Boubaker多项式配置法求解混合线性积分方程.pdf

第42 卷第1期2024年1月DO1:10.20096/j.xhxb.1008-9233.2024.01.015西安航空学院学报Journal of Xian Aeronautical InstituteVol.42 No.1Jan.2024Boubaker多项式配置法求解混合线性积分方程杨谨（西华师范大学数学与信息学院，四川南充6 37 0 0 2）摘要：使用Boubaker多项式配置法求解混合线性积分方程的近似解。以Boubaker多项式为基函数，对未知函数用Boubaker多项式进行线性表示，将积分方程转化为一组线性代数方程，求解该方程组，得到积分方程的近似解。算例验证表明Boubaker多项式配置法求解混合线性积分方程具有可行性和有效性。该方法可以延展到求解二维的线性Volterra-Fredholm积分方程中。关键词：Boubaker多项式配置法；混合线性积分方程；代数方程组中图分类号：0 2 41.8 3Boubaker Polynomial Collocation Method for SolvingMixed Linear Integral Equations文献标识码：A文章编号：10 0 8-9 2 33(2 0 2 4)0 1-0 0 8 6-0 4YANG Jintong(School of Mathematics and Information,West China Normal University,Nanchong 637002,China)Abstract:Boubaker polynomial configuration method is used to solve approximate solutions ofmixed linear integral equations.Taking Boubaker polynomial as the basis function,the unknownfunction is linearly represented by Boubaker polynomial,the integral equation is transformed into aset of linear algebraic equations,and the approximate solution of the integral equation is obtained.The results show that Boubaker polynomial configuration method is feasible and effective forsolving mixed linear integral equations,and this method can be extended to solve linearVolterra-Fredholm integral equations in two dimensions.Keywords:Boubaker polynomial collocation method;mixed linear integral equation;algebraic equation积分方程根据核函数的不同分为两大类：Volterra型和Fredholm 型。在本文中讨论的是一类混合型积分，即在积分方程中包含Volterra型和Fredholm型。混合积分方程的出现来源于数学模型的建立。Kermack和 McKendrick 等为传染病在封闭人群中传播的时间演变提出了数学模型。Thieme2为流行病的空间传播建立了由非线性积分方程组成的数学模型。随着时代发展，积分方程在生物学、力学3-10 1等领域中也得到了广泛的应用。种群预测模型、生物种群生态学模型和神经脉冲传播模型也可以用积分方程表示。本文考虑了一维的线性混合积分方收稿日期：2 0 2 3-0 5-0 6作者简介：杨谨僮（19 9 7 一），女，四川达州人，硕士研究生，主要从事积分方程的数值解研究。第1 期程，其形式如下1：u(h()=f()+i入2/k2(c,t)u(t)dt(ab)ch(x)u()=g()+iki(,t)u(t)dt+zkz(,h(t)u(h(t)dt(ab)(2)其中:u(),u(h（)是未知函数;f(),g（)h(),ki(,t),k(,t),k(,h(t)是已知函数;a,b,i,2 都是常数。f:a,bR,h:a,ba,k;:a,bXa,b-R(i=1,2)。很多研究者用配置法求解Volterra型积分方程和Fredholm型积分方程以及奇异积分方程的近似解。由于配置法应用范围广泛，因此也可以用于求解混合型积分方程的近似解。近年来，许多不同的函数 1 2-1 5 1 被用来估计积分方程的解，如2 0 0 5 年Yousefi等 1 2 人提出的勒让德小波。2 0 1 1 年Ezzati等 1 3 人提出了切比雪夫函数。2 0 1 4年Mustafa等 1 41 人提出的拉格朗日多项式、重心的拉格朗日多项式以及修正的拉格朗日多项式三种不同的函数形式；同年，Mashayekhi等 1 5 人提出了伯努利多项式。根据结构的不同,形成了不同的配置法。除此之外,还有迭代法 1 6-1 7 、逼近法 1 8-1 9 、分解法 1.2-1 等多种方法求解混合型积分方程。本文提出了基于Boubaker多项式的配置方法来求解形如公式(1)和公式（2)的Volterra-Fredholme积分方程，并进行了收敛性分析。Boubaker多项式配置法的主要特点是借助Boubaker多项式将积分方程转化为代数方程组求解。1Boubacker多项式给出标准的布贝克多项式的三项递归关系 ：B()=1Bi()=B2()=2+2B,()=Bn-1()Bn-2()n3其中，n是非负整数。2Boubaker多项式配置法通过Boubaker多项式配置法求解混合线性积分方程的近似解，对u()u(r)=b,B,(a)ab(4)杨谨僮：Boubaker多项式配置法求解混合线性积分方程ch(x)ki(a,t)u(t)dt+i-087u(h(r)u(h()=bB(h(r),abi=0(5)(1)其中，B;（）和B（h（）是由公式（3）定义的Boubaker多项式,b;（i=O，,k)是未知的系数。将公式（4)和公式（5）代入积分公式（1）和公式（2)中得：2bB,(h(c)=f(a)+2b.k(r,t)B(0)d+i=0(6)i02b.B,(2)=g(c)+266;i=0i=02b Jk2(a,h(t)B,(h(t)d(7)i=0选取配置点为aj=a+jh,h=！k代入公式（6)和公式（7)中得到各自的方程组。B,(h(a,)-k1(aj,t)B,(t)dt-i=062k2(aj,t)B,(t)dtJb;=f(,)Cha2B,(a,)-Jki(aj,t)B,(t)dt-i=02/k2(aj,h(t)B;(h(t)dtJb;=g(,)(9)令aij=B,(h(,)-入12k2(aj,t)B,(t)dti,j=0,1,kC;=B,(,)-入12k2(a,h(t)B,(h(t)dti,j=0,1,k将公式（8）和公式（9）用矩阵的形式表示：AB=FCB=G(3)其中,矩阵A,B,C,G,F的定义如下：A=(aj)xk,B=(b1,b2,.,br)T,C=(cy)xk2G=(g(ai),g(2),g(a)T,F=(f(ai),f(a2),f()T求解线性代数方程，得到系数b1，b 2，b k 从而得到公式（1）和公式（2）的近似解。3算例给出两个不同类型的数值算例，应用在BoubakerCh(a)i=0入2 2 6.C6kz(,t)B,(t)dtCh(a)ki(c,t)B,(t)dt+(8)ht;ki(xj,t)B,(t)dt-ki(a;,t)B;(t)dt-(10)(11)88多项式配置法，求解出积分方程的近似解，并与其他方法做比较。设u和u分别是线性混合积分方程的精确解和近似解。为了说明该方法的可行性和合理o%(a)d,其中性，误差计算公式为：error=u一uk。3.1算例1求解形如公式(1)的混合线性积分方程 7u(h(a)=f()+iki(,t)u(t)dt+入2/k2(,t)u(t)dt(ab)的近似解,f(r)=h()-4e+e*+1+e-（h(r)+2h()+2),ki(r,t)=er-t,k2(,t)=er+,r=l,入=1,h()=,a=0,b=1。算例1 中Boubaker多项式配置法与其他方法误差对比如表1 所示。通过表1 的结果可以看出，本文提出的Boubaker多项式配置法中，随着n增大，所得到的近似解与精确解之间的误差逐渐缩小，但是当n取2 时，与其他方法相比，该效果较差；随着n增大，其他的两种方法求得的误差几乎没有变化，甚至当n取4时，拉格朗日多项式配置法得到近似解与精确解之间的误差反而增大了。表1 算例1 中Boubaker多项式配置法与其他方法误差对比Boubaker多项式n配置法21.4664E-0131.973 1E-1747.057.8E-18算例23.2求解形如公式（2）的混合线性积分方程Ch()u()=g()+i/ki(r,t)u(t)dt+6入2 k2(,h(t)u(h(t)dt(ab)的近似解,其中g（）=e=一e（h（）1)跟,ki(a,t)=er+t,k2(,t)=e+h(0,A1=1,a=-1,a=0,b=1。算例2 中Boubaker多项式配置法与其他方法误差对比如表2 所示。通过表2 的结果可以看出，随着n增大，三种方法所得到的近似解与精确解之间的误差都在逐渐缩小。当n取2 时，与其他方法相比,Boubaker多项式配置法效果一般，当n取8西安航空学院学报时，其效果也比其他两种方法好。表2 算例2 中Boubaker多项式配置法与其他方法误差对比6Boubaker多项式n配置法24.6593E-0254.374 6E-0587.4506E-09“h(a)4结论本文提出了求解一维混合线性积分方程的Boubaker多项式配置方法。通过算例误差分析验证了该方法的可行性和有效性。结合算例1 和算例2的误差分析，表明该方法效果较好。参考文献1DIEKMANN O.Limiting behaviour in an epidemicmodelJI.Nonlinear Analysis,1997,1(5):459-470.2THIEME H R.A model for the spatial spread of anepidemicJ.Journal of Mathematical Biology,1977,4(4):337-351.3BRAUER F.Constant rate harvesting of populationsgoverned by Volterra integral equations JJ.Journal.of Mathematical Analasis and Applications,1976,56h()=a2(1):18-27.拉格朗日4LIENERTMTR.A new class of Volterra-type泰勒方法 2 2 多项式配置法 1 1 1.3986E-156.6122E-152.302 5E-13第42 卷拉格朗日多项式泰勒方法 1 6 配置法 5 14.152.9E-033.705.4E-076.7434E-07integral equations from relativistic quantum physics2.7804E-15J.The Journal of integral equations and applications,2019,31(4):535-569.2.8216E-155刘希望，张宏丹，责帅，等.费曼路径积分强场动力学3.408 1E-15计算方法 J.物理学报，2 0 2 3，7 2（1 9）：2 9 7-3 1 4.6郑智杰.基于直接矩积分方法的多组分颗粒流动特性分析 D.哈尔滨：哈尔滨理工大学，2 0 2 3.7刘唐伟，钟小雨，欧阳旺林，等一类二维有界域上稳态热传导方程侧边值问题的计算方法 J.东华理工大学学报（自然科学版）2 0 2 3，46（1）：9 3-1 0 0.8杨尊凯，顾海波，马丽娜.具有测度脉冲积分边界条件的混合Caputo分数阶微分方程解的性质 J.扬州大学学报（自然科学版），2 0 2 3，2 6（1）：6-1 3，5 5.9季鹭，王同科，高广花.带化学反应的边界层流动问题中一类弱奇异Volterra积分方程的近似解J.工程数学学报，2 0 2 3,40(1)：1 47-1 5 8.10舒小敏，米栋.基于边界积分方程求解二维移动滚动接触问题JI.科学技术与工程，2 0 2 3，2 3（2）：471-477.4.6564E-023.361 6E-045.7654E-07第1 期11WANG K,WANG Q.Lagrange collocation methodfor solving Volterra-Fredholm integral equationsJ.Applied Mathematics&Computation,2013,219(21):10434-10440.12YOUSEFI S,RAZZAGHI M.Legendre waveletsmethod for the nonlinear Volterra-Fredholm integralequations J .M a t h e m a t ic s a n d C o m p u t e r 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