2022-2023学年山东省济宁市达标名校高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知中，，，点M是线段BC（含端点）上的一点，且，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．已知集合，，若，则a的取值范围是　　
A B.
C. D.
3．某班有50名学生，编号从1到50，现在从中抽取5人进行体能测试，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为3，则第四个样本编号是
A.13 B.23
C.33 D.43
4．函数有（ ）
A.最大值 B.最小值

C.最大值2 D.最小值2
5．已知向量，且，则
A. B.
C. D.
6．函数的定义域是　　
A. B.
C. D.
7．函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数则（）
A. B.
C. D.
9．函数（且）与函数在同一个坐标系内的图象可能是
A. B.
C. D.
10．已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（）
A.的定义域为 B.的值域为
C.为偶函数 D.为减函数
11．如果幂函数的图象经过点，则在定义域内
A.为增函数 B.为减函数
C.有最小值 D.有最大值
12．已知f（x）＝是R上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A.(0，1) B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．幂函数为偶函数且在区间上单调递减，则________，________.
14．若函数满足：对任意实数，有且，当时，，则时，________
15．已知向量、满足：，，，则_________.
16．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆的标准方程为_____________________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．中国茶文化博大精深，小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足：，其中为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：
从98℃下降到90℃所用时间
1分58秒
从98℃下降到85℃所用时间
3分24秒
从98℃下降到80℃所用时间
4分57秒
（1）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）函数关系，并选取一组数据求出相应的值（精确到0.01）.
（2）“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（1）的条件下，水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却___________分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由.
A.5 B.7 C.10
（参考数据：，，，，）
18．设函数（且，）
（1）若是定义在R上的偶函数，求实数k的值；
（2）若，对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围
19．已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动.
（1）求线段中点的轨迹的方程；
（2）若一光线从点射出，经轴反射后，与轨迹相切，求反射光线所在的直线方程.

20．已知正方体ABCD-的棱长为2.

（1）求三棱锥的体积；
（2）证明：.
21．已知全集，集合
（1）若，求
（2）．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围
22．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足.
（1）若，求面积的最大值；
（2）已知，是否存在点C，使得，若存在，求点C的个数;若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、D
【解析】如图所示，建立直角坐标系，则，，，．利用向量的坐标运算可得．再利用数量积运算，可得．利用数量积性质可得，可得．再利用，，可得，即可得出
【详解】如图所示，建立直角坐标系
则，，，
，，及四边形为矩形，

，

，

．即
点在直线上，
，
，，，
，即（当且仅当或时取等号），
综上可得：
故选：

【点睛】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算及其性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题
2、D
【解析】化简集合A，根据，得出且，从而求a的取值范围，得到答案
详解】由题意，集合或，
；
若，则且，解得，
所以实数的取值范围为
故选D
【点睛】本题主要考查了对数函数的运算性质，以及集合的运算问题，其中解答中正确求解集合A，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3、C
【解析】根据系统抽样的定义，求出抽取间隔，即可得到结论.
【详解】由题意，名抽取名学生，则抽取间隔为，
则抽取编号为，则第四组抽取的学生编号为.
故选：
【点睛】本题考查系统抽样，等间距抽取，属于简单题.
4、D
【解析】分离常数后，用基本不等式可解.
【详解】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.
故选：D
5、B
【解析】由已知得，
因为，
所以，即，
解得.选B
6、D
【解析】由，求得的取值集合得答案
详解】解：由，得，
函数定义域是
故选：D
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，关键是明确正切函数的定义域，属于基础题
7、A
【解析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用当x＞0时，函数值的正负确定选项即可.
【详解】函数f（x）定义域为，
所以函数f（x）是奇函数，排除BC；
当x＞0时，，排除D
故选：A
8、B
【解析】根据对数的运算性质求出，再根据指数幂的运算求出即可.
【详解】由题意知，
，
则，
所以.
故选：B
9、C
【解析】利用指数函数和二次函数的性质对各个选项一一进行判断可得答案.
【详解】解：两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数的图象过点，故排除A，D；
二次函数的对称轴为直线，当时，指数函数递减，，C符合题意；
当时，指数函数递增，，B不合题意，
故选C
【点睛】本题通过对多个图象的选择考查指数函数、二次函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.
10、C
【解析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质一一判断即可
【详解】解：因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，定义域为，且，即为偶函数，因为，所以，所以，故A错误，B错误，C正确，又 在上单调递减，根据偶函数的对称性可得在上单调递增，故D错误；
故选：C
11、C
【解析】由幂函数的图象经过点，得到，由此能求出函数的单调性和最值
【详解】解：幂函数的图象经过点，
，解得，
，
在递减，在递增，有最小值，无最大值
故选
【点睛】本题考查幂函数的概念和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答
12、B
【解析】要使函数在上为减函数，则要求①当，在区间为减函数，②当时，在区间为减函数，③当时，，综上①②③解不等式组即可.
【详解】令，.
要使函数在上为减函数，
则有在区间上为减函数，
在区间上为减函数且,
∴,解得.
故选：B
【点睛】考查根据分段函数的单调性求参数的问题，根据单调性的定义，注意在分段点处的函数值的关系，属于中档题.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、 (1).或3 (2).4
【解析】根据题意可得：
【详解】区间上单调递减，，
或3，
当或3时，都有，
，
.
故答案为：或3; 4.
14、
【解析】由，可知.
所以函数是周期为4的周期函数.
，时，..
对任意实数，有，可知函数关于点(1,0)中心对称,
所以，又.
所以.
综上可知，时，.
故答案为.
点睛：抽象函数的周期性：（1）若，则函数周期为T；
（2）若，则函数周期为
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为.
15、.
【解析】将等式两边平方得出的值，再利用结合平面向量的数量积运算律可得出结果.
【详解】，
，
，
因此，，故答案为.
【点睛】本题考查利用平面向量数量积来计算平面向量的模，在计算时，一般将平面向量的模平方，利用平面向量数量积的运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
16、
【解析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程
【详解设圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=R2，
由圆经过点（4,5）得R2=25，从而所求方程为（x-1）2+（y-1）2=25，
故答案为（x-1）2+（y-1）2=25
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）；
（2）大约冷却分钟，理由见解析.
【解析】（1）根据求得冷却时间（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）的函数关系，结合对数运算求得.
（2）根据（1）中的函数关系式列方程，由此求得冷却时间.
【小问1详解】
依题意，
，，
，.
，依题意，
则.
若选：从98℃下降到90℃所用时间：1分58秒，即分，
则
若选：从98℃下降到85℃所用时间：3分24秒，即分，

若选：从98℃下降到80℃所用时间：4分57秒，即分，

所以.
【小问2详解】
结合（1）可知：，
依题意，
.
所以大约冷却分钟.
18、（1）1（2）
【解析】（1）由函数奇偶性列出等量关系，求出实数k的值；（2）对原式进行化简，得到对恒成立，分和两种情况分类讨论，求出实数a的取值范围.
【小问1详解】
由可得，
即对恒成立，可解得:
【小问2详解】
当时，有
由，
即有，且
故有对恒成立，
①若，则显然成立
②若，则函数在上单调递增
故有，解得：；
综上：实数a的取值范围为
19、 (1) (2) ，
【解析】（1）设，利用中点坐标公式，转化为的坐标，代入圆的方程求解即可
（2）设关于轴对称点设过的直线，利用点到直线的距离公式化简求解即可
【详解】设，

则代入
轨迹的方程为
（2）设关于轴对称点
设过的直线，即
∵，，

∴或
∴反射光线所在即
即
20、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）将问题转化为求即可；
（2）根据线面垂直证明线线垂直.
【小问1详解】
在正方体ABCD-中，易知⊥平面ABD，
∴.

【小问2详解】
证明：在正方体中，易知，
∵⊥平面ABD，平面ABD，∴.
又∵，、平面，∴BD⊥平面.
又平面，∴
21、（1）或；
（2）
【解析】（1）根据集合的补集和并集的定义进行求解即可；
（2）由充分不必要条件确定集合之间的关系，根据真子集的性质进行求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
因此或，而，
所以或；
【小问2详解】
因为p是q的充分不必要条件，
所以，因此有：，
故a的取值范围为.
22、（1）（2）存在2个点C符合要求
【解析】（1）由,利用两点间距离公式可得,整理得到,由,若面积最大,则到距离最大,即最大,求解即可；
（2）由,利用两点间距离公式可得,整理得到,则点为圆与圆的交点,进而由两圆的位置关系即可得到符合条件的点的个数
【详解】解：
（1）由,得,
化简,即,
所以,
当时,有最大值,此时点到距离最大为,
因为,所以面积的最大值为
（2）存在,
由,得,
化简得,即.
故点C在以为圆心,半径为2的圆上,
结合（1）中知,
点C还在以为圆心,半径为的圆上,
由于,,,且,
所以圆M、圆N相交,有2个公共点,
故存在2个点C符合要求.
【点睛】本题考查两点间距离公式的应用,考查圆与圆的位置关系的应用,考查运算能力