2022年北京首都师大附中数学九年级第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是　　）

A． B． C． D．
2．二次函数图像的顶点坐标为( )
A．(0，-2) B．(-2，0) C．(0，2) D．(2，0)
3．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为（）
A．（x＋4）2＝17 B．（x＋4）2＝15 C．（x－4）2＝17 D．（x－4）2＝15
4．如图，转盘的红、黄、蓝、紫四个扇形区域的圆心角分别记为，，，．自由转动转盘，则下面说法错误的是（ ）

A．若，则指针落在红色区域的概率大于0.25
B．若，则指针落在红色区域的概率大于0.5
C．若，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5
D．若，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5
5．如图，是由一些相同的小正方形围成的立方体图形的三视图，则构成这种几何体的小正方形的个数是（）

A．4 B．6 C．9 D．12
6．下列命题正确的个数有（　　）
①两边成比例且有一角对应相等的两个三角形相似；
②对角线相等的四边形是矩形；
③任意四边形的中点四边形是平行四边形；
④两个相似多边形的面积比为2：3，则周长比为4：1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝8，P是对角线BD上任意一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F.设BP＝x，EF＝y，则能大致表示y与x之间关系的图象为( )

A． B．
C． D．
8．下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ）
A．圆 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．4π B．3π C．2π+4 D．3π+4
10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围值是（ ）
A． B． C．且 D．且
11．二次函数y＝3（x+4）2﹣5的图象的顶点坐标为（　　）
A．（4，5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（﹣4，﹣5）
12．甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击20次，3人的测试成绩如下表．则甲、乙、丙3名运动员测试成绩最稳定的是（）
甲的成绩

乙的成绩

丙的成绩
环数
7
8
9
10

环数
7
8
9
10

环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4

频数
6
4
4
6

频数
5
5
5
5
A．甲 B．乙 C．丙 D．3人成绩稳定情况相同
二、填空题（每题4分，共24分）
13．等腰△ABC的腰长与底边长分别是方程x2﹣6x+8=0的两个根，则这个△ABC的周长是_____．
14．在一个不透(明的袋子中装有除了颜色外其余均相同的个小球，其中红球个，黑球个，若再放入个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于，则的值为__________．
15．已知m，n是方程的两个实数根，则．
16．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣6x﹣16，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长为_____．

17．如图所示，在中，，将绕点旋转，当点与点重合时，点落在点处，如果，，那么的中点和的中点的距离是______.

18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BAD＝60°，则∠ACD＝_____°．

三、解答题（共78分）
19．（8分）随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B

（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
21．（8分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．
（1）求k和b的值；
（2）求△OAB的面积．

22．（10分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

23．（10分）如图，身高1.6米的小明站在距路灯底部O点10米的点A处，他的身高（线段AB）在路灯下的影子为线段AM，已知路灯灯杆OQ垂直于路面．
（1）在OQ上画出表示路灯灯泡位置的点P；
（2）小明沿AO方向前进到点C，请画出此时表示小明影子的线段CN；
（3）若AM=2.5米，求路灯灯泡P到地面的距离．

24．（10分）如图，反比例函数与一次函数交于和两点.

（1）根据题中所给的条件，求出一次函数和反比例函数的解析式.
（2）结合函数图象，指出当时，的取值范围.
25．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．
（1）求证：；
（2）FD与DG是否垂直若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
（3）当的值为多少时，△FDG为等腰直角三角形？

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．
（1）求c的值及a，b满足的关系式；
（2）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．
①若m＝n，求a的值；
②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，点M在直线y＝﹣2x﹣3上，请验证点N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】外心在BC的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.故选C.
2、A
【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即对称轴．
【详解】解：抛物线y=x2-2是顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
顶点坐标为（0，-2），
故选A．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为，对称轴为x=h．
3、C
【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
【详解】解：∵，
∴，即，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤和完全平方公式是解题的关键．
4、C
【分析】根据概率公式计算即可得到结论．
【详解】解：A、∵α＞90°，
，故A正确；
B、∵α+β+γ+θ=360°，α＞β+γ+θ，
，故B正确；
C、∵α-β=γ-θ，
∴α+θ=β+γ，∵α+β+γ+θ=360°，
∴α+θ=β+γ=180°，

∴指针落在红色或紫色区域的概率和为0.5，故C错误；
D、∵γ+θ=180°，
∴α+β=180°，

∴指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5，故D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
5、D
【分析】根据三视图，得出立体图形，从而得出小正方形的个数．
【详解根据三视图，可得立体图形如下，我们用俯视图添加数字的形式表示，数字表示该图形俯视图下有几个小正方形

则共有：1+1+1+2+2+2+1+1+1=12
故选：D
【点睛】
本题考查三视图，解题关键是在脑海中构建出立体图形，建议可以如本题，通过在俯视图上标数字的形式表示立体图形帮助分析．
6、A
【分析】利用相似三角形的判定、矩形的判定方法、平行四边形的判定方法及相似多边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】①两边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，故错误；
②对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
③任意四边形的中点四边形是平行四边形，正确；
④两个相似多边形的面积比2:3，则周长比为:，故错误，
正确的有1个，
故选A.
【点睛】
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定、矩形的判定方法、平行四边形的判定方法及相似多边形的性质.
7、A
【分析】根据图形先利用平行线的性质求出△BEF∽△BAC，再利用相似三角形的性质得出x的取值范围和函数解析式即可解答
【详解】当0≤x≤4时，
∵BO为△ABC的中线，EF∥AC，
∴BP为△BEF的中线，△BEF∽△BAC，
∴，即，解得y，
同理可得，当4＜x≤8时，.
故选A.
【点睛】
此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于利用三角形的相似
8、D
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】A． 圆是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B． 正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C． 矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D． 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】
此题考查的是中心对称图形和轴对称图形的识别，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解决此题的关键．
9、D
【解析】试题解析：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，
表面积有四个面组成：两个半圆，一个侧面，还有一个正方形.
故其表面积为：
故选D.
10、C
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
【详解】根据题意得：△＝b2−4ac＝4−8（k−1）＝12−8k＞0，且k−1≠0，
解得：且k≠1．
故选：C．
【点睛】
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．
11、D
【分析】根据二次函数的顶点式即可直接得出顶点坐标．
【详解】∵二次函数
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣4，﹣5），
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数顶点式的顶点坐标为（h，k）．
12、A
【分析】先算出甲、乙、丙三人的方差，比较方差得出最稳定的人选．
【详解】由表格得：
甲的平均数=
甲的方差=

同理可得：乙的平均数为：8.5，乙的方差为：1.45
丙的平均数为：8.5，乙的方差为：1.25
∴甲的方差最小，即甲最稳定
故选：A
【点睛】
本题考查根据方差得出结论，解题关键是分别求解出甲、乙、丙的方差，比较即可．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、11
【详解】∵，
∴（x－2）（x－4）=1．
∴x－2=1或x－4=1，即x1=2，x2=4.
∵等腰△ABC的腰长与底边长分别是方程的两个根，
∴当底边长和腰长分别为2和4时，满足三角形三边关系，此时△ABC的周长为：2+4+4=11；
当底边长和腰长分别为4和2时，由于2+2=4，不满足三角形三边关系，△ABC不存在.
∴△ABC的周长=11.
故答案是：11
14、1
【分析】由概率=所求情况数与总情况数之比，根据随机摸出一个球是黑球的概率等于可得方程，继而求得答案．
【详解】根据题意得：，
解得：．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15、3
【解析】根据题意得m+n=−2，mn=−5，
所以m+n−mn=2−（-5）=3.
16、1
【解析】抛物线的解析式为y=x2-6x-16，可以求出AB=10；在Rt△COM中可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=1．
【详解】抛物线的解析式为y=x2-6x-16，
则D（0，-16）
令y=0，解得：x=-2或8，
函数的对称轴x=-=3，即M（3，0），
则A（-2，0）、B（8，0），则AB=10，
圆的半径为AB=5，
在Rt△COM中，

OM=5，OM=3，则：CO=4，
则：CD=CO+OD=4+16=1．
故答案是：1.
【点睛】
考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到圆的垂径定理．
17、4
【分析】设，在中，得.由勾股定理，再求AM,AB,证，.得，，可得.
【详解】如图所示，
，是的中点，，
，.
设，
在中，，
.
，
.
，.
，，，可得，
同理可证.
，
，

.

故答案为：4
【点睛】
考核知识点：解直角三角形.构造直角三角形，利用三角形相关知识分析问题是关键.
18、1
【解析】连接BD．根据圆周角定理可得.
【详解】解：如图，连接BD．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠DAB＝1°，
∴∠ACD＝∠B＝1°，
故答案为1．
【点睛】
考核知识点：圆周角定理.理解定义是关键.

三、解答题（共78分）
19、该种药品平均每次降价的百分率是30%.
【解析】试题分析：设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是，据此列出方程求解即可．
试题解析：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得：
解得：（不合题意舍去），=30%．
答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
考点：一元二次方程的应用；增长率问题．
20、（1）见解析（2）6
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC.
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠C+∠B=110°，∠ADF=∠DEC
∵∠AFD+∠AFE=110°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=1．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
21、（1）k=10，b=3；（2）.
【解析】试题分析：(1)、将A点坐标代入反比例函数解析式和一次函数解析式分别求出k和b的值；(2)、首先根据一次函数求出点B的坐标，然后计算面积.
试题解析：(1)、把x=2，y=5代入y=，得k==2×5=10
把x=2，y=5代入y=x+b，得b=3
(2)、∵y=x+3 ∴当y=0时，x=-3， ∴OB=3 ∴S=×3×5=7.5
考点：一次函数与反比例函数的综合问题.
22、（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．
【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】（1）将A，B，C代入函数解析式，
得，解得，
这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；
（2）设BC的解析式为y=kx+b，
将B，C的坐标代入函数解析式，得
，解得，
BC的解析式为y=x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，
当n=时，PM最大=；
②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，
解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，
n2﹣2n﹣3=-3，
P（2，-3）；
当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，
解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+（不符合题意，舍），n3=3-，
n2﹣2n﹣3=2-4，
P（3-，2-4）；
综上所述：P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.
23、（1）见解析；（2）见解析；（3）8米
【解析】【试题分析】（1）点B在地面上的投影为M．故连接MB，并延长交OP于点P.点P即为所求；
（2）连接PD，并延长交OM于点N.CN即为所求；
（3）根据相似三角形的性质，易得：，即，
解得．从而得求.
【试题解析】
如图：

如图：

，
∽，
，即，
解得．
即路灯灯泡P到地面的距离是8米．  
【方法点睛】本题目是一道关于中心投影的问题，涉及到如何确定点光源，相似三角形的判定，相似三角形的性质，难度中等.
24、（1），y=x-2；（2）或
【分析】（1）根据点A的坐标即可求出反比例函数的解析式，再求出B的坐标，然后将A，B的坐标代入一次函数求出a，b，即可求出一次函数的解析式.
（2）结合图象找出反比例函数在一次函数上方所对应的自变量的取值范围即可解答.
【详解】解：（1）根据点的坐标可知，在反比例函数中，，
∴反比例函数的解析式为.
∴
把点和代入，
即，解得
∴一次函数的解析式为.
（2）观察图象可得，或.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的应用，结合待定系数法求函数的解析式.
25、（1）见解析；（2）FD与DG垂直，理由见解析；（3）当时，△FDG为等腰直角三角形，理由见解析.
【分析】（1）由比例线段可知，我们需要证明△ADC∽△EGC，由两个角对应相等即可证得；
（2）由矩形的判定定理可知，四边形AFEG为矩形，根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD，从而不难得到结论；
（3）先判断出DF＝DG，再利用同角的余角相等判断出∠ADF＝∠CDG，∠BAD＝∠C，得出△ADF≌△CDG，即可得出结论．
【详解】1）证明：在△ADC和△EGC中，
∵∠ADC＝∠EGC，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△EGC．
∴．
（2）解：FD与DG垂直．
理由如下：
在四边形AFEG中，
∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，
∴四边形AFEG为矩形．
∴AF＝EG．
∵，
∴．
又∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD＝∠C＝90°﹣∠DAC，
∴△AFD∽△CGD．
∴∠ADF＝∠CDG．
∵∠CDG+∠ADG＝90°，
∴∠ADF+∠ADG＝90°．
即∠FDG＝90°．
∴FD⊥DG．

（3）解：当的值为1时，△FDG为等腰直角三角形，理由如下：
由2）知，∠FDG＝90°，
∵△DFG为等腰直角三角形，
∴DF＝DG，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADG+∠CDG＝90°，
∵∠FDG＝90°，
∴∠ADG+∠ADF＝90°，
∴∠ADF＝∠CDG，
∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴△ADF≌△CDG（AAS），
∴AD＝CD，
∵∠ADC＝90°，
∴∠C＝45°＝∠B，
∴AB＝AC，
即：当的值为1时，△FDG为等腰直角三角形．
【点睛】
此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等，判断出△ADF≌△CDG是解本题的关键．
26、（1）c＝﹣4，2a+b＝2；（2）0＜a≤1；（3）①a=；②见解析，a=1．
【分析】（1）令x＝0，则c＝−4，将点B（2，0）代入y＝ax2＋bx＋c可得2a＋b＝2；
（2）由已知可知抛物线开口向上，a＞0，对称轴x＝﹣＝﹣＝1﹣≤0，即可求a的范围；
（3）①m＝n时，M（p，m），N（−2−p，n）关于对称轴对称，则有1−＝−1；②将点N（−2−p，n）代入y＝−2x−3等式成立，则可证明N点在直线上，再由直线与抛物线的两个交点是M、N，则有根与系数的关系可得p＋（−2−p）＝，即可求a．
【详解】（1）令x＝0，则c＝﹣4，
将点B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得4a+2b﹣4＝0，
∴2a+b＝2；
（2）∵抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵A（0，﹣4）和B（2，0），
∴对称轴x＝﹣＝﹣＝1﹣≤0，
∴0＜a≤1；
（3）①当m＝n时，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于对称轴对称，
∴对称轴x＝1﹣＝﹣1，
∴a＝；
②将点N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3，
∴n＝4+2p﹣3＝1+2p，
∴N点在y＝﹣2x﹣3上，
联立y＝﹣2x﹣3与y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4有两个不同的实数根，
∴ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，
∵p+（﹣2﹣p）＝-=，
∴a＝1．
【点睛】
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能结合函数的对称性、增减性、直线与抛物线的交点个数综合解题是关键．