一元二次方程(分知识点-详细-适合基础差的学生).pdf

一元二次方程一元二次方程知识网络详解：考点考点 1一元二次方程的定义：形如的关于的方程为一元二次方)0(02acbxaxx程考点考点 2一元二次方程的解法：先尝试“因式分解法”；不能分解时可选择“配方法”或者“求根公式法”求根公式：aacbbx2422,1考点考点 3一元二次方程的判别式：acb42有两个不相等的实数根：有两个相等的实数根：00无实数根：有实数根：00考点考点 4一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若时，设、为一元二次方程的两个实数根，那么：01x2x)0(02acbxax，abxx21acxx21考点考点 5一元二次方程应用题（数字问题，互赠问题，面积问题，增长率问题，利润问题）【课前回顾课前回顾】1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角07822 xx形的斜边是（）A.B.3 C.6 D.362、关于 x 的方程有实数根，则 m 的取值范围是()0212mmxxm A.B.C.D.10、mm0m1m1m3、关于 x 的一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根,则 k 的取值范围是 4、某工厂计划在两年内把产量提高 44%，如果每年的增长率都和上一年相同，则平均每年的增长率是 。5、解方程（1）（2）02522 x31022xx（3）（4）22)21()3(xx03223312xx经典例题讲解：考点一、概念考点一、概念例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（）A B 12132xx02112xxC D 02cbxax1222xxx变式：当 k 时，关于 x 的方程是一元二次方程。3222xxkx例 2、方程是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 0132mxxmm。变式练习：1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。782x2、若方程是关于 x 的一元一次方程，021mxm 求 m 的值；写出关于 x 的一元一次方程。3、若方程是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 。112xmxm4、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2 B.m=2,n1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解考点二、方程的解例例 1、已知的值为 2，则的值为 。322 yy1242yy例例 2、关于 x 的一元二次方程的一个根为 0，则 a 的值为 04222axxa。例例 3、已知关于 x 的一元二次方程的系数满足，则此方002acbxaxbca程必有一根为 。例例 4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，ba,042mxxcb,0582myy则 m 的值为 。变式练习：1、已知方程的一根是 2，则 k 为 ，另一根是 。0102 kxx2、已知关于 x 的方程的一个解与方程的解相同。022 kxx311xx求 k 的值；方程的另一个解。3已知 m 是方程的一个根，则代数式 。012 xx mm24、已知是的根，则 。a0132 xx aa6225、方程的一个根为（）02acxcbxbaA B 1 C D 1cb a6、若 。yx、yx324,0352考点三、解法考点三、解法类型一、直接开方法：类型一、直接开方法：mxmmx,02对于，等形式均适用直接开方法max222nbxmax例 1、解方程：=0;08212x 216252x;09132 x例 2、若，则 x 的值为 。2221619xx变式练习：下列方程无解的是（）A.B.C.D.12322xx022xxx132092x类型二、因式分解法类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如，22nbxmax cxaxbxax0222aaxx例例 1、的根为（）3532xxxA B C D 25x3x3,2521xx52x例例 2、若，则 4x+y 的值为 。044342yxyx变式变式 1：。2222222,06b、ababa变式变式 2：若，则 x+y 的值为 。032yxyx变式变式 3：若，则 x+y 的值为 。142yxyx282xxyy例例 3、方程的解为（）062 xxA.B.C.D.2321、xx2321、xx3321、xx2221、xx变式练习：1、下列说法中：方程的二根为，则02qpxx1x2x)(212xxxxqpxx.)4)(2(862xxxx)3)(2(6522aababa)()(22yxyxyxyx方程可变形为07)13(2x0)713)(713(xx正确的有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、以与为根的一元二次方程是（）7171A B0622 xx0622 xxC D0622 yy0622 yy3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数：写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数：4、若实数 x、y 满足，则 x+y 的值为（）023yxyxA、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D1 或 25、方程：的解是 。2122xx类型三、配方法类型三、配方法002acbxax222442aacbabx在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。例例 1、试用配方法说明的值恒大于 0。322 xx例例 2、已知 x、y 为实数，求代数式的最小值。74222yxyx例例 3、已知为实数，求的值。、x、yyxyx0136422yx例例 4、分解因式：31242xx变式练习：1、试用配方法说明的值恒小于 0。47102xx2、已知，则 .041122xxxxxx13、若，则 t 的最大值为 ，最小值为 。912322xxt类型四、公式法类型四、公式法条件条件：04,02acba且公式：公式：,aacbbx24204,02acba且典型例题：典型例题：例 1、选择适当方法解下列方程：.6132 x.863xx0142 xx 01432 xx 5211313xxxx例 2、在实数范围内分解因式：（1）；（2）.3222xx1842xx22542yxyx考点四、根的判别式acb42例例 1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 x0122xkx。例例 2、关于 x 的方程有实数根，则 m 的取值范围是()0212mmxxmA.B.C.D.10、mm0m1m1m例例 3、已知关于 x 的方程0222kxkx(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC 的周长。例例 4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.2)6(92mxmxm例例 5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？m.3,6222ymxyx变式练习：1、当 k 时，关于 x 的二次三项式是完全平方式。92 kxx2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？kkxx24323、已知方程有两个不相等的实数根，则 m 的值是 .022 mxmx4、为何值时，方程组k.0124,22yxykxy（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.考点五、方程类问题中的考点五、方程类问题中的“分类讨论分类讨论”例例 1、关于 x 的方程03212mxxm有两个实数根，则 m 为 ,只有一个根，则 m 为 。例例 1、不解方程，判断关于 x 的方程根的情况。3222kkxx例例 3、如果关于 x 的方程及方程均有实数根，问这两方程022 kxx022kxx是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题考点六、应用解答题1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了 90 张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金 600 万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减31少，该产品第一年收入资金约 400 万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收21回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到310.1，）61.313 4、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？5、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B 两地间的路程为 36 千米.甲从 A 地，乙从 B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2 小时 30 分到达 B 地，乙再走 1 小时 36 分到达 A 地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系考点七、根与系数的关系例例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三07822 xx角形的斜边是（）A.B.3 C.6 D.36例例 2、已知关于 x 的方程有两个不相等的实数根，011222xkxk21,xx（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。例例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例例 4、已知，求 ba 0122 aa0122 bbba变式：若，则的值为 。0122 aa0122 bbabba例例 5、已知是方程的两个根，那么 .,012 xx34变式练习：1、解方程组)2(5)1(,322yxyx2已知，求的值。472 aa472 bb)(ba baab3、已知是方程的两实数根，求的值。21,xx092 xx663722231xxx自检自测：1.钟老师出示了小黑板上的题目(如图 122）后，小敏回答：“方程有一根为 1”，小聪回答：“方程有一根为 2”则你认为（）A只有小敏回答正确 B只有小聪回答正确 C两人回答都正确 D两人回答都不正确2.解一元二次方程 x x12=0，结果正确的是（）2 Ax=4，x=3 Bx=4，x=3 Cx=4，x=3 Dx=4，x=3121212123.方程解是（）(3)(3)x xx Ax=1 Bx=0，x=3 Cx=1，x=3 11212Dx=1，x=3124.若 t 是一元二次方程 ax bx+c=0(a0）的根，则判别式=b 4ac 和完全平方式22M=(2at+b)的关系是（）2 A=M BM CM D大小关系不能确定 5.方程 的根是（）2(1)0 xx A0 B1 C0，1 D0，1 6.已知一元二次方程 x 2x7=0 的两个根为 x，x，则 x+x 的值为（）21212 A2 B2 C7 D77.已知 x、x 是方程 x 3x1 0 的两个实数根，则的值是()1222111xxA、3B、3C、D、1138.用换元法解方程(x x)(x x)6 时，如果设 x xy，那么原方程可变形为（2222）A、y y60 B、y y60 C、y y60 222D、y y6029.方程 x 5x=0 的根是（）2 A0 B0，5 C5，5 D510.若关于 x 的方程 x 2xk=0 有实数根，则（）2 Ak1，Bk1 Ck1 Dk 111.如果一元二次方程 x 4x20 的两个根是 x，x，那么 x x 等于（）21212A.4 B.4 C.2 D.212.用换元法解方程(x x)6 时，设y，那么原方程可化为（2xx 2xx 2A.y60 B.y60 C.y60 D.2y2y2yy602y13.设 x，x 是方程 2x+3x-2=0 的两个根，则 x x 的值是 ()12212 A-3 B3 C D232314.方程 x-x=0 的解是（）3 A0，1 B1，-1 C0，-1 D0，1，115.用换元法解方程_ _25x()40=y,11x+1xxxx时，若设则原方程16.两个数的和为 6，差为 8，以这两个数为根的一元二次方程是_17.方程 x x=0 的解是_218.等腰ABC 中，BC=8，AB、BC 的长是关于 x 的方程 x 10 x+m=0 的两根，则 m 的值2是_.19.关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 的两个根同号，则 a 的取值范围是 _.20.解方程：2（x1）+5（xl）+2=0 x 2x2=0 x +5x+3=022221.已知关于 x 的一元二次方程的一个根是 2，求方程的另一根和 k 的2(1)60 xkx值22.已知关于 x 的一元 二次方程的一个根为 0，求 k 的值22(4)3340kxxkk