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三角函数的诱导公式（一）
[学习目标]　1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．

知识点一　诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，
tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，
tan(π＋α)＝tan α.
(3)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，
tan(－α)＝－tan α.
(4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α.
思考1　任意角α与π＋α，－α，π－α的终边之间有怎样的对称关系？
思考2　设任意角α的终边与单位圆交于点P(x0，y0)，分别写出π＋α，－α，π－α的终边与单位圆的交点坐标．
知识点二　诱导公式的记忆
2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．
思考　你能用简洁的语言概括一下诱导公式一～四的作用吗？

题型一　给角求值
例1　求下列各三角函数值．
(1)sin(－π)； (2)cos π； (3)sin[(2n＋1)π－π]．
解　(1)sin(－π)＝－sin π＝－sin(2π＋π)
＝－sin π＝－sin(π－)
＝－sin ＝－.
(2)cos π＝cos(2π＋π)
＝cos(π＋)＝－cos ＝－.
(3)sin[(2n＋1)π－π]＝sin[2nπ＋(π－π)]
＝sin ＝.
跟踪训练1　求下列三角函数值．
（1）sin； (2)cos π； (3)tan(－855°)．
解　(1)sin＝－sin π＝－sin(6π＋π)
＝－sin π＝－sin＝sin ＝；
(2)cos π＝cos(4π＋π)
＝cos π＝cos
＝－cos ＝－；
(3)tan(－855°)＝－tan 855°
＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.
题型二　给值求值问题
例2　已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，
求sin(105°＋α)的值．
解　∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角，
∴α－75°是第三象限角．
∴sin(α－75°)＝－
＝－ ＝－.
∴sin(105°＋α)＝sin
＝－sin(α－75°)＝.
跟踪训练2　已知cos(π＋α)＝－，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．
解　∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，∴cos α＝，
∵π<α<2π，∴<α<2π，∴sin α＝－.
∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α
＝－(sin α＋cos α)＝－＝.

题型三　三角函数式的化简
例3　化简下列各式．
（1）；

（2）.
解　(1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.

跟踪训练3　化简：(1)；
（2）.
解　(1)原式＝
＝
＝＝－cos2α.
(2)原式＝
＝－cos θ.

分类讨论思想在三角函数中的应用
例4　证明：＝(－1)ncos α，n∈Z.
证明　当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，
左边＝
＝＝＝cos α.
右边＝(－1)2kcos α＝cos α，
∴左边＝右边．
当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，
左边＝
＝
＝
＝＝－cos α.
右边＝(－1)2k－1cos α＝－cos α，
∴左边＝右边．
综上所述，＝(－1)ncos α，n∈Z成立．

1．sin 585°的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
2．cos(－)＋sin(－)的值为(　　)
A．－ B.
C. D.
3．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　　)
A. B．－
C. D．－
4． 化简：.

一、选择题
1．cos 600°的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为(　　)
A．1 B．2sin2α C．0 D．2
3．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin α等于(　　)
A．－ B. C. D．±
4．若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于(　　)
A. B. C. D.
5．tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　)
A. B. C．－1 D．1
6．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则cos(π＋α)的值为(　　)
A. B．－ C．± D．以上都不对
二、填空题
7．已知cos＝，则cos＝ .
8．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(α－2π)＝ .
9.的值等于 ．
10．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为 ．
三、解答题
11．化简下列各式．
(1)sin(－π)cos π； （2）sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．

12．若cos(α－π)＝－，求
的值．

当堂检测答案：
1．答案　A
解析　sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)
＝－sin 45°＝－.
2．答案　C
解析　原式＝cos －sin ＝cos －sin
＝－cos ＋sin ＝.
3．答案　B
解析　∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，
∴sin 80°＝.
∴tan 80°＝.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.
4．化简：.
解　原式＝
＝
＝＝1.

课时精炼答案
一、选择题
1．答案　D
解析　cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
2．答案　D
解析　原式＝(－sin α)2＋cos αcos(－α)＋1
＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
3．答案　A
解析　∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，又α是第四象限角，
∴sin α<0，则sin α＝－＝－.
4．答案　B
解析　∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)
＝－sin 70°＝a，∴sin 70°＝－a，
∴cos 70°＝＝，
∴tan 70°＝＝.
5．答案　A
解析　原式＝＝＝.

6．答案　B
解析　∵sin(π－α)＝sin α＝log232－2＝－，
∴cos(π＋α)＝－cos α＝－
＝－＝－.
二、填空题
7．答案　－
解析　cos＝cos
＝－cos＝－.
8．答案　－
解析　由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，
故sin(α－2π)＝sin α＝－＝－
＝－(α为第四象限角)．

9.答案　＋2
解析　原式＝
＝
＝＝＝＋2.
10．答案　－3
解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3，
∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asin α－bcos β
＝－3.
三、解答题
11．解　(1)sin(－π)cos π
＝－sin(6π＋)cos(π＋)＝sin cos ＝.
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°)
＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)
＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.
12．解　原式＝
＝＝＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝，
sin α＝＝，∴tan α＝＝，
∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cos α＝，
sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.

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