高次多项式因式分解的几种方法.pdf

高次多项式因式分解的几种方法 广东顺德勒流职业中学 廖列宏 因式分解在中学数学中占有一个比较重要的位置,但大部分同学对高次多项式的因式分解却比较陌生.这里,我们对一些高次多项式的因式分解的方法作分析介绍.1 高次多项式因式分解的一般方法 首先,先介绍下面两个定理.定理1 设111()nnnnf xa xaxa x=+?0a+是一个整系数多项式,如果有理数/v u 是它的一个根,其中 u 与 v 互素,则|nu a,0|v a.特别地,当1na=时,()f x 的有理根都是整数,且为常数项0a 的因数.证明 因为/v u 是()f x 的根,故uxv整除()f x,设 1110()()()nnf xuxv bxb xb=+?,则比较两端 n 次项系数和常数项,得:100,()nnaubavb=.由于()f x 与uxv都是整系数多项式,而ux v 又是本原的,故可知11nnbx+?1b x+0b是一个整系数多项式,因此1nb与0b 都是整数,于是由知:|nu a,0|v a.这个定理说明,欲求整系数多项式()f x的有理根,可先求其常数项0a 的全部因数(包括负因数),设为12,sv vv?;再求出首项系数na 的全部因数(也包括负因数),设为12,u u?tu,则如果()f x 有有理根,它的有理根必在所有有理数/(1,2,;1,ijv u is j=?2,)t?之中.但是这些有理数中究竟哪些是()f x 的根,还需要通过综合除法来逐个进行检验.但这样太麻烦,会浪费太多的时间,为了更简便地判断它的根,我们再引出下面一个定理.定理2 若既约分数/v u 是整系数多项式()f x 的根,则|(1),|(1)uvfuv f+.证明 因为/v u 是()f x 的根,由定理 1 中的知有:110(1)()()nfuv bbb=+?,(1)f 11110()(1)(1)nnuvbbb=+?.但由于()f x 是整系数,(1)f与(1)f 都是整数,又110,nbb b?也是整数,故:|(1)uvf,|(1)uv f+.下面,我们用上面两个定理来对一些多项式进行因式分解.例1 把326552xxx+因式分解.解 我们先把它转化为求32()65f xxx=52x+的有理根.由定理 1 知:()f x 的常数项2 的全部因数是:1,2 ;其中首项系数 6 的全部因数是:1,2,3,6.因此要进行检验的有理数为:1,2,1/2,1/3,2/3,1/6 .但易知(1)4f=,(1)18f=,故 1 都不是()f x 的根,再由定理 2,由于:12|(1),f31|+(1),f 32|+(1),f 32|(1),f16|+(1),f 61|(1),f 故 2,1/3,2/3,1/6都不是()f x 的根,因此剩下只需检验2,1/2,1/3这三个数了.由综合除法易知,只有1/2是它的根.326552xxx+2(1/2)(624)xxx=+2(21)(32)xxx=+.例2 把432471052xxxx+因式分 解.解 先把它转化成求43()47f xxx=+21052xx+的有理根.()f x 的常数项和首项系数的全部因数分别为:1,2 与1,2,4 .需要检验的有理数为:1,2,1/2,1/4 .由于(1)0f=故 1 是()f x 的根,且易知,32()(1)(4372)f xxxxx=+按照同样方法可求43()4372g xxxx=+的有理根,易知()g x 的有理根为:1/4,由综合整除法:144 3 7 2 1 1 2 4 4 8 0 15 432471052xxxx+2(1)(1/4)(448)xxxx=+2(1)(41)(2)xxxx=+.下面介绍两种特殊的高次多项式因式分解.2与首末两项等距离的项的系数相等的高次多项式的因式分解的方法 2.1 最高次数是偶次的多项式 例3 分解多项式432231632xxxx+.解 把多项式的各项除以中间项2x,经整理,转化为方程得:222(1/)3(1/)160 xxxx+=.用换元法:令1/xxy+=有,2221/2xxy+=,代入得22(2)3160yy+=,即223200yy+=.解之得:15/2y=,24y=.于是确定 x 的两个方程:1/5/2xx+=,1/4xx+=.解之得 122,1/2xx=,323x=+,423x=.432231632xxxx+2(2)(1/2)(23)(23)xxxx=+(2)(21)(23)(23)xxxx=+2.2 最高次数是奇数的多项式 例4 分解多项式 543222xxxxx+1.分析 这是与首末两项等距离的项的系数成相反数,必然有系数和等于 0,所以 1 是54322210 xxxxx+=的根,所以多项式可以化为:432(1)(3231)xxxxx+而4323231xxxx+又是与例 3 同样的解法.例5 分解多项式 5432251313xxxx+52x+.分析 这是与首末两项等距离的项的系数相等而最高次数为奇数,所以1x=是5432251313520 xxxxx+=的根,从而原多项式可以化为:432(1)(231632)xxxxx+,而432231632xxxx+又同例 3 同样的解法.3 各项系数和等于零的高次多项式 例6 分解多项式:43225412xxxx+.解 多项式的各项系数和:1254120+=,因此1x=必为432254120 xxxx+=的根,因此由综合除法可得:所以多项式可化为:32(1)(3812)xxxx+，接着对323812xxx+进行因式分解,按 1中的方法可以求出:3223812(2)(6)xxxxxx+=+,43225412xxxx+2(1)(2)(6)xxxx=+.数列求和中难点突破的策略 江苏省苏州大学附中 房之华 在数列求和的问题中,常常会碰到一些难以解决的问题,困扰着学生不能将问题得以解决.怎样突破这些难点,开拓学生的解题思路,发展学生的能力,是值得深入探讨的课题.本文就此问题谈谈笔者的教学策略.1 解剖麻雀,以点窥面 对于某些数列的求和,无须从整体出发.可以抓住通项,从通项入手进行解剖,探索规律,然后以点窥面,寻找难点的突破口.例1 求数列 111,12 12312(1)n+?1 1 2 5 4 12 1 3 8 12 1 3 8 12 0 16