半拟微分（SQD）。2一些引理引理11I设g:RR：=R（在R上是上半连续且拟凸，R”，则ag（x）是非空的。引理2 1设g:RR,xe R,则aCg(x)Ul01为凸锥。引理31设g:RR在R上是上半连续的且R，则ag（）U0为闭集。引理411设S是R上的子集，xS，并且假设S具有非空内部，则N，（）是点锥。引理58 函数f:RR在点R处的GP次微分af(）是凸集。易知引理6 一7 成立：引理6设A,BCR,则ACB=BCA。引理7 令A,BCR，若A为紧集，B为闭集，则A+B为闭集。引理8 9若C是闭凸锥，则C的支撑函数8 与其极锥C的示性函数8 c。一致。td)1522024年西华师范大不 设CR为凸集,则 clC 0,t（0,8)有+tdK。因为是问题（1)的最优解，则当t0时有f(+元）。由于假设条件知函数f在点处是半拟可微的，则8.(1)+a)(d)=8.()(d)+8-()(d)sups,d)+inffO都有d+t(-）D（)。由D（）的定义可知,即证当充分小时，+(d+t(-)）K,也就是g(x+入(d+t(y-x)0,ViEI。首先考虑对ViI（），t O 时,由函数g在点x处是半拟可微的可知：gi(x;d+t(y-x)sups,d+t(y-x)+inf 0 使得对d R且满足d1都有y+ed e KC n,S(g.)C S:(g.)。由(2)式知 Vd e R,ll d ll 1,V e a.g:(x)+ag:(x),Vx eiel()S:(gi)都有 6,y+8d-x)8.()*()(x-x)0。令d=时,有 0，即,y-x)-,=-llll,V a.g:(x)+ag()。由假设0 clco(a.g.()+ag(元)可知 I=8.g()+g()(y-%)sup-&$-8inf50。5ea+gi()+a*gi(x)5ed.gi()+a*gi(x)因此，g（;d+t(-)）ltl,由g:(x+入(d+t(y-x)-g:(x)gt(x;d+t(y-x)=limsup 0 都有g（+（d+t(-)）g（）=0,从而+（d+t(y-)）。然后考虑对iI(）以及t0，由函数g:在点处的上半连续性可知对充分小的入 都有limsupg:(x+入(d+t(y-x)g.(x)0,即g,(x+(d+t(y-x)O都有+(d+t()）,即d+t-）D（）。这就表明dclDk（）=T k（x）即(x）T k(x）=c l D k(),故结论成立。推论2如果只考虑定理3中iI(x）的情况，则有Nk（）=c l c o n e（U（a.g（）+a g.（)）。ieI()证明由定理3知，当iI(）时，有Nk（z）c l c o n e（U（a.g（）+a g（)）成立，则只需证明iel()clcone（U（a g（）+a g（)）Nk（）。对任意的iI(x），由假设（2)式可知对V.g（x）+ieI(元)ag()都有,x-元)8.)+*()(x-)0,Vx K=S:(gi),即a.gi(x)+ag(x)C Nk(x)。结合N（）是闭凸锥可知clcone（U（a,g（）+a g（z）Nk（x）。ieI(x)综合上述讨论有：Nk（x）=c l c o n e（U（a.g（x）+a g:（x)）。iel()定理4假设条件与定理3一致，且对ViEI(x），函数g:是上半连续的，则Nk（x）co(U(acPg.(x)U 1o/)。ieI()2024.年154西华师范大 的假设条件和定理1可知ag（）U(0=clcone（a.g（x）+a*g（x）Nk（）。由引理4及intK可知Nk（）是点锥。由引理13可知acg（）U10是非空闭凸锥，由文献1中引理6 的证明过程可知co（a g（）U 10）是闭集。从而根据推论2 得iel()Nk(x)=clcone(U(a.g:()+ag:(a)C clcone(U(acg.(x)U(0l)=co(U(acg:(x)U(0)。iel()iel(x)ie()参考文献：1SUZUKI S.Karush-Kuhn-Tucker type optimality condition for quasiconvex programming in terms of Greenberg-Pierskalla subdif-ferentialJ.Journal of Global Optimization,2021,79(1):191-202.2ACRAWAL A,BOYD S.Disciplined quasiconvex programmingJ.Optimization Letters,2020,14(7):1643-1657.3HISHINUMA K,IIDUKA H.Fixed point quasiconvex subgradient methodJJ.European Journal of Operational Research,2020,282(2):428-437.4PLASTRIA F.On the structure of the weakly efficient set for quasiconvex vector minimization JJ.Journal of Optimization Theoryand Applications,2020,184(2):547-564.5SUZUKI S.Optimality 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set normal cone and the constraint function with semi-quasi-differentiable prop-erties is studied as well.In addition,the relationship between the above two results and Greenberg-Pierskalla subdif-ferential is proved.Keywords:semi-quasi-differentiable;subdifferential;quasi-convex programming;optimality conditions;normal cone