盘锦市高级中学2022-2023学年数学高一上期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．函数的单调递减区间是　　
A. B.
C. D.
2．已知函数，则函数的零点所在区间为（）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
3．已知，则=
A2 B.
C. D.1
4．若点在函数的图像上，则
A.8 B.6
C.4 D.2
5．下列函数中为奇函数，且在定义域上为增函数的有（）
A. B.
C. D.
6．函数的零点所在的区间为（ ）
A.(，1) B.(1，2)
C. D.
7．下图记录了某景区某年月至月客流量情况：

根据该折线图，下列说法正确的是（）
A.景区客流量逐月增加
B.客流量的中位数为月份对应的游客人数
C.月至月的客流量情况相对于月至月波动性更小，变化比较平稳
D.月至月的客流量增长量与月至月的客流量回落量基本一致
8．已知=(4，5)，=(－3，4)，则－4的坐标是（ ）
A (16，11) B.(－16，－11)
C.(－16，11) D.(16，－11)
9．已知函数为奇函数，则（　　）
A.－1 B.0
C.1 D.2
10．函数的单调减区间为（ ）
A. B.
C. D.
11．已知，则的值为（）
A. B.
C.1 D.2
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：， ，已知函数，则函数的值域是
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知，则_______.
14．设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“T—单调增函数”
对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：
①“T—单调增函数”一定在D上单调递增；
②“T—单调增函数” 一定是“—单调增函数” （其中，且）：
③函数是“T—单调增函数”（其中表示不大于x的最大整数）；
④函数不“T—单调增函数”
其中，所有正确的结论序号是______
15．若在内无零点，则的取值范围为___________.
16．下面有5个命题：
①函数的最小正周期是
②终边在轴上的角的集合是
③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点
④把函数的图象向右平移得到的图象

⑤函数在上是减函数
其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积

18．已知集合为非空数集，定义，.
（1）若集合，直接写出集合及；
（2）若集合，，且，求证；
（3）若集，且，求集合中元素的个数的最大值.
19．已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）请判断函数是否可能有两个零点，并说明理由；
（3）设，若对任意的，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围.
20．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
21．已知函数为偶函数.
（1）求的值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
22．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上．求：

(1) AD边所在直线的方程；
(2) DC边所在直线的方程

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、B
【解析】是增函数，只要求在定义域内的减区间即可
【详解】解：令，
可得，
故函数的定义域为，
则
本题即求在上的减区间，
再利用二次函数的性质可得，在上的减区间为，
故选B
【点睛】本题考查复合函数的单调性，解题关键是掌握复合函数单调性的性质
2、B
【解析】先分析函数的单调性，进而结合零点存在定理，可得函数在区间上有一个零点
【详解】解：函数在上为增函数，
又（1），（2），
函数在区间上有一个零点，
故选：
3、D
【解析】.故选.
4、B
【解析】由已知利用对数的运算可得tanθ，再利用倍角公式及同角三角函数基本关系的运用化简即可求值
【详解】解：∵点（8，tanθ）在函数y＝的图象上，tanθ，
∴解得：tanθ＝3，
∴2tanθ＝6，
故选B
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，倍角公式及同角三角函数基本关系的运用，属于基础题
5、C
【解析】根据函数的奇偶性，可排除A,B;说明的奇偶性以及单调性，可判断C;根据的单调性，判断D.
【详解】函数为非奇非偶函数，故A错；
函数为偶函数，故B错；
函数，满足，故是奇函数，
在定义域R上，是单调递增函数，故C正确；
函数在上是增函数，在上是增函数，在定义域上不单调，故D错，
故选：C
6、D
【解析】为定义域内的单调递增函数，计算选项中各个变量的函数值，判断在正负，即可求出零点所在区间.
【详解】解：在上为单调递增函数，
又，

所以的零点所在的区间为.
故选：D.
7、C
【解析】根据折线图，由中位数求法、极差的意义，结合各选项的描述判断正误即可.
【详解】A：景区客流量有增有减，故错误；
B：由图知：按各月份客流量排序为且是10个月份的客流量，因此数据的中位数为月份和月份对应客流量的平均数，故错误；
C：由月至月的客流量相对于月至月的客流量：极差较小且各月份数据相对比较集中，故波动性更小，正确；
D：由折线图知：月至月的客流量增长量与月至月的客流量回落量相比明显不同，故错误.
故选：C
8、D
【解析】直接利用向量的坐标运算求解.
【详解】－4.
故选：D
9、C
【解析】利用函数是奇函数得到，然后利用方程求解，，则答案可求
【详解】解：函数为奇函数，
当时，，所以，
所以，，
故
故选：C.
10、A
【解析】求出的范围，函数的单调减区间为的增区间，即可得到答案.
【详解】由可得或
函数的单调减区间为的增区间
故选：A
11、A
【解析】先使用诱导公式，将要求的式子进行化简，然后再将带入即可完成求解.
【详解】由已知使用诱导公式化简得：，
将代入即.
故选：A.
12、D
【解析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.
【详解】函数，
当时，；
当时，；
当时，，
函数的值域是，故选D.
【点睛】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】直接利用二倍角的余弦公式求得cos2a的值
【详解】∵.
故答案为：
14、②③④
【解析】①③④选项可以举出反例；②可以进行证明.
【详解】①例如，定义域为，存在对于任意，都有，但在上不单调递增，①错误；
②因为是单调增函数，所以存在，使得对于任意，都有，因为，，所以，故，即存在实数，使得对于任意，都有，故是单调增函数，②正确；
③，定义域为，当时，对任意的，都有，即成立，所以是单调增函数，③正确；
④当时，，若，则，显然不满足，故不是单调增函数，④正确.
故答案为：②③④
15、
【解析】求出函数的零点，根据函数在内无零点，列出满足条件的不等式，从而求的取值范围.
【详解】因为函数在内无零点，
所以，所以；
由，得，
所以或，
由，得；由，得；由，得，
因为函数在内无零点，
所以或或，
又因为，所以取值范围为.
故答案为：.
16、①④
【解析】①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、
【解析】根据题意知由直角梯形绕其直腰所得的几何体是圆台，根据题意求出圆台的两底面的半径和母线长，再代入表面积公式求解
【详解】以所在直线为轴旋转一周所得几何体圆台，其上底半径是，下底半径是16cm
母线DC＝13(cm)
该几何体的表面积为
【点睛】本题的考点是旋转体的表面积的求法，关键是由平面图形想象出所得旋转体的结构特征，再求出所得旋转体的高以及其它几何元素的长度，考查了空间想象能力
18、（1），；（2）证明见解析；3）1347.
【解析】（1）根据题目定义，直接得到集合A+及A﹣；
（2）根据两集合相等即可找到x1，x2，x3，x4的关系；
（3）通过假设A集合{m，m+1，m+2，…，4040}，m≤2020，m∈N，求出相应的A+及A﹣，通过A+∩A﹣＝∅建立不等关系求出相应的值
【详解】（1）根据题意，由，则，；
（2）由于集合，，且，
所以中也只包含四个元素，即，
剩下的，所以；
（3）设满足题意，其中，
则，
∴，，
∴，
∵，由容斥原理，
中最小的元素为0，最大的元素为，
∴，
∴，
∴，
实际上当时满足题意，证明如下：
设，
则，，
依题意有，即，
故的最小值为674，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.
【点睛】关键点点睛：第三问集合中元素的个数最多时，应满足中的最大值小于中的最小值，另外容斥原理的应用也是解题的关键.
19、（1）
（2）不可能，理由见解析
（3）
【解析】（1）结合对数函数的定义域，解对数不等式求得不等式的解集.
（2）由，求得，，但推出矛盾，由此判断没有两个零点.
（3）根据函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1列不等式，结合分离常数法来求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，不等式可化为，
有，有
解得，
故不等式的解集为.
【小问2详解】
令，有，
有，，
，，
则，
若函数有两个零点，记，必有，，
且有，此不等式组无解，
故函数不可能有两个零点.
【小问3详解】
当，，时，，函数单调递减，
有，
有，
有
有，整理为，
由对任意的恒成立，必有
解得，
又由，可得，
由上知实数的取值范围为.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）根据对数函数的定义域及单调性求解即可；
（2）由题意原问题转化为在上恒成立，
分与两种情况分类讨论，求出最值解不等式即可.
【详解】(1)时，函数定义域为

解得
不等式的解集为
(2)设，
由题意知，解得

，
在上恒成立
在上恒成立
令，
的图象是开口向下，对称轴方程为的抛物线.
①时，上恒成立
等价于
解得，这与矛盾.
②当时，在上恒成立
等价于
解得或
又

综上所述，实数的取值范围是
【点睛】关键点点睛：由题意转化为在上恒成立，分类讨论去掉对数符号，转化为二次函数在上最大值或最小值，是解题的关键所在，属于中档题.
21、（1）
（2）或
【解析】(1)根据奇偶函数的定义可得，列出方程，结合对数运算公式解方程即可；
(2)根据指数、对数函数的性质求出函数，进而得到，解不等式即可.
【小问1详解】
∵是偶函数，
∴，
即，∴
【小问2详解】
由(1)知，
∴
又由
解得，
∴当且仅当x=0时等号成立，
∴
∴
又∵恒成立，
∴
∴m≤－1或m≥3
22、（1）；（2）
【解析】分析：（1）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；
（2）根据矩形特点可以设DC的直线方程为，然后由点到直线的距离得出，就可以求出m的值，即可求出结果.
详解：(1)由题意：ABCD为矩形，则AB⊥AD，
又AB边所在的直线方程为：x－3y－6＝0，
所以AD所在直线的斜率kAD＝－3，
而点T(－1，1)在直线AD上
所以AD边所在直线的方程为：3x＋y＋2＝0.
(2)方法一：由ABCD为矩形可得，AB∥DC，
所以设直线CD的方程为x－3y＋m＝0.
由矩形性质可知点M到AB、CD的距离相等
所以＝,解得m＝2或m＝－6(舍)
所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.
方法二：方程x－3y－6＝0与方程3x＋y＋2＝0联立得A（0，-2），关于M的对称点C（4，2）
因AB∥DC，所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.
点睛：本题主要考查直线方程的求法，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况