人教版九上数学第二十二章二次函数章节复习.doc

第二十二章 二次函数章节复习
考点管理：
一、相关概念及定义
1、二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次
函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2。
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。
二、二次函数各种形式之间的变换
1、二次函数用配方法可化成：的形式，其中
。
2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；
③；④；⑤。
三、二次函数解析式的表示方法
1、一般式：（，，为常数，）；
2、顶点式：（，，为常数，）；
3、两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）。
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化。
四、二次函数图象的画法
1、五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开
口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五
点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交
点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。
2、画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点。

五、几种特殊二次函数
1、二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2、二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3、二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
4、二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
六、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点
1、的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同。
2、对称轴：平行于轴（或重合）的直线记作。特别地，轴记作直线。
3、顶点坐标：
4、顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口
方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。
七、抛物线中，与函数图像的关系
1、二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然。
⑴ 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大。
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口
的大小。
2、一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴。
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧。
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧。
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置。
3、常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负。
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置。
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。

八、求抛物线的顶点、对称轴的方法
1、公式法：，
∴顶点是，对称轴是直线。
2、配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，
得到顶点为(,)，对称轴是直线。
3、运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂
直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。
九、用待定系数法求二次函数的解析式
1、一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式。
2、顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
3、交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：。
十、直线与抛物线的交点
1、轴与抛物线得交点为(0, )。
2、与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,)。 3、抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，
是对应一元二次方程的两个实数根。抛物线与轴的交点情况可以由对应的
一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离。
4、平行于轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根。
5、一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点。
6、抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故：

十一、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况
1、关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2、关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3、关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4、关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是。
5、关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变。求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。
十二、二次函数图象的平移
1、平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2、平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。

十三、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路
1、三点式。
（1）已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的
解析式。
（2）已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。
2、顶点式。
（1）已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。
（2）已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
3、交点式。
（1）已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
（2）已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。
4、定点式。
（1）在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线经过x 轴上一定
点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。
（2）抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
（3）抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。
5、平移式。
（1）把抛物线y= -2x2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线
y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。
（2）抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.
6、距离式。
（1）抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
（2）已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m﹥0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此
抛物线的解析式。
7、对称轴式。
（1）抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离
的2倍，求抛物线的解析式。
（2）已知抛物线y=-x2+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且
OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。

8、 对称式。
（1）平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，
将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
（2）求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。
9、切点式。
（1）已知直线y=ax-a2(a≠0) 与抛物线y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。
（2）直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。
10、判别式式。
（1）已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线
y=-x2+(m+1)x+3解析式。
（2）已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
（3）已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。

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