1、 专题7.17：圆锥曲线离心率问题的研究与拓展
【课本溯源】
（1）人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为，，求卫星轨道的离心率.
（2）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，求双曲线的离心率.
【探究拓展】
探究1：离心率的值
（1）已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线的离心率是__________.
变式：在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则m的值为 ．
（2）过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线与该椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率是__________.
变式1：已知双曲线的
2、右焦点为,过且斜率为的直线交于、两点，，若,则的离心率为_________.
变式2：已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为
（）的直线与相交于两点，若，则.
（3）如右图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为________.
变式1：椭圆的左右焦点分别为,焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率为 .
变式2：设是椭圆:的左、右焦点，为直线上一点，△是底角为的等腰三角形，则的离心率为_________.
变式3：如图，已知椭圆的左、右准线分别为，且分别交轴于两点，从上一点发出一条光
3、线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等于 ．
（4）,分别是双曲线:的左右焦点，是虚轴的端点，直线与的两条渐近线分别交于,两点，线段的垂直平分线与轴交于点．若，则的离心率是__________.
变式：已知,分别是双曲线:的左右焦点，点的坐标为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点，线段的垂直平分线与轴交于点．若，求双曲线的离心率．
（5）设椭圆的左、右顶点分别为,，点在椭圆上且异于,两点，为坐标原点．若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为________.
变式：已知,分别为椭:的左右顶点，椭圆上异于,的点恒满足，则椭圆的离心率为_
4、
探究2：离心率的取值范围
（1）已知双曲线的焦距为，离心率为，若点与到直线的距离之和，则的取值范围是 .
（2）已知双曲线的左、右焦点分别为,，若双曲线上存在点，使，则该双曲线离心率的取值范围是 .
变式1：已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上存在一点（异于长轴的端点）使，则该椭圆离心率的取值范围为 .（答案：）
（3）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是______.
（4）如图椭圆的中心在坐标原点，顶点分别是,,,，焦点分别是,，延长交于点.若是钝角，
5、则此椭圆的离心率的取值范围是____________.
变式1：设双曲线的左准线与两条渐近线交于、两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 .
变式2：设,是椭圆的左、右焦点，若在右准线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是 .
变式3：点M是椭圆上的点，以M为圆
心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，
若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是
________．
（5）设，则双曲线的离心率的取值范围是_________.
（6）
6、是椭圆：与双曲线的公共焦点，,分别是,在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是________.
变式1：共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为,，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则的最大值为 .
变式2：已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_________.
拓展1：在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为,右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为.若，则椭圆的离心率为 .
解：由题意知，所以有
两边平方得到，即
两边同除以得到，解得，即
7、
拓展1：F1
F2
O
x
y
B
C
A
如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.
（1）若点C的坐标为,且,求椭圆的方程；
（2）若求椭圆离心率e的值.
解：（1）由题意知，则；
则椭圆方程为. 点C在椭圆上，故，解得；
所求椭圆方程为.
（2）解法1：（垂直关系的先行表征）设，由
得，由在上，则；联立
解得：，在椭圆上，代入椭圆方程整理得
，即，所以椭圆的离心率为
解法2：（垂直关系的最后表征）由题意知直线方程：，与椭圆联立方程组得: 得到，解得，；
则；又由可知：，代入化简有，将代入化简得，即，.
拓展2：如图,是椭圆C：的左、右顶点,是椭圆上异于的任意一点,已知椭圆的离心率为,右准线的方程为.
（1）若，，求椭圆C的方程；
（2）设直线交于点，以为直径的圆交于，若直线恰过原点，求.
O
B
A
M
Q
P
y
x
l
解：（1）由题意：，解得． 椭圆的方程为．
（2）设， 三点共线,
,解得.
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
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