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数列与不等式

数列与不等式均是高中数学中的重要内容，所以在高考中占有重要的地位. 高考对这两部分的考查比较全面，在近年来的全国各地高考试题中，常常综合在一起考查这两部分知识，尤其是在解答题中较为明显. 在高考试题中，数列与不等式这部分知识所占分值大约是20分. 解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题有较好的区分度. 有关数列的综合题，经常把数列知识与不等式的知识综合起来，其中还蕴含着丰富的数学思想，通常要用到放缩法以及函数思想（求函数的最值等）. 这就要求考生能够灵活地运用相关数列的性质与不等式的方法去解决相关问题. 估计2008年全国各地的高考试题中仍会出现数列与不等式的综合问题，因此考生在复习过程中应当注意掌握数列与不等式中的常见方法，并注意积累一些特殊的方法，从而做到灵活处理相关的问题.

本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 满分为150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在数列{an｝中,a1=14，3an=3an+1+2,则使anan+2〈0成立的n值是（ ）
A.21 B。22 C.23 D.24
2．已知数列｛an}的前n项和Sn=n2-9n+2008，则满足5〈ak<8的k=（ )
A。9 B。8 C.7 D。6
3。（理)已知数列{an}的通项公式是(其中n∈N＊），那么数列{an}的最大项是（ ）
A。a2006 B. a2007 C. a2006或a2007 D。 a2008
（文)已知数列{an｝的通项公式是an=-n2+n（其中n∈N*)是一个单调递减数列，则常数的取值范围（ )
A。（3，+∞） B。（—∞，3） C. D.
4．数列｛an}的通项公式是关于x的不等式x2-x2，1） B。 C。 D.（—2，）
6．在等差数列｛an｝中，a10<0，a11〉0且a11〉|a10|,Sn是数列{an｝的前n项和，则使Sn〉0的n的最小值是（ ）
A.21 B。20 C.10 D.11
7．（理）已知首项为a、公比为q(0<|q｜〈1)的无穷等比数列｛an}的各项和是S，其前n项和是Sn，且(Sn-q2S）=q，则a的取值范围是( ）
A。 B.
C。 D.
（文）无穷数列1，，,,，，,，，…的前( ）项和开始大于10( ）
A。99 B。100 C.101 D.102
8．已知数列｛an}的通项公式是an=—n2+12n-32，其前n项和是Sn，则对任意的n〉m（其中n、m∈N＊），Sn- Sm的最大值是( ）
A.5 B.10 C.15 D.20
9．已知等差数列｛an}的前n项和是Sn，且a1=2008，且存在自然数p≥10，使得Sp=ap，则当n〉p时，Sn与an的大小关系是（ )
A.an≥Sn B.an>Sn C.an≤Sn D.an〈 Sn
10．已知等差数列{an｝的前n项和是，则使an<-2006成立的最小正整数n=( ）
A。2009 B。2010 C。2011 D.2012
11．已知集合M={0，2｝，无穷数列{an｝满足an∈M,且p=,则p一定不属于区间( ）
A。 B. C。 D。
12．已知某企业2006年的生产利润逐月增加，为了更好地发展企业，该企业也同时在改造建设。 其中一月份投入的建设资金恰好一月份的利润相等，且与每月增加的利润相同。 随着投入的建设资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同,到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份的生产利润相同. 则该企业在2006年的总利润M与总投入资金N的大小关系是
A.M>N B。M〈N CM=N D。M、N的大小关系不确定

第Ⅱ卷（非选择题） 共90分）

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上。
13．（理）在正项等比数列{an}中a2a8=，a1+a9的最小值是m,且3a=m，其中a∈（k，k+1),则整数k= 。
(文）在正项等比数列{an}中，a2a8=25，a1+a9的最小值是m= .
14．（理)一张厚度为0.1 mm的矩形纸片，每次将此纸片沿一组对边的中点连线对折，则经过 次这样的折叠后其厚度开始大于100 m（假设这样的折叠是可以实现的，参考数据：lg 2=0。3010）.
（文）一种机械设备的价格为200000元，假设维护费第一年为1000元，以后每年增加1000元,当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更新年限为
.
15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2,b2,c2成等差数列，则sinB的最大值是 。
16．(理）设正数数列{an｝的前n项之和是bn，数列{bn｝前n项之积是cn，且bn+cn=1，则数列中最接近108的项是第 项.
(文)在等比数列｛an}中,a1=，公比q=，其前n项之和是Sn,x=S10（S20+S30），y=，则x，y的大小关系是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知数列{an｝是递增等差数列，前n项和为Sn，a1=2,且a1,a2,a4成等比数列。
（1）求{an｝的通项公式；
(2)令,
①当n为何正整数时，Tn〉Tn+1？
②若对一切正整数n,总有Tn≤m，求m的取值范围.

18．(本小题满分12分）
（理）已知数列{an}是首项为q、公比为q的等比数列（其中q〉0且q≠1），设（其中n∈N*）.
（1）当q=2时，求数列{bn｝的前n项和为Sn；
（2）在（1）的条件下,求的值；
（3)当时,在数列｛bn｝中，是否存在最小的自然数n,使得对任意的m〉n(m∈N*)，都有bm〉bn？证明你的结论.
（文)数列{an｝的通项公式是an =（其中n∈N＊)，前n项和为Sn.
（1）化简数列{an｝的通项公式an；
（2)求证:

19．(本小题满分12分）
医学上为了确定某种传染病在传播过程病毒细胞的生长规律及其预防方法，通常将这种病毒细胞m个注入一只小白鼠的体内进行试验。
在试验过程中，将病毒细胞的数量(个）与时间（h）的关系记录如下表:
时间（h）
1
2
3
4
5
6
7
…
病毒细胞总数（个）
m
2m
4m
8m
16m
32m
64m
…
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的数量超过m×106个时,小白鼠将死亡，但有一种药物对杀死此种病毒有一定的效果,在最初使用此药物的几天内，每次用药可杀死其体内该病毒细胞的98%。
（1）为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？
（2）第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命？（答案精确到小时,参考数据：lg 2=0。301 0）

20．(本小题满分12分)
已知函数f (x)=x+1，点（n∈N*)在y = f -1(x)上，且a1=a2=1.
（1）求数列{an}的通项公式；
(2）设，若Sn>m恒成立,求常数m的取值范围.

21．（本小题满分12分）
已知数列{an｝满足：a1=2，a2=3，2an+1=3an-an-1（n≥2）.
(1）求数列｛an}的通项公式an；
（2)求使不等式成立的所有正整数m、n的值。

22．(本小题满分12分)
已知点P1、P2、P3、…、Pn、…
顺次为曲线xy=（x>0)上的点(如图所示)，
点Q1、Q2、Q3、…、Qn、…顺次为x轴上的点，
且△OP1Q1、△OP2Q2、△Qn-1PnQn、…均为等边三角形.
记点Qn(cn,0），Pn(an，bn) (其中n∈N＊).
（1)求数列{cn}（n∈N*）的通项公式；
（2）（理）求数列{an}(n∈N* ）的通项公式及的值；
(文)求数列｛an｝（n∈N＊ ）的通项公式。
（3）（理）求证：（其中n∈N＊ )。
(文）求证：(其中n∈N＊ ).
参考答案

1．A 由已知得an+1-an=,an=14+（n—1)(）=，anan+2=·〈0，(n—20）（n-22）<0，20〈n〈22，因此n=21，选A.
2．B 由题意得an=，由5意得an〉0，,当n<2006时，〉1,an+1> an且a2007=a2006；当n≥2007时，〈1，an+1< an. 综上所述，数列｛an｝的最大项是a2007=a2006.
（文）B an+1— an = -(n+1）2 +（n+1）+n2-n=—2n—1〈0得<2n+1,其中n∈N＊，因此〈3.
4．C 由x2—x〈nx得0〉-a10，a11+a10>0,2a1+19d〉0，2a1>—19d.令Sn=na1+d=n·〉0即2a1+（n—1)d〉0，而2a1+（n-1）d>—19d+（n-1）d
=(n-20)d，需(n-20)d≥0，又d〉0,因此n≥20,选B.
7．(理）由题意得(1—q2）S=(1-q2)·=a(1+q）=q，
a==1—，又0<｜q｜<1,∴0<1+q<2且1+q≠1，a<且a≠0，选C。
（文)C 由题意得该数列有1+3+…+（2n-1）=n2项的和是n,因此其前101项和开始大于10，选C。
8．B 由an=—n2+12n-32=—n（n—4）(n—8)〉0得4〈n〈8，即在数列｛an｝中，前三项以及从第9项起后的各项均为负且a4=a8=0,因此Sn-Sm=am+1+am+2+…+an的最大值是a5+a6+a7=3+4+3=10.
9．B 由Sp=ap得a1+a2+…+ap-1=，a1+p—1=0.
又a1=2008〉0,因此ap-1<0，数列｛an}的公差小于零. 当n〉p时，Sn—1=a1+a2+…+an-1Sn。
10．B 设数列{an｝的公差是d，则
，且a1,d=-1且a1=2，an=2—(n—1）=3—n〈-2006,n〉2009，因此使an<-2006成立的最小正整数n=2010,选B.
11．C 由题意得当a1=0时，0≤p=≤
〈；
当a1=2时,≥p≥，即1〉≥p≥.
因此结合各选项知选C.
12．A 设一月份投入的建设资金与一月份的利润均为a,每月增加投入的百分率为r，则各月的利润依次组成一个数列{an｝，其中an=na（1≤n≤12,n∈N＊)，各月的建设资金依次组成一个数列｛bn｝，其中bn=a（1+r）n—1(1≤n≤12，n∈N*)，由于a1=b1，a12=b12，结合函数y=ax与y=a（z1+r）x-1的图象可知a2〉b2,a3>b3,…，a11>b11，因此M>N.
13．（理）—1 由题意得a1+a9≥，3-1<3a=<1=30，—1106,n>，因此经过20次这样的折叠后其厚度开始大于100 m。
（文)20 当此设备使用了n年时，此设备的平均费用是
≥500·=20500，当且仅当=n,即n=20时取得等号。
15． 由已知得2b2=a2+c2，cosB=≥，因此sinB=≤.
16．(理）10 依题意得(n≥2)，又bn+cn=1,则+cn=1，=1，由b1=c1，b1+c1=1得b1=c1=，则cn=,bn=，所以an=bn—bn—1==n（n+1),因此数列中最接近108的项是第10项.
(文）x=y 由等比数列的性质知(S20—S10)2=S10(S30—S20），即S10S30-
S10S20,也即=S10(S20+S30)，则x=y。
17．（1）设公差为d（d〉0）,则有=a1a4，(2+d）2=2(2+3d)，由此解得d=0（舍去）或d=2，
因此an=2+2(n—1)=2n；
（2）由（1）得n（n+1），
①,即n〉2(n∈N＊ ）;
②∵=1，T2=T3=，又∵n〉2时，Tn〉Tn+1，∴各项中数值最大值为,∵对一切正整数n,总有Tn≤m恒成立，因此m≥。
命题动向 近年来的全国各地的高考试题中，有关等差、等比数列的定义、通项公式以及前n项和公式的基本考查常有出现，这就要求考生对于这方面的知识比较熟悉，做到灵活地使用,同时注意与其他知识间的联系。
18．(理）（1）当q=2时,an=2n,bn=2n·log22n=n·2n，Sn=1·21+2·22+…+n·2n ①，
2Sn=1·22+2·23+…+（n—1)·2n+n·2n+1 ②,
由①—②得，-Sn=21+22+…+2n—n·2n+1=—n·2n+1=2n+1— n·2n+1+2，
;
（2）由（1)得；
3）当q=时，存在最小的自然数n=2008，使得对任意的m>n(m∈N*），都有bm〉bn.
证明如下:
当q=且n≥2008时，an=，bn=n·log2，bn+1-bn
=(n+1）log2-n·log2=··
log2>0,由于1〉〉0，log2〈0，—〈0，因此bn+1—bn〉0，即bn+1>bn，数列｛bn｝从第2008项开始各项随着n的增大而增大,
故存在最小的自然数n=2008，使得对任意的m>n（m∈N＊)，都有bm>bn。
（文）(1）由an= ①,
an=,即
an= ②,
由①+②得2an=·2n，
则an=n·2n—1；
（2)由an=n·2n—1得Sn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n—1 ③，
2Sn=1·21+2·22+3·23+…+(n—1）2n-1+n·2n ④,
由③—④得-Sn=1+21+22+…+2n-1—n·2n=·2n,Sn=（n-1）·2n+1，
，

因此。
规律总结 有关数列前n项和的求解问题,具体问题应当进行具体分析. 当一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积所构成,则此时可采用错位相减法。 把其前n项和的表示式两边同时乘以公比，然后两式相减,从而求解. 当一个数列{an}满足：a1+ana2+an—1=…时，可考虑采用倒序相加法来求其前n项和.
19。（1）设第一次最迟在第n(h)时注射药物 由病毒细胞的生长规律可知，第n（h）时病毒细胞的数量是2n—1·m个。
因此为了使小白鼠在试验过程中不死亡，应有2n—1·m≤m×106，即2n—1≤106，（n-1）lg2≤6,n≤1+≈20.9，∴第一次最迟应在第20（h）时注射该种药物；
(2）第20（h）时的小白鼠体内的病毒细胞数是210·m（1—98％)=个.
设第一次注射药物后的第t小时必须注射药物,则·2t≤m×106，即2t+20≤108,（t+20)lg2≤8，t≤—20≈6.57,因此第二次注射药物的时间最迟应在自开始注射该种药物后的第6(h），才能维持白鼠的生命。
规律总结 解决实际应用问题的一般步骤:
(1）读题：反复读题，领悟题目的数学本质，弄清题中出现的每个量及其数学含义；
（2）建模：恰当地设出关键量，根据题意进行数学化设计，建立目标函数（函数模型）；
(3）求解：用相关的函数知识进行数学上的计算；
（4）反馈：把计算获得的结果返回到实际问题中，写出答案.
20．(1)f （x）=x+1的反函数是f —1(x）=x—1,
∵点(n+1，）（n∈N*）在反函数图象上，∴=n，
而a1=1，∴·…=1·2·3…（n—1)，∴an=(n-1）!;
（2)
∴Sn
又Sn随n的增大而增大，∴Sn≥S1=，由Sn>m得,m<，即常数m的取值范围是
（—∞，).
思路点拨 本题考查了数列的通项公式的求法. 当已知数列｛an}的递推公式是
= f （n)的形式时，通常采用累乘的方法求解.
21．（1）2an+1=3an-an-1（n≥2）,得2(an+1-an）=an-an-1(n≥2)，
∴(n≥2)，因此数列｛an—an—1｝是以a2-a1=1,为首项，为公比的等比数列，
∴an—an-1=，
当n≥2时，an=(an-an—1)+（an—1-an—2）+…+（a2—a1)+a1
,又a1=2=4—，
因此an=4—.
(2）由不等式，得<,
∴，
即，
所以2〈（4—m)·2n<8,∵2n为正偶数,4-m为整数,
∴(4-m)·2n=4，或（4—m）·2n=6，∴，或，或,或。
解得，或或或
经检验使不等式成立的所有正整数m、n的值为（m，n）=（1,1）或
（2，1）或(3，2).
方法探究 求递推公式形如an+2=pan+qan+1（其中p,q是常数）的数列的通项公式.
已知数列｛an}满足：a1=a，a2=b，且an+2=pan+qan+1（其中p,q是常数）,求an。
一般地,设an+2—x1an+1=x2（an+1—x1an），即an+2=(x1+x2）an+1-x1x2an,又
an+2=pan+qan+1，所以有，由此可知，x1、x2是二次方程x2=qx+p的两根。
当x1≠x2时，则由对称性得an+2—x2an+1=x1（an+1—x2an),由此求得数列{an+1—x1an｝与｛an+1—x2an}的通项公式，从而得出an；
当x1=x2时，则有an+2—x1an+1=x1（an+1—x1an)，求得数列{an+1—x1an}的通项公式，进而得到an.
22．（1）由题意得直线OP1的方程是y=x，由解得x=1，则c1=2。
又直线QnPn+1的方程是y=（x-cn）,由解得x=（其中x=舍去），即点Pn+1的横坐标是，又△QnPn+1Qn+1是等边三角形，因此cn+1=cn+2（—cn）=，即cn+1=，则=4,又cn〉0,因此cn=2.
（2)（理）由已知得△QnPn+1Qn+1是等边三角形，所以当n≥2时，an-cn-1=(cn-cn-1)，
an=（cn+cn—1)=+。又a1=1=+，所以数列｛an｝的通项公式是
an=+，=
(文）由已知得△QnPn+1Qn+1是等边三角形，所以当n≥2时，an-cn-1=(cn—cn-1），
an=(cn+cn-1)=+.又a1=1=+,所以数列{an｝的通项公式是
an=+。
（3)（理）由（2）得ananan+1=（+）·(+）>·=n，当n≥2时，有，即，
…
+=3-2+1—=4—2—<4—2,
当n=1时，
综上所述，（其中n∈N*）。
（文）由（1)得，且当n≥2时，〈，
=2<2，
当n=1时，
综上所述，（其中n∈N*)。
规律总结 有关数列背景下的不等式的证明问题，在处理过程中常常会涉及放缩法的使用，这就要求考生对于放缩法的使用技巧有一定的积累，否则难以完成。 常见的数列问题中的放缩方式有：（1）(n≥2）；
（2）；
(3）2(—）==2(—)；
（4)当1≤k≤n时,k(k-1）≤n（k—1）,即k（n-k+1）≥n；
（5)

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