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第七章　空间解析几何与向量代数
7．1 空间直角坐标系
1． 解：A点在第4卦限；B点在第5卦限；C点在第8卦限；D点在第3卦限。
2． 解：分别为。
3． 解：。
4． 解：设yoz坐标面所求点为，依题意有，从而

，
联立解得，故所求点的坐标为.
5． 解：设所求z轴上的点为，依题意：
，两边平方得，故所求点为。
6． 解：（1），即，
解得或。
（2），解得。

7．2 向量及其线性运算
1． 解：因为，所以。同理。
2． 证明：设四边形为ABCD，它们的对角线交点为M，则由条件，由此有，因此，同理：, 即四边形ABCD是平形四边形。
3． 解：（1）2）均是错误的，因的模为，因而不是单位向量。而的模是1，故是单位向量。
（3）因任一向量的三个方向角满足，当时有，即，所以。故（3）的说法是错误的。
4. 解：（1）设与同方向的单位向量为，则
（2）因。故的方向余弦为：
。
5． 解：。故向量在x 轴上的投影,在y轴上的投影分量为
6． 解：设点A为（x, y, z）,依题意有：，
故，即所求的点A（-5， 4， -12）
7．解：由于共线向量的坐标成比例，所以：。
8．解：因，又是钝角，所以。
9．合力，因此，合力的大小为合力的方向余弦为
因此。

7．3向量乘积
1． 解：（1）等式左端是向量，右端是数，所以等式不成立。（2）等式两端均为数，但等式一般不成立，除非共线。
2． （1）解：不能推出，因为使得，即，并不要求至少有一个是零向量，而只要求。（2）不能推出，因为使得，即：成立，并不要求其中至少有一个必为零向量，而只要即可。
3． 解：（1）
(2) 。
（3）。
4． 解：因为与共线，则必有使得，又因，则有：，解得，所以：。
5． 解：由，所以
（1）
（2）
由（1），（2）两式可得：，即，即。于是，且，所以，故。
6． （1）
。
（2）解：。
7． （1）解：。
(2)解：，故
。
（3）。
（4）由3）知。
8． 解：，所求单位向量为：
。
9． 解：

10． （1）证：由向量积定义知：故此三向量均在垂直于的平面内，所以共面。
（2）要证共面，只要证即可，因为所以，式中
。即共面。
7．4平面方程
1． 解：，故平面方程为：
，即。
2． 由平面的三点式方程得：即：。
3． 解：平行于xoz平面的平面为：，代入点得：即：D=5B，故平面方程为：。
4． 解：通过z轴的平面为：，代入点（-3，1，-2）得：-3A+B=0，即: B=3A，故平面方程为：
5． 解：平行于轴的平面方程为：，代入两点坐标得：，解得：，故平面方程为：。
6． 设平面的截距式方程为即：，又，解得。故平面方程为：。
7． 解：两已知平面的法向量分别为：故所求平面的法向量为：，方程为：，
即：
8． 解：所求平面方程为：，由已知得：
，所求平面方程为：

9． 解：所求平面方程为：，且，即：，
，故得两平面方程为：。
10解：由两面角的角平分面上的任一点到两平面距离相等，即：
，故所求平面为：或。
7．5 直线方程

1． 解：令解得，得直线上一点，直线的方向向量：
，因此
直线的对称式方程为：，参数方程为：。
2． 解：取，得直线L的方程为：。
3． 解：，所以直线方程为：
。
4． 解：（1），且直线上点（-3，-4，0）不在平面上，所以，直线与平面平行。
（2）直线与平面垂直。
（3）且满足平面方程，所以直线在平面上。
5． 解：，直线方程为：。
6． 解：过原点作垂直于已知直线的平面：，直线的参数方程为，将其代入平面方程解得：，所以直线与平的交点为：，所求距离.
7． 解：过直线的平面束方程：
，即：
，与已知平面垂直，因此：
，解得：，对应平面为：，所以投影直线为：。
8．解：设平面方程为：，即：
，又
或，平面方程为：或。
9．解：。过的平面束方程为：，又过点，代入得：，故平面方程为。
10．解：过点P且垂直于已知直线的平面为：，即：
，与已知直线的交点为（3，6，8），设所求点为，则由中点公式得：
，所求点为（2，9，6）。
11．解：设交点，而，则与垂直。
，
即，交点为（1，-1，3），所以直线方程为。
12．解：不平行，两直线上已知点
，所以两直线异面。过点作以为边的平行四边形，连接对应顶点得平行六面体，所求异面直线的距离d即为此平行六面体之高。
。
7．6 曲面方程与曲线方程
1． 解：球半径球面方程为：
。
2． 解：设球心为，由已知球心在第I卦限得；，且，则：或，球面方程为：或。
3． 解：。
4． 解：绕轴旋转得：，绕轴旋转得：。
5． 解：消去坐标得：，为母线平行于轴的柱面，消去坐标得：，为母线平行于轴的柱面。
6． 解：设动点坐标为，由已知得：，即：为旋转椭球面。
7． 解：投影柱面为：，投影曲线为：。
8． 解：原曲线方程即：，化为。
9． 解：（1）椭球面； （2）单叶双曲面 （3）椭圆；
（4）双曲线； （5）圆锥面； （6）通过z轴的两相交平面。
10． 解：原曲线即：，在面上的投影曲线为，原曲线是位于平面上的抛物线。
11． 解：将椭圆方程化简为：，可知其为平面上的椭圆，半轴分别为，顶点分别为。
12． （略）
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