1、1.2.一、数列的概念一、数列的概念定定义义1 设设 是一个以正整数集是一个以正整数集为为定定义义域的函数域的函数,将其函数将其函数值值 按自按自变变量量n的大小的大小顺顺序排成一列序排成一列称称为为一个一个数列数列.数列中的每一个数叫做数列的数列中的每一个数叫做数列的项项,第第n项项 叫做数叫做数列的列的一般一般项项或或通通项项.数列也可表示数列也可表示为为 或或3.定定义义2 若数列若数列 满满足足则则称称 是是单调递单调递增数列增数列.如果如果则则称称 是是单调递单调递减数列减数列.如果上述不等式中等号如果上述不等式中等号都都不成立不成立,则则称称 是是严严格格单调递单调递增数列增数列或
2、或严严格格单调递单调递减数列减数列.单调递单调递增和增和单调递单调递减数列减数列统统称称为为单调单调数列数列.4.定定义义3 若存在若存在 ,使得使得对对一切一切 ,都有都有则则称数列称数列 是是有界有界的的,否否则则称称 是是无无界界的的.二、数列的极限二、数列的极限定定义义4 设设 为为一数列一数列,若当若当n取正整数且无限增大取正整数且无限增大时时,数列中数列中对应对应的的项项 (即通即通项项)无限接近于一个确定的常无限接近于一个确定的常数数A,则则称称 收收敛敛于于A,或称或称A为为 的的极限极限,记记作作此此时时也称也称 的极限存在的极限存在.否否则则称称 的极限不存在的极限不存在,
3、或称或称 发发散散.或或5.定定义义5 设设 是一个数列是一个数列,A是一个常数是一个常数,若若对对任任给给的的存在正整数存在正整数 N,使得当使得当 时时,都有都有 ,则则称称 A是是数列数列 的极限的极限,或称或称 收收敛敛于于A,记记作作此此时时也称也称 的的极限存在极限存在.否否则则称称 的极限不存在的极限不存在,或称或称 发发散散.或或注注:1.定定义义5中的中的 是是预预先先给给定的任意小的正数定的任意小的正数,因此因此,既既具有任意性具有任意性,又具有确定性又具有确定性.6.2.一般一般说说来来,定定义义5中的中的N是随是随 的的变变化而化而变变化的化的,给给定不定不同的同的 ,
4、所确定的所确定的N一般也不同一般也不同.3.定定义义5中中“当当 时时,有有 ”的意思是从第的意思是从第N项项的各的各项项都都满满足足4.数列极限的数列极限的几何意几何意义义.就是就是对对以以 A为为中心中心,以任意小的正数以任意小的正数为为半径的半径的邻邻域域 ,总总能找到一个能找到一个N,从第从第 项项开开始始,以后的各以后的各项项(无限多无限多项项)都落在都落在邻邻域域 内内,而在而在外外,至多有至多有N项项(有限有限项项).例例1 证证明明7.三、数列极限的性三、数列极限的性质质及收及收敛敛准准则则定理定理1(唯一性定理唯一性定理)若数列若数列 收收敛敛,则则其极限其极限值值必唯一必唯
5、一.定理定理2(有界性定理有界性定理)若数列若数列 收收敛敛,则则 必是有界数必是有界数列列.若若 是无界数列是无界数列,则则 发发散散,即即 不存在不存在.8.定理定理3(保序性定理保序性定理)设设 的极限存在的极限存在,且且则则存在正整数存在正整数 N,当当 时时,有有推推论论1(保号性定理保号性定理)设设 的极限存在的极限存在,且且 (或或),则则存在正整数存在正整数N,当当 时时,有有 (或或0).推推论论2 设设 的极限存在的极限存在,若若 (当当 时时),则则特特别别地地,若若 (或或 ),则则 (或或 ).9.注注:在推在推论论2中即使是中即使是 ,也只能推出也只能推出定理定理4(夹夹逼定理逼定理)设设数列数列 满满足足 (当当时时),且且 ,则则例例2 求求例例3 求求10.即即单调单调有界数列必有极限有界数列必有极限.数列必有极限数列必有极限;单调递单调递减且有下界的数列必有极限减且有下界的数列必有极限.定理定理5(单调单调有界数列收有界数列收敛敛准准则则)单调递单调递增且有上界的增且有上界的例例4 设设 ,证证明明 存在存在.例例5 设设 ,证证明明 存存在在.11.
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