八年级数学第五章：数据的收集与处理第3、4节北师大版知识精讲.doc

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初二数学第五章：数据的收集与处理 第3、4节北师大版

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
第五章：数据的收集与处理
第三节:频数与频率
第四节：数据的波动

二. 教学要求：
1、理解频数与频率等概念，并能绘制相应的频数分布直方图和频数分布折线图。能根据数据处理的结果，做出合理的判断和预测，从而解决实际问题，并在这一过程中体会统计对决策的作用。
2、了解极差、方差、标准差的概念，知道极差、方差、标准差都是刻画数据离散程度的统计量。熟练掌握方差的计算公式，并会用计算器计算一组数据的标准差与方差.理解一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定.

三. 重点、难点：
重点：
1、运用频数与频率概念以及相应的频数分布直方图进行数据处理，做出合理判断和预测。
2、运用极差、方差、标准差解决实际问题。
难点：
1、根据数据处理的结果,做出合理的判断和预测。
2、对极差、方差、标准差概念的理解。

四。 课堂教学：
[知识要点］
知识点1、有关概念
(1）频数:在数据的收集中由于某些对象出现的频繁程度不同，称每个对象出现的次数为频数。
（2)频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即频率=
（3）频数分布直方图：对收集的数据可用适当的统计图表示出来，当收集的数据需连续取值时，可先将数据适当分组，然后再绘制出频数分布直方图.
(4）频数分布折线图：为了更好地刻画数据的总体规律，在频数分布直方图上取点,连线即得到频数分布折线图。

知识点2、频数与频率的区别与联系

区别
联系
频数
频数是落在一个小组内数据的个数，频数之和等于数据总数n。
频率是频数与数据总数的比值.
频率
频率是每一个小组的频数与数据总数的比值，频率之和等于1。

知识点3、如何绘制频数分布直方图
频数分布直方图反映了样本数据落在各个小范围内的多少，绘制一组数据的频数分布直方图的步骤有:
（1）计算最大值与最小值的差;
（2）决定组距与组数，（数据越多,分的组数也应越多，当数据在100个以内时,通常按照数据的多少分成5-—12个组，组距是指每个小组的两个端点之间的距离，一般要求各组的组距相等）
(3）决定分点
（4）列频数分布表
(5）画频数分布直方图.
对于一组已给出的数据，可以通过求平均数、中位数和众数来反映数据的平均水平，也可以通过求极差、方差和标准差来了解数据的离散程度,极差极易计算，但只对极端值比较敏感,方差计算比较复杂,但能比较全面地刻画一组数据的离散程度.

知识点4、定义
（1）极差：一组数据中最大数据与最小数据的差
（2）方差：各个数据与平均数据之差的平方的平均数，即

（3)标准差：方差的算术平方根，即
(4）数据的离散程度：把相对平均水平的偏离情况称为数据的离散程度。
说明:（1）极差、方差、标准差都是刻画数据离散程度的统计量，它们都是衡量数据波动的大小，极差、方差、标准差越大,波动性越大，也越不稳定。
（2）利用计算器可以很方便地计算出一组数据的标准差与方差，其大致步骤是：进入统计状态，输入数据，按键得出标准差。

知识点5、制定一个调查方案应具有的内容：
1、调查的目的
2、调查的问题
3、调查的对象
4、确定调查方式
5、调查如何选取样本
6、对调查数据如何处理
7、注意的问题
8、写出调查结果和调查报告.

【典型例题】
例1、如图，八年级1班在小制作评比活动中，评委会把5月1日到5月30日同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频数分布直方图,已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4:6：4:1,第三组的频数为12,请解答下列问题:

（1）本次活动共有多少件作品参加评比？
（2）哪组上交的作品数量最多？
（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？
分析:(1)频数分布直方图中的各长方形的高的比就是各组所占频数的比，第三组的频数占总数的，又因第三组的频数为12，可求得参赛作品的总件数。
(2）由频数的比值大小可判别各组上交作品的多少。（3)获奖率=该足获奖作品件数÷该组参赛作品件数，即可比较大小.
解：（1由，知
则本次活动共有60件作品参加评比.
（2）由知第四组上交作品数量最多，共18件.
（3)第四组获奖率为
第六组上交的作品数量为
由第六组获奖率为
故第六组获奖率较高。

例2、已知一个样本
25 21 23 25 27 29 25 28 30 29
26 24 25 27 26 22 24 25 26 28
(1）列频数分布表，
（2)绘制频数分布直方图，
(3）绘制频数分布折线图。
解：（1）频数分布表
22以下
23－24
25－26
26－28
29－30
2
3
8
4
3
(2）—(3）频数分布直方图与折线图.

说明：注意图中各个小长方形的高对应着落在每个小组中的频数.

例3、要从甲、乙、丙三位射击运动员中选取一名参加比赛,在预选赛中，他们每人各打了10发子弹，命中的环数如下:
甲：10 10 9 10 9 9 9 9 9 9
乙：10 10 10 9 10 8 8 10 10 8
丙：10 9 8 10 8 9 10 9 9 9
根据这次成绩，应该选择谁去参加比赛?
分析:首先计算平均成绩，谁优越选谁，若平均数相同，则需计算方差，方差小的相对成绩稳定，应是选择对象。
解：经计算，甲、乙、丙三人命中的总环数分别为93,93,91，所以丙应该先遭淘汰。
设甲、乙的命中平均环数为
则

因为0。21<0。81
且甲的极差为:10－9=1，乙的极差为:10－8=2
所以在总的成绩相同的条件下,应选择发挥稳定的运动员甲参加比赛。
说明：方差反映了一组数据在平均数左右波动的大小，在实际生活中应用极广，经常利用它来衡量一组数据的稳定性.

例4、若，求
(1）
（2）
（3）
分析：此题的实质是方差的三条基本性质,证明后可直接应用。
解：(1）设
则
所以

(2）设
则
所以

（3)设
则
所以:

说明:可总结出运算性质：，进一步可以得到标准差的运算性质：
，了解这些性质,为今后的方差计算提供了简单运算思路。

例5、甲、乙两台机床同时加工直径为100毫米的零件，为了检验产品的质量从产品中抽出6件进行测量，测得数据如下：（单位毫米）
甲机床：99 100 98 100 100 103
乙机床：99 100 99 100 102 100
试说明哪一台机床加工的零件更符合要求。
解：

【模拟试题】(答题时间:40分钟）
一、选择题
1. 列一组数据的频数分布表时，落在各个小组内的数据的个数叫做（ )
A。 组距 B. 频数
C。 频率 D. 样本容量
2. 要了解全市八年级学生身高在某一范围内的学生所占比例的大小,需知道相应样本的（ ）
A。 平均数 B. 中位数
C. 众数 D。 频率分布
3。 已知样本7，8，10，14，9,7,12，11，10，8，13，10，8,11，10，9，12，9，13，11，那么这组样本数据落在8.5~11.5内的频率是( ）
A. 0.4 B。 0。6
C。 0。5 D. 0。65
4. 在频数分布表中，各小组的频数之和（ ）
A。 小于数据总数 B。 等于数据总数
C。 大于数据总数 D。 不能确定
5。 已知一组数据－1，x，0,1，－2的平均数是0，那么这组数据的方差是（ ）
A。 B。 2 C. 4 D。 10
6。 若甲组数据的方差比乙组数据的方差大，那么下列说法正确的是（ ）
A. 甲组数据的平均数比乙组数据的平均数大
B. 甲组数据比乙组数据稳定
C. 乙组数据比甲组数据稳定
D. 甲、乙组的稳定性不能确定
7. 已知一组数据的方差是4，则这组数据的标准差是（ ）
A. 2 B. 4 C。 8 D. 16
8. 从A、B两班分别任抽10名学生进行英语口语测试，其测试成绩的方差是SA2=13.2，SB2=26.36，则（ ）
A. A班10名学生的成绩比B班10名学生的成绩整齐
B。 B班10名学生的成绩比A班10名学生的成绩整齐
C。 A、B两班10名学生的成绩一样整齐
D. 不能比较A、B两班学生成绩的整齐程度

二、填空题
1. 已知一组数据共100个，在频数分布表中，某一小组的频数为4，则这一小组的频率为________.
2。 已知在一个样本中，50个数据分别落在5个组内,第一、二、三、四、五组数据的个数分别为2，8，15，20,5，则第四组的频数和频率分别是________.
3。 有一块实验田，抽取1000个麦穗，考察它们的长度（单位：厘米）,从频数分布表中可以得到样本数据落在 5.75~6.05之间的频率是0。36,于是可以估计在这块实验田里，长度在5。75~6。05厘米之间的麦穗约占________。
4。 已知一组数据:25，21,23，25，27，29，2528,30，29,26，24，25,27，26，22，24，25，26,28，填写下面的频数分布表：
分 组
频数累计
频 数
频 率
20。5～22.5

22。5～24。5

24。5～26.5

26。5～28。5

28.5～30。5

合 计

5. 一组数据7,8，9，10，11,12，13的方差是________。
6. 已知一组数据1，2，3，5，x的平均数是3,则这组数据的标准差是________。
7. 已知数据7，9，19,a，17,15的中位数为13，则这组数的平均数为___方差为________。
8. 在一次知识竞赛中，学生甲和乙的各科总平均分相等，但甲的标准差比乙的标准差小，这说明__________________________________.

三、解答题
1。 某中学举行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下表：（分数均为整数，满分为100分）
分数段（分）
61～70
71~80
81~90
91~100
人 数（人）
2
8
6
4
请根据表中提供的信息，解答下列各题:

图1
(1）参加这次演讲比赛的同学共有________人；
(2）已知成绩在91~100分的同学为优胜者,那么，优胜率为________;
（3）所有参赛同学的平均得分M（分）在什么范围内？答:________；
（4）将成绩频数分布直方图补充完整.
2。 某单位对全体职工的年龄进行了调查统计，结果如下（单位:岁）：
21 32 44 50 46 55 60 59 38 49
19 52 34 35 48 52 39 41 44 46
38 43 45 46 24 21 32 30 28 27
将数据适当分组，列出频数分布表，绘制相应的频数分布直方图.
3. 调查统计你所在居民小区各户的一个月用水量，将数据适当分组,并绘制相应的频数分布直方图。
4。 计算下列各组数据的方差和标准差（结果保留到小数点后第二位）
（1）8 9 10 10 11 12
（2）78 80 80 81 82 83 83 85
5. 为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试,两人在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲:7 8 6 8 6 5 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
（1）分别计算甲、乙两组数据的方差.
（2）你认为应选拔哪位同学参加射击比赛？为什么？
6。 甲、乙两台机床同时加工直径为100毫米的零件，为了检验产品质量,质量检查员从两台机床的产品中各随机抽出6件进行测量，测得数据如下(单位:毫米）：
机床甲：99 100 98 100 100 103
机床乙：99 100 102 99 100 100
（1）分别计算上述两组数据的平均数及方差;
(2)如果你是质量检查员，在收集到上述数据后，你将说明哪一台机床加工的零件更符合要求。
7. 甲、乙两台包装机同时包装质量为500克的糖果，从中各抽出10袋，测得其实际质量分别如下（单位：克）：
甲 501 500 508 506 510 509 500 493 494 494
乙 503 504 502 496 499 501 505 497 502 499
哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？

【试题答案】
一、1. B 2。 D 3。 C 4。 B 5. B 6. C 7。 A 8。 A
二、1. 0。04
2. 20,0.4
3. 36%
4. 频数累计从上到下依次为，，正，,，频数从上到下依次为：2，3，8，4，3,20，频率依次为：0.10，0。15,0.40，0.20,0.15,1。00
5. 4
6。
7。 13 18.67
8. 学生甲的各科成绩差异较小
三、1。 (1）20 （2)20% (3）77≤M≤86 (4）略
2。 略
3。 略
4。 （1）S2 ≈1。67 S≈1。29 （2)S2≈4.25 S≈2.06
5。 （1)甲、乙两组数据的方差分别为3和1.2
（2）因为甲、乙二学生的平均数相同，甲的方差比乙的方差大，所以乙学生的成绩比较稳定，应选乙学生参加射击比赛。
6. （1）机床甲、乙两组数据的平均数分别为100和100,方差分别为和1
(2）通过数据分析：甲、乙的平均数相同，甲机床的方差大于乙机床的方差，所以乙机床加工的零件更符合要求。
7. 甲、乙两组数据的方差分别为38。05和7.96，所以乙包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定。