安徽省合肥市六校联盟2023届高一数学第一学期期末统考试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．函数f（x）=lnx﹣1的零点所在的区间是
A（1，2） B.（2，3）
C.（3，4） D.（4，5）
2．设，,下列图形能表示从集合A到集合B的函数图像的是
A. B.
C. D.
3．函数f（x）=sin（x+）+cos（x-）的最大值是（　　）
A. B.
C.1 D.
4．如图，在中，已知为上一点，且满足，则实数值为

A. B.
C. D.
5．已知，则的最小值是（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
6．设，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
7．已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（ ）
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
8．若无论实数取何值，直线与圆相交，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
9．设实数满足，函数的最小值为（ ）
A. B.
C. D.6
10．不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
11．设函数y＝，当x＞0时，则y（）
A.有最大值4 B.有最小值4
C有最小值8 D.有最大值8
12．下列命题中，真命题是．
A.xR，x2＋1＝x B.xR，x2＋1＜2x
C.xR，x2＋1＞x D.xR，x2＋2x＞1
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围是____________
14．已知函数，则=____________
15．若函数是幂函数，则函数（其中，）的图象过定点的坐标为__________
16．计算
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知定义域为的函数是奇函数
（Ⅰ）求值；
（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域上的单调性；
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅳ）设关于的函数有零点，求实数的取值范围.
18．已知函数
（1）求函数的最小正周期及函数的单调递增区间；
（2）求函数在上的值域
19．如图，在中，，，点在的延长线上，点是边上的一点，且存在非零实数，使.
（Ⅰ）求与的数量积；
（Ⅱ）求与的数量积.

20．已知集合，.
（1）求，；
（2）若，且，求实数的取值范围.
21．已知.
（1）求，的值；
2）求的值.
22．已知A（3，7）、B（3，-1）、C（9，-1），求△ABC的外接圆方程.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、B
【解析】∵，在递增，而，∴函数的零点所在的区间是，故选B.
2、D
【解析】从集合A到集合B的函数，即定义域是A，值域为B，逐项判断即可得出结果.
【详解】因为从集合A到集合B的函数，定义域是A，值域为B；所以排除A,C选项，又B中出现一对多的情况，因此B不是函数，排除B.
故选D
【点睛】本题主要考查函数图像，能从图像分析函数的定义域和值域即可，属于基础题型.
3、A
【解析】先利用三角恒等变化公式将函数化成形式，然后直接得出最值.
【详解】
整理得，利用辅助角公式得，所以函数的最大值为，故选A.
【点睛】三角函数求最值或者求值域一定要先将函数化成的形函数.
4、B
【解析】所以，所以。故选B。
5、C
【解析】，根据结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：，
因为，又，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
即的最小值是7.
故选：C
6、B
【解析】利用“”分段法确定正确选项.
【详解】，，
所以.
故选：B
7、A
【解析】表示的是方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点在的角平分线上，故动点必过三角形的内心.
【详解】如图，设，，
已知均为单位向量，

故四边形为菱形，所以平分，
由
得，又与有公共点，
故三点共线，
所以点在的角平分线上，故动点的轨迹经过的内心.
故选：A.
8、A
【解析】利用二元二次方程表示圆的条件及点与圆的位置关系即得.
【详解】由圆，可知圆，
∴，
又∵直线，即，恒过定点，
∴点在圆的内部，
∴，即，
综上，.
故选：A.
9、A
【解析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.
详解】解：由题意，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为.
故选：A
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
10、D
【解析】化简不等式并求解即可．
【详解】将不等式变形为，解此不等式得或.
因此，不等式解集为
故选：D
【点睛】本题考查一元二次不等式解法，考查学生计算能力，属于基础题．
11、B
【解析】由均值不等式可得答案.
【详解】由,当且仅当，即时等号成立.
当时，函数的函数值趋于
所以函数无最大值，有最小值4
故选：B
12、C
【解析】根据全称命题和特称命题的含义，以及不等式性质的应用，即可求解.
【详解】对于A中，，所以，所以不正确；
对于B中，，所以，所以不正确；
对于C中，，所以，所以正确；
对于D中，，所以不正确，
故选C.
【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的真假判定，其中解答中正确理解全称命题和特称命题的含义，以及不等式性质的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】由题可得，利用正弦函数的性质可得对称轴为，结合条件即得.
【详解】∵，
由，得，
当时，，则，解得此时，
当时，，则，解得此时，不合题意，
当取其它整数时，不合题意，
∴.
故答案：.
14、
【解析】由函数解析式，先求得，再求得代入即得解.
【详解】函数，则==，故答案为.
【点睛】本题考查函数值的求法，属于基础题.
15、（3，0）
【解析】若函数是幂函数，则，
则函数（其中，），
令，计算得出：，，
其图象过定点的坐标为
16、5
【解析】化简，故答案为.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、 (Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)（Ⅳ）.
【解析】（1）根据奇函数性质得，解得值；（2）根据单调性定义，作差通分，根据指数函数单调性确定因子符号，最后根据差的符号确定单调性（3）根据奇偶性以及单调性将不等式化为一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求实数的取值范围；（4）根据奇偶性以及单调性将方程转化为一元二次方程有解问题，根据二次函数图像与性质求值域，即得实数的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）由题设，需，∴，∴，
经验证，为奇函数，∴.
（Ⅱ）减函数
证明：任取，，且，则，

∵
∴
∴，；
∴，即
∴该函数在定义域上减函数.
（Ⅲ）由得，
∵是奇函数，∴，
由（Ⅱ）知，是减函数
∴原问题转化为，即对任意恒成立，
∴，得即为所求.
（Ⅳ）原函数零点的问题等价于方程
由（Ⅱ）知，，即方程有解
∵，
∴当时函数存在零点.
点睛:利用函数性质解不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.
18、（1）最小正周期为；单调递增区间为；（2）
【解析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到，由解析式可确定最小正周期；令，解不等式可求得单调递增区间；
（2）利用可求得的范围，对应正弦函数可确定的范围，进而得到所求值域.
【详解】（1），
的最小正周期；
令，解得：，
的单调递增区间为；
（2）当时，，，
，即在上的值域为.
19、 (Ⅰ)-18；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)在中由余弦定理得，从而得到三角形为等腰三角形，可得，由数量积的定义可得．(Ⅱ)根据所给的向量式可得点在的角平分线上，故可得，所以，因为，所以得到．设设，则得到，，根据数量积的定义及运算率可得所求
试题解析：
（Ⅰ）在中，
由余弦定理得，
所以，
所以是等腰三角形，且，
所以,
所以
（Ⅱ）由,
得，
所以点在的角平分线上，
又因为点是边上的一点，
所以由角平分线性质定理得，
所以.
因为，
所以.
设，
则，
由，得，
所以，
又，
所以

点睛：解题时注意在三角形中常见的向量与几何特征的关系：
（1）在中，若或，则点是的外心；
（2）在中，若，则点是的重心；
（3）在中，若，则直线一定过的重心；
（4）在中，若，则点是的垂心；
（5）在中，若，则直线通过的内心.
20、（1），
（2）
【解析】（1）解出集合，利用并集、补集以及交集的定义可求得结果；
（2）由已知条件可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，或，
所以，，.
【小问2详解】
解：因为，所以或，解得或，
所以的取值范围为.
21、（1），
（2）
【解析】（1）根据同角三角函数关系得到余弦值，正切值，利用二倍角公式求得；（2）在第一问的基础上，利用余弦的差角公式进行求解.
【小问1详解】
∵,且,
∴,
∴,.
【小问2详解】

22、
【解析】设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A（1，0），B（0，1），C（3，4）代入，能求出△ABC外接圆的方程
【详解】设外接圆的方程为.
将ABC三点坐标带人方程得： 解得
圆的方程为
【点睛】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用