2023届上海市松江区九年级数学第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列运算中正确的是（　　）
A．a2÷a＝a B．3a2+2a2＝5a4
C．（ab2）3＝ab5 D．（a+b）2＝a2+b2
2．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转50°得△DEC，若AC⊥DE，则∠BAC等于( )

A．30° B．40° C．50° D．60°
3．如图，重庆欢乐谷的摩天轮是西南地区最高的摩天轮，号称“重庆之限”．摩天轮是一个圆形，直径AB垂直水平地面于点C，最低点B离地面的距离BC为1.6米．某天，妈妈带着洋洋来坐摩天轮，当她站在点D仰着头看见摩天轮的圆心时，仰角为37º，为了选择更佳角度为洋洋拍照，妈妈后退了49米到达点D’，当洋洋坐的桥厢F与圆心O在同一水平线时，他俯头看见妈妈的眼睛，此时俯角为42º，已知妈妈的眼睛到地面的距离为1.6米，妈妈两次所处的位置与摩天轮在同一平面上，则该摩天轮最高点A离地面的距离AC约是（ ）
（参考数据：sin37º≈0.60，tan37º≈0.75，sin42º≈0.67，tan42º≈0.90）

A．118.8米 B．127.6米 C．134.4米 D．140.2米
4．已知三点在抛物线上，则的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．方程x2+4x+4＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论: ① abc＜0；② 2a＋b＝0; ③ b2－4ac＜0；④ 9a+3b+c＞0; ⑤ c+8a＜0.正确的结论有（　　）.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在反比例函数的图像上，则的值为（ ）

A．4. B．3.5 C．3. D．2.5
8．关于的一元二次方程x2﹣2+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
9．如图，在第一象限内，，是双曲线()上的两点，过点作轴于点，连接交于点，则点的坐标为(　　)

A． B． C． D．
10．下列四个点中，在反比例函数y＝的图象上的是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，扇形的圆心角是为，四边形是边长为的正方形，点分别在在弧上，那么图中阴影部分的面积为__________．(结果保留)

12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____．
13．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为_____________．
14．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）

15．四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝125°，则∠C的度数为_____°．
16．在比例尺为1:1000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是2.6cm,则甲、乙两地的实际距离为_______千米.
17．如图，已知△ABC，AB=6，AC=5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE=∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为__________．

18．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为___．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，直线与轴交于点，与反比例函数第一象限内的图象交于点，连接，若．
（1）求直线的表达式和反比例函数的表达式；
（2）若直线与轴的交点为，求的面积．

20．（6分）如图，抛物线y=ax2+bx过A(4，0) B(1，3)两点，点C 、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H
（1）求抛物线的解析式．
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积．
（3）点P是抛物线BA段上一动点，当△ABP的面积为3时，求出点P的坐标．

21．（6分）我市某公司用800万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金1550万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现：该产品的销售单价需要定在200元到300元之间较为合理.销售单价（元）与年销售量（万件）之间的变化可近似的看作是如下表所反应的一次函数：
销售单价（元）
200
230
250
年销售量（万件）
14
11
9
（1）请求出与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．

（1）求证：AB＝AF；
（2当AB＝3，BC＝4时，求的值．
23．（8分）已知：中，．
（1）求作：的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若的外接圆的圆心到边的距离为4，，求的面积．
24．（8分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线．
(2)求证：．

25．（10分）有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC，如图所示．
（1）求被剪掉阴影部分的面积：
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？

26．（10分）如图，点D、O在△ABC的边AC上，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，连结DE、OB，且DE∥OB．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）设OB与⊙O交于点F，连结EF，若AD＝OD，DE＝4，求弦EF的长．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以，积的乘方和完全平方公式的知识求解即可求得答案．
【详解】解：A、，故A选项正确；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以，积的乘方和完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
2、B
【分析】根据旋转的性质可求得∠ACD，根据互余关系可求∠D，根据对应角相等即可得∠BAC的大小．
【详解】解：依题意得旋转角∠ACD=50°，
由于AC⊥DE，由互余关系可得∠D=90°-50°=40°，
由旋转后对应角相等，得∠BAC=∠D=40°，
故B选项正确．
【点睛】
本题考查了图形的旋转变化，要分清是顺时针还是逆时针旋转，旋转了多少度，难度不大，但容易出错，细心点即可．
3、B
【分析】连接EB，根据已知条件得到E′，E，B在同一条直线上，且E′B⊥AC，过F做FH⊥BE于H，则四边形BOFH是正方形，求得BH=FH=OB，设AO=OB=r，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：连接EB，

∵D′E′=DE=BC=1.6
∴E′，E，B在同一条直线上，且E′B⊥AC，
过F做FH⊥BE于H，
则四边形BOFH是正方形，
∴BH=FH=OB，
设AO=OB=r，
∴FH=BH=r，
∵∠OEB=37°，
∴tan37°=，
∴BE=，
∴EH=BD-BH=，
∵EE′=DD′=49，
∴E′H=49+，
∵∠FE′H=42°，
∴tan42°=，
解得r≈63，
∴AC=2×63+1.6=127.6米，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形——仰角与俯角问题，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
4、B
【分析】先确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求出点关于对称轴对称的点的坐标，再利用二次函数的增减性判断即可.
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线x=2，∴点关于对称轴对称的点的坐标是，
∵当x<2时，y随x的增大而增大，且0<1<1.5，∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，属于基本题型，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.
5、B
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【详解】解：∵△＝b2﹣4ac＝16﹣16＝0
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
6、C
【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：抛物线开口向下，得：a＜0；抛物线的对称轴为x=-=1，则b=-2a，2a+b=0，b=-2a，故b＞0；抛物线交y轴于正半轴，得：c＞0.
∴abc＜0, ①正确；
2a+b=0②正确；
由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac＞0，故③错误；
由对称性可知，抛物线与x轴的正半轴的交点横坐标是x=3，所以当x=3时，y= 9a+3b+c=0,故④错误；
观察图象得当x=-2时，y＜0，
即4a-2b+c＜0
∵b=-2a，
∴4a+4a+c＜0
即8a+c＜0，故⑤正确.
正确的结论有①②⑤，
故选:C
【点睛】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
7、C
【分析】先通过条件算出O’坐标,代入反比例函数求出k即可.
【详解】由题干可知,B点坐标为(1,0),旋转90°后,可知B’坐标为(3,2),O’坐标为(3,1).
∵双曲线经过O’,∴1=,解得k=3.
故选C.
【点睛】
本题考查反比例函数图象与性质,关键在于坐标平面内的图形变换找出关键点坐标.
8、A
【分析】关于x的一元二次方程x²+2x+k=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于k的不等式，解答即可．
【详解】根据一元二次方程根与判别式的关系，要使得x2﹣2+k=0有两个相等实根，只需要△=(-2)²-4k=0，解得k=1．
故本题正确答案为A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
9、D
【分析】先根据P点坐标计算出反比例函数的解析式，进而求出M点的坐标，再根据M点的坐标求出OM的解析式，进而将代入求解即得．
【详解】解：将代入得：
∴
∴反比例函数解析式为
将代入得：
∴
∴
设OM的解析式为：
∴将代入得
∴
∴OM的解析式为：
当时

∴点的坐标为．
故选：D．
【点睛】
本题考查待定系数法求解反比例函数和正比例函数解析式，解题关键是熟知求反比例函数和正比例函数解析式只需要一个点的坐标．
10、C
【分析】先分别计算四个点的横、纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：∵﹣3×（﹣2）＝6，3×2＝6，﹣2×3＝﹣6，﹣2×（﹣3）＝6，
∴点（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是判断在反比例函数图象上的点，掌握点的横、纵坐标之积等于反比例函数的比例系数即可判断该点在反比例函数图象上是解决此题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】由正方形的性质求出扇形的半径，求得扇形的面积，再减去正方形OEDC的面积即可解答，
【详解】解：∵正方形OCDE的边长为1，
∴OD=
∵扇形的圆心角是为
∴扇形的面积为
∴阴影部分的面积为-1
故答案为-1.
【点睛】
本题考查了扇形的面积计算，确定扇形的半径并求扇形的面积是解答本题的关键.
12、且k≠1．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得：且k≠1．
故答案是：且k≠1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．
13、16 cm
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求解．
详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm．
故答案为：16.
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握相似三角形周长的比等于相似比．
14、∠B=∠1或
【解析】此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可.
【详解】此题答案不唯一，如∠B=∠1或．
∵∠B=∠1，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
故答案为∠B=∠1或
点睛】
此题考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题.
15、1．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补的性质进行计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝125°，
∴∠C＝1°，
故答案为：1．

【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，理解圆内接四边形的对角互补的性质是解答本题的关键.
16、1
【解析】根据比例尺＝图上距离：实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离．
【详解】根据比例尺＝图上距离：实际距离，得：A，B两地的实际距离为2.6×1000000＝100000（cm）＝1（千米）．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了线段的比．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
17、
【分析】由题中所给条件证明△ADF△ACG，可求出的值.
【详解】解：在△ADF和△ACG中，
AB=6，AC=5，D是边AB的中点
AG是∠BAC的平分线，
∴∠DAF=∠CAG
∠ADE＝∠C
∴△ADF△ACG
∴.
故答案为.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，难度适中，需熟练掌握.
18、2020.
【分析】把x=m代入方程计算即可求解．
【详解】解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣2019＝0，即m2﹣m＝2019，
则原式＝2019+1＝2020，
故答案为2020.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

三、解答题(共66分)
19、（1），；（1）1
【分析】（1）先由S△AOB=4，求得点B的坐标是（1，4），把点B（1，4）代入反比例函数的解析式为，可得反比例函数的解析式为：；再把A（-1，0）、B（1，4）代入直线AB的解析式为y=ax+b可得直线AB的解析式为y=x+1．
（1）把x=0代入直线AB的解析式y=x+1得y=1，即OC=1，可得S△OCB=OC×1=×1×1=1．
【详解】解：（1）由A（-1，0），得OA=1；
∵点B（1，m）在第一象限内，S△AOB=4，
∴OA•m=4；
∴m=4；
∴点B的坐标是（1，4）；
设该反比例函数的解析式为（k≠0），
将点B的坐标代入，得，
∴k=8；
∴反比例函数的解析式为：；
设直线AB的解析式为y=ax+b（k≠0），
将点A，B的坐标分别代入，得
，
解得：；
∴直线的表达式是；
（1）在y=x+1中，令x=0，得y=1．
∴点C的坐标是（0，1），
∴OC=1；
∴S△OCB=OC×1=×1×1=1．
【点睛】
本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．此题有点难度．
20、（1）y=-x2+4x；（2）点C的坐标为（3，3），3；（3）点P的坐标为（2，4）或（3，3）
【分析】（1）将点A、B的坐标代入即可求出解析式；
（2）求出抛物线的对称轴，根据对称性得到点C的坐标，再利用面积公式即可得到三角形的面积；
（3）先求出直线AB的解析式，过P点作PE∥y轴交AB于点E，设其坐标为P（a，-a2+4a），得到点E的坐标为(a，-a+4)，求出线段PE，即可根据面积相加关系求出a，即可得到点P的坐标.
【详解】（1）把点A（4，0），B(1，3)代入抛物线y=ax2+bx中，得

，得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x；
(2)∵，
∴对称轴是直线x=2，
∵B(1，3)，点C 、B关于抛物线的对称轴对称，
∴点C的坐标为（3，3），BC＝2，
点A的坐标是（4，0），BH⊥x轴，
∴S△ABC= =；
（3）设直线AB的解析式为y=mx+n，将B，A两点的坐标代入
得，解得，
∴y=-x+4，
过P点作PE∥y轴交AB于点E，P点在抛物线y=-x2+4x的AB段，
设其坐标为（a，-a2+4a），其中1 S△PEA=×PE×3=(-a2+5a-4)=，
得a1=2，a2=3，
P1(2，4)，P2(3，3)即点C，
综上所述，当△ABP的面积为3时，点P的坐标为（2，4）或（3，3）.
【点睛】
此题是二次函数的综合题，考查待定系数法，对称点的性质，图象与坐标轴的交点，动点问题，是一道比较基础的综合题.
21、（1）；（2）亏损，赔了110万元
【分析】（1）设，将,代入求得系数即可.
（2）根据年获利=单件利润销量-800-1550
【详解】解：（1）设，

；
（2）
，
对称轴，
∵，，
∴时，（万元）
1550+800-2240=110（万元）

∴赔了110万元.
【点睛】
本题考查了二次函数的实际中的应用，首先要明确题意，确定变量，建立模型解答.
22、（1）见解析；（2）.
【分析】（1）只要根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到∠1＝∠3，进而可得结论；
（2）易证△AEF∽△CEB，于是AE：CE＝AF：BC，然后结合（1）的结论即可求出AE：EC，进一步即得结果.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠2＝∠3，
∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB＝AF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，∴AE：CE＝AF：BC，
∵AF＝AB＝3，BC＝4，
∴AE：EC＝3：4，
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键.
23、 (1)详见解析;(2)
【分析】(1)分别作出AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是圆的圆心，以O为圆心，OB为半径作圆即可，如图所示．
(2)已知的外接圆的圆心到边的距离为4，，利用勾股定理即可求出OB2，再根据圆的面积公式即可求解．
【详解】解：（1）如图

（2）设BC的垂直平分线交BC于点D
由题意得：，
在Rt中，
∴
【点睛】
本题主要考查的是圆的外接三角形尺规作图法和勾股定理的应用，掌握这两个知识点是解题的关键．
24、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；
（2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：证明：(1)连接OD，
∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直线CD是⊙O的切线；
(2)连接BD，
∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25、（1）平方米；（2）米；
【分析】（1）先根据圆周角定理可得弦BC为直径，即可得到AB=AC，根据特殊角的锐角三角函数值可求得AB的长，最后根据扇形的面积公式即可求得结果；
（2）设圆锥底面圆的半径为r，而弧BC的长即为圆锥底面的周长，根据弧长公式及圆的周长公式即可求得结果.
【详解】（1）∵∠BAC=90°
∴弦BC为直径
∴AB=AC
∴AB=AC=BC·sin45°
∴S阴影=S⊙O-S扇形ABC=()2-；
（2）设圆锥底面圆的半径为r，而弧BC的长即为圆锥底面的周长，由题意得
2r=，解得r=
答：（1）被剪掉的阴影部分的面积为；（2）该圆锥的底面圆半径是.
【点睛】
圆周角定理，特殊角的锐角三角函数值，扇形的面积公式，弧长公式，计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.
26、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AB，根据平行线的性质得到∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，根据全等三角形的性质得到∠OCB＝∠OEB＝90°，于是得到BC是⊙O的切线；
（2）根据直角三角形的性质得到OD＝DE＝1，推出四边形DOFE是平行四边形，得到EF＝OD＝1．
【详解】（1）证明：连接OE，
∵以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∵DE∥OB，
∴∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，
∵OE＝OD，
∴∠EDO＝∠DEO，
∴∠BOC＝∠BOE，
∵OB＝OB，OC＝OE，
∴△OCB≌△OEB（SAS），
∴∠OCB＝∠OEB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AEO＝90°，AD＝OD，
∴ED＝AO＝OD，
∴OD＝DE＝1，
∵DE∥OF，DE＝OD＝OF，
∴四边形DOFE是平行四边形，
∴EF＝OD＝1，
∴弦EF的长为1．

【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．