天津市南开中学2022-2023学年高一数学第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．函数对于任意的实数、都有（）
A. B.
C. D.
2．函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（　　）
A. B.
C. D.
3．已知、、是的三个内角，若，则是
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.任意三角形
4．下列关系中正确个数是（）
①②③④
A.1 B.2
C.3 D.4
5．在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（ ）
A.0.48 B.0.32
C.0.92 D.0.84
6．北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车、短道速滑混合团体接力、跳台滑雪混合团体、男子自由式滑雪大跳台、女子自由式滑雪大跳台、自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等个比赛小项，现有甲、乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲、乙两人的选择互不影响，那么甲、乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（）
A. B.
C. D.
7．已知角，且，则（）
A. B.
C. D.
8．当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）
A. B.
C. D.
9．已知幂函数的图象过点(2,)，则的值为（　　）
A. B.
C. D.
10．若定义在R上的偶函数满足，且当时，f(x)=x,则函数y=f(x)- 的零点个数是
A.6个 B.4个
C.3个 D.2个
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知函数定义域是________（结果用集合表示）
12．幂函数为偶函数且在区间上单调递减，则________，________.
13．函数的零点个数为_________.
14．已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程是__________
15．已知集合，，则________________.（结果用区间表示）
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知直线经过直线与直线的交点，并且垂直于直线
（Ⅰ）求交点的坐标；
（Ⅱ）求直线的方程
17．已知函数
（1）求的值;
（2）若对任意的，都有求实数的取值范围.
18．已知函数为奇函数.
（1）求实数的值，并用定义证明是上的增函数；
（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
19．已知点P是圆C：(x－3)2＋y2＝4上的动点，点A(－3，0)，M是线段AP的中点
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若点M的轨迹与直线l：2x－y＋n＝0交于E，F两点，若直角坐标系的原点在以线段为直径的圆上，求n的值
20．设函数
（1）写出函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）当时，函数的最大值与最小值的和为，求不等式的解集
21．已知tanα＝，求下列各式的值
(1)＋；
(2)；
(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、B
【解析】由指数的运算性质得到，逐一核对四个选项即可得到结论.
【详解】解：由函数，
得，
所以函数对于任意的实数、都有.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数的运算性质，是基础题.
2、B
【解析】根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间
【详解】解：函数在其定义域上单调递增，
（2），（1），
（2）（1）
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，
故选
【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题
3、A

【解析】依题意，可知B，C中有一角为钝角，从而可得答案
详解】∵A是△ABC的一个内角，
∴sinA＞0，
又sinAcosBtanC＜0，
∴cosBtanC＜0，
∴B，C中有一角为钝角，
故△ABC为钝角三角形
故选A
【点睛】本题考查三角形的形状判断，求得B，C中有一角为钝角是判断的关键，属于中档题
4、A
【解析】根据集合的概念、数集的表示判断
【详解】是有理数，是实数，不是正整数，是无理数，当然不是整数．只有①正确
故选：A
【点睛】本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键
5、C
【解析】根据题意求得甲乙都不去参观博物馆的概率，结合对立事件的概率计算公式，即可求解.
【详解】由甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，
可得甲乙都不去参观博物馆的概率为,
所以甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是.
故选：C.
6、C
【解析】根据古典概型概率的计算公式直接计算.
【详解】由题意可知甲、乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有种情况，
其中甲、乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共种，
所以甲、乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是，
故选：C.
7、A
【解析】依题意可得，再根据，即可得到，从而求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用诱导公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，因为，所以且，所以，即，所以，所以，所以；
故选：A
8、B
【解析】根据时指数函数与对数函数均为定义域内的增函数即可得答案.
【详解】解：因，函数为指数函数，为对数函数，
故指数函数与对数函数均为定义域内的增函数，
故选：B.
9、A
【解析】令幂函数且过 (2,)，即有，进而可求的值
【详解】令，由图象过(2,)
∴，可得
故
∴
故选：A
【点睛】本题考查了幂函数，由幂函数的形式及其所过的定点求解析式，进而求出对应函数值，属于简单题
10、B
【解析】
因为偶函数满足，所以的周期为2，当时，，所以当时，，函数的零点等价于函数与的交点个数，在同一坐标系中，画出的图象与的图象，如上图所示，显然的图象与的图象有4个交点．选B.
点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，是中档题．根据函数零点和方程的关系进行转化是解答本题的关键

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】根据对数函数的真数大于0求解即可.
【详解】函数有意义，
则，解得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
12、 (1).或3 (2).4
【解析】根据题意可得：
【详解】区间上单调递减，，
或3，
当或3时，都有，
，

故答案为：或3; 4.
13、3
【解析】作出函数图象，根据函数零点与函数图象的关系，直接判断零点个数.
【详解】作出函数图象，如下，

由图象可知，函数有3个零点（3个零点分别为，0，2）.
故答案为：3
14、
【解析】，，中点坐标为，圆的半径以为直径的圆的标准方程为，故答案为.
15、
【解析】先求出集合A，B，再根据交集的定义即可求出.
【详解】，，
.
故答案为：.

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、 (Ⅰ) ；（Ⅱ）.
【解析】（I）联立两条直线的方程，解方程组可求得交点坐标，已知直线的斜率为，和其垂直的直线斜率是，根据点斜式可写出所求直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）由得
所以(，).
（Ⅱ）因为直线与直线垂直，
所以，
所以直线的方程为.
17、（1）
（2）
【解析】（1）代入后，利用余弦的二倍角公式进行求解；（2）先化简得到，进而求出的最大值，求出实数的取值范围.
【小问1详解】

【小问2详解】

因为x∈，所以2x+∈，
所以当2x+=，即x=时，取得最大值.所以对任意x∈，等价于≤c.
故实数c的取值范围是.
18、（1），证明见解析；（2）.
【解析】（1）由函数奇偶性的性质，求得，再利用函数的单调性的定义与判定方法，即可是上的增函数；
（2）由函数为奇函数，且在上单调递增，把不等式转化为在上有解，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为定义在上的奇函数，可得，都有，
令，可得，解得，
所以，此时满足，
所以函数是奇函数，所以.
任取，且，则，
因为，
即，所以是上的增函数.
（2）因为为奇函数，且的解集非空，
可得的解集非空，
又因为在上单调递增，所以的解集非空，
即在上有解，则满足，解得，
所以实数的取值范围.
.
19、（1）；（2）
【解析】（1）设，，，利用为中点，表示出，代入圆方程即可；
（2）根据轨迹以及结合韦达定理、平面向量的数量积，列出关于的方程即可
【详解】（1）设为所求轨迹上的任意一点，点P为，
则．①
又是线段AP的中点，
，则，
代入①式得
（2）联立，消去y得
由得．②
设，，则．③
由可得，
，，
展开得
由③式可得，
化简得．④
根据②④得
20、（1）最小正周期为；递减区间为：；（2）
【解析】（1）化函数为正弦型函数，求出它的最小正周期和单调递减区间；
（2）根据时求得的最大值和最小值，由此求得的值，再求不等式的解集
【详解】（1）
，
∴，
令，
∴，
∴函数的递减区间为：
（2）由得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴不等式的解集为
【点睛】方法点睛：三角函数的一般性质研究：1.周期性：根据公式可求得；2.单调性：令，解出不等式，即可求出函数的单调递增区间；令，解出不等式，即可求出函数的单调递减区间.
21、（1）（2）（3）
【解析】(1) ＋＝＋
＝＋＝.
(2)＝＝＝.
(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α
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＝＝.