2022年北京市中学关村中学数学九上期末综合测试模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②a+b+c＝2；③abc＜0；④a﹣b+c＜0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A．9︰16 B．3︰4 C．9︰4 D．3︰16
3．⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
4．如图，点的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），若点的横坐标的最小值为0，则点的横坐标最大值为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AC＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：
①a+b+c＝0；
②b＞2a；
③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；
④c＝﹣3a，
其中正确的命题是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
7．正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，其横坐标分别为若且则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在一幅长80cm，宽50 cm的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则满足的方程是（ ）

A．（80＋x）（50＋x）＝5400
B．（80＋2x）（50＋2x）＝5400
C．（80＋2x）（50＋x）＝5400
D．（80＋x）（50＋2x）＝5400
10．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．某人沿着有一定坡度的坡面前进了6米，此时他在垂直方向的距离上升了2米，则这个坡面的坡度为_____．

12．如图，在小孔成像问题中，小孔 O到物体AB的距离是60 cm，小孔O到像CD的距离是30 cm，若物体AB的长为16 cm，则像 CD的长是 _____cm.

13．反比例函数y=的图象分布在第一、三象限内，则k的取值范围是 ______．
14．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离________cm．

15．某园进行改造，现需要修建一些如图所示圆形（不完整）的门，根据实际需要该门的最高点C距离地面的高度为2.5m，宽度AB为1m，则该圆形门的半径应为_____m．

16．点与关于原点对称，则__________．
17．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________.

18．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，且，则的长为_______.

三、解答题(共66分)
19．（10分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝37°，∠DBH＝67°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（参考数据tan67°， tan37°）

20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B，

(1)求证：△ADF∽△DEC
(2)若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.
21．（6分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
22．（8分）如图，在矩形的边上取一点，连接并延长和的延长线交于点，过点作的垂线与的延长线交于点，与交于点，连接．

（1）当且时，求的长；
（2）求证：；
（3）连接，求证：．
23．（8分）（1）计算：|1﹣﹣2cos45°+2sin30°
（2）解方程：x2﹣6x﹣16＝0
24．（8分）数学兴趣小组对矩形面积为9，其周长m的范围进行了探究．兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法解决，以下是他们从“图形”的角度进行探究的部分过程，请把过程补充完整．
（1）建立函数模型．
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为9，得xy＝9，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第　 　象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象．
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到，请在同一直角坐标系中画出直线y＝﹣x．

（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象．
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（3，3）时，周长m的值为　 　；
②在直线平移过程中，直线与函数y＝（x＞0）的图象交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
面积为9的矩形，它的周长m的取值范围为　 　．
25．（10分）如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，联结AC、OB，若CD=40，AC=20．
（1）求弦AB的长；
（2）求sin∠ABO的值．

26．（10分）某商场经营一种新上市的文具，进价为元/件，试营销阶段发现：当销售单价为元/件时，每天的销售量是件；销售单价每上涨一元，每天的销售量就减少件，
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①∵抛物线与x轴有两不同的交点，
∴△＝b2﹣4ac＞1．
故①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），
∴代入得a+b+c＝2．
故②正确；
③∵根据图示知，抛物线开口方向向上，
∴a＞1．
又∵对称轴x＝﹣＜1，
∴b＞1．
∵抛物线与y轴交与负半轴，
∴c＜1，
∴abc＜1．
故③正确；
④∵当x＝﹣1时，函数对应的点在x轴下方，则a﹣b+c＜1，
故④正确；
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
2、B
【解析】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果．
因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B.
考点：本题主要考查了相似三角形的性质
点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方
3、B
【分析】根据圆O的半径和圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
【详解】∵⊙O的半径为8，圆心O到直线L的距离为4，
∵8＞4，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选B．
4、B
【分析】根据待定系数法求得顶点是A时的解析式，进而即可求得顶点是B时的解析式，然后求得与x轴的交点即可求得．
【详解】解：∵点C的横坐标的最小值为0，此时抛物线的顶点为A，
∴设此时抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，
代入（0，0）得，a+1=0，
∴a=-1，
∴此时抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，
∴当顶点运动到B（5，4）时，点D的横坐标最大，
∴抛物线从A移动到B后的解析式为y=-（x-5）2+4，
令y=0，则0=-（x-5）2+4，
解得x=1或3，
∴点D的横坐标最大值为1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，明确顶点运动到B（5，4）时，点D的横坐标最大，是解题的关键．
5、A
分析】先根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=5，然后利用勾股定理计算AC的长．
【详解】如图，

在Rt△ACB中，∵sinA＝，
∴，
∴AB＝5，
∴AC＝＝1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
6、D
【分析】①观察图象可得，当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0；
②对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a；
③抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝﹣1，即可得ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；
④当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，即可得c＝﹣3a．
【详解】解：观察图象可知：
①当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴①正确；
②对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，
∴②错误；
③∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）
∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，
∴③正确；
④∵当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，
∴c＝﹣3a，
∴④正确．
所以正确的命题是①③④．
故选：D．
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
7、B
【分析】首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为6，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．
【详解】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，

∴∠BOC=×360°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的周长为6，
∴BC=6÷6=1，
∴OB=BC=1，
∴BM=BC=，
∴OM= ，
∴S△OBC=×BC×OM= ，
∴该六边形的面积为： ．
故选：B．
【点睛】
此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8、C
【分析】首先根据二次函数开口向下与轴有两个不同的交点，得出，然后再由对称轴即可判定.
【详解】由已知，得二次函数开口向下，与轴有两个不同的交点，
∴
∵且
∴其对称轴
∴
故答案为C.
【点睛】
此题主要考查二次函数图象的性质，熟练掌握，即可解题.
9、B
【详解】根据题意可得整副画的长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，则根据长方形的面积公式可得：（80+2x）（50+2x）=1．
故应选：B
考点：一元二次方程的应用
10、A
【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
【详解】∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
∴S△AOC=S△BOC，OA=AC=1，
∴S阴影部分=S扇形AOC=．
故选A．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：S=πr2，（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法； ②和差法； ③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再根据坡度的定义即可得．
【详解】由题意得：米，米，，
在中，（米），
则这个坡面的坡度为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理、坡度的定义，掌握理解坡度的定义是解题关键．
12、8
【解析】根据相似三角形的性质即可解题.
【详解】解：由小孔成像的特征可知,△OAB∽△OCD,
由相似三角形的性质可知：对应高比=相似比=对应边的比,
∴30:60=CD：16,
解得：CD=8cm.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉性质内容是解题关键.
13、k＞0
【详解】∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴k＞0，
14、cm
【解析】试题分析：因为OE=OF=EF=10（cm），
所以底面周长=10π（cm），
将圆锥侧面沿OF剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE=10（cm），弧长等于圆锥底面圆的周长10π（cm）
设扇形圆心角度数为n，则根据弧长公式得：
10π=，
所以n=180°，
即展开图是一个半圆，
因为E点是展开图弧的中点，
所以∠EOF=90°，
连接EA，则EA就是蚂蚁爬行的最短距离，
在Rt△AOE中由勾股定理得，
EA2=OE2+OA2=100+64=164，
所以EA=2（cm），
即蚂蚁爬行的最短距离是2（cm）．

考点：平面展开-最短路径问题；圆锥的计算．
15、
【分析】过圆心作弦AB的垂线，运用垂径定理和勾股定理即可得到结论．
【详解】过圆心点O作OE⊥AB于点E，连接OC，

∵点C是该门的最高点，
∴，
∴CO⊥AB，
∴C，O，E三点共线，
连接OA，
∵OE⊥AB，
∴AE==0.5m，
设圆O的半径为R，则OE=2.5-R，
∵OA2=AE2+OE2，
∴R2=（0.5）2+（2.5-R）2，
解得：R=，
故答案为．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
16、
【分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．
【详解】解：∵点P（-4，7）与Q（1m，-7）关于原点对称，
∴-4=-1m，
解得：m=1，
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号是解题关键．
17、-6
【解析】因为四边形OABC是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A和点C关于y轴对称,点C在反比例函数上,设点C的坐标为(x,),则点A的坐标为(－x,),点B的坐标为(0,),因此AC=－2x,OB=,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得:
,解得
18、
【解析】设DE=x，则OE=2x，根据矩形的性质可得OC=OD=3x，在直角三角形OEC中：可求得CE=x，即可求得x=，即DE的长为.
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴OC=AC=BD=OD
设DE=x，则OE=2x， OC=OD=3x，
∵，
∴∠OEC=90°
在直角三角形OEC中
=5
∴x=
即DE的长为.
故答案为：
【点睛】
本题考查的是矩形的性质及勾股定理，掌握矩形的性质并灵活的使用勾股定理是解答的关键.

三、解答题(共66分)
19、GH的长为10m．
【分析】延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，设DE=xm，则CE=（x+2）m，通过解直角三角形可得出AE=，BE=，结合AE-BE=10可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再将其代入GH=CE=CD+DE中即可求出结论．
【详解】解：延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，如图所示．
设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，
在Rt△AEC和Rt△BED中，tan37°＝，tan67°＝，

∴AE＝，BE＝．
∵AE﹣BE＝AB，tan67°， tan37°
∴﹣＝10，
即﹣＝10，解得：x＝8，
∴DE＝8m，
∴GH＝CE＝CD+DE＝2m+8m＝10m．
答：GH的长为10m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，由AE-BE=10，找出关于DE的长的一元一次方程是解题的关键．
20、（1）见解析（2）AF=2
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC AB∥CD
∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°
∵∠AFE+∠AFD=,∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC CD=AB=4
又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD
在Rt△ADE中，DE=
∵△ADF∽△DEC
∴∴
∴AF=
21、（1）袋子中白球有2个；（2）见解析， .
【解析】（1）首先设袋子中白球有x个，利用概率公式求即可得方程：，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）设袋子中白球有x个，
根据题意得：，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原分式方程的解，
∴袋子中白球有2个；
（2）画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．注意掌握方程思想的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
22、（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据已知条件先求出CE的长，再证明，在Rt△CHE中解三角形可求得EH的长，最后利用勾股定理求CH的长；
（2）证明，进而得出结果；
（3）由（2）得，进而，即，再结合，可得出，进一步得出结果.
【详解】（1）解：∵矩形，，
∴.
而，，
∴，
又∵，，∴，
易得.
∴，∴.
∴.
（2）证明：∵矩形，，
∴，
而，
∴，∴，
∴；
（3）证明：由（2）得，
∴，即，
而，
∴，
∴．

【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，关键是掌握基本的概念与性质.
23、（1）1；（1）x1＝8，x1＝﹣1
【分析】（1）根据二次根式的乘法加减法和特殊角的三角函数值可以解答本题；
（1）根据因式分解法可以解答此方程．
【详解】（1）|1﹣|+﹣1cos45°+1sin30°
＝﹣1+1﹣1×+1×
＝﹣1+1﹣+1
＝1；
（1）∵x1﹣6x﹣16＝0，
∴（x﹣8）（x+1）＝0，
∴x﹣8＝0或x+1＝0，
解得，x1＝8，x1＝﹣1．
【点睛】
本题考查解一元二次方程、实数的运算、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．
24、（1）一；（2）见解析；（3）①1；②0个交点时，m＜1；1个交点时，m＝1； 2个交点时，m＞1；（4）m≥1．
【分析】（1）x，y都是边长，因此都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象即可；
（3）在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立y＝和y＝﹣x+整理得：﹣mx+9＝0，即可求解；
（4）由（3）可得．
【详解】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点（x，y）在第一象限，
故答案为：一；
（2）图象如下所示：

（3）①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（3，3）时，
由y＝﹣x+得：3＝﹣3+m，解得：m＝1，
故答案为1；
②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，
联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x²﹣mx+9＝0，
∵△＝m²﹣4×9
∴0个交点时，m＜1；1个交点时，m＝1； 2个交点时，m＞1；
（4）由（3）得：m≥1，
故答案为：m≥1．
【点睛】
本题是反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解即可．
25、（1）40；（2）
【解析】试题分析：（1）根据，CD过圆心O，可得到CD⊥AB，AB=2AD=2BD，在Rt△ACD中利用勾股定理求得AD长即可得；
（2）利用勾股定理求得半径长，然后再根据正弦三角形函数的定义即可求得.
试题解析：（1）∵CD过圆心O， ，
∴CD⊥AB，AB=2AD=2BD，
∵CD=40， ，
又∵∠ADC=，
∴，
∴AB=2AD=40；
（2）设圆O的半径为r，则OD=40-r，
∵BD=AD=20， ∠ODB= ， ∴，
∴，
∴r=25，OD=15，
∴.
26、（1）w=-10x2+700x-10000；（2）35元
【分析】（1）利用每件利润×销量=总利润，进而得出w与x的函数关系式；
（2）利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．
【详解】解：（1）由题意可得：w=（x-20）[250-10（x-25）]
=-10（x-20）（x-50）
=-10x2+700x-10000；
（2）∵w=-10x2+700x-10000=-10（x-35）2+2250，
∴当x=35时，w取到最大值2250，
即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键．