因式分解专题复习10.7.doc

完整word)因式分解专题复习10.7
因式分解
一.因式分解的意义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解,也叫把这个多项式分解因式，这一意义贯彻全章,因式分解的各种方法都要遵从这一要意。
1。因式分解是一种恒等变形,其是否正确，可以用整式乘法检验，看乘得的结果是否等于原多项式。
2.因式分解强调的结果是整式的积的形式,是一种形式上的恒等变形。
3.因式分解的结果要求，是必须进行到每个因式都不能再分解为止，要注意要求在何种数集内进行因式分解的。
4.并不是所有多项式在任何数集内都能因式分解。
二.因式分解的基本方法
1.提公因式法。形如
2。运用公式法：
平方差公式:
完全平方公式：
p、q公式（简称）:

3.分组分解法。分组分解法的情况：
(1）分组后能直接提公因式。
(2）分组后能直接运用公式（包括上面三个公式）
三。【方法精析】
1。提公因式法
例1。因式分解下列各式
①
②
③
④
分析：①②找公因式的方法是：系数取各项系数的最大公约数,字母取相同字母的最低次幂；
③中(a－b）与（b－a)只有符号之差的应先调整后再提;
④首项为“－"应转化为“+",且注意
解:①原式
②原式
③原式
④原式
2.运用公式法
例2.把下列各因式分解
① ②
③ ④
分析：①前后两项交位置后可直接运用平方差公式；
②连续两次运用平方差公式，直到每个因式都不能再分解为止。
③先用完全平方公式后再用平方差公式；
④用“pq公式”看成关于m的二次三项式。
解：①原式
②原式
③原式
④原式
例3。把下列各式因式分解
①
②
③
④
分析：
①先提公因式a后可用平方差公式;
②提公因式3x后，符合完全平方公式;
③把看作一个整体，且
④分组后再运用平方差公式
解：①原式
②原式
③原式
④原式

3。分组分解法
例4.①
②
③
④
分析:①可一、二项为一组也可一、三项为一组，之后再提公因式；
②将前三项为一组运用“pq公式”再提公因式；
③将二项都用乘法公式展开后再分组分解；
④可配项后分组分解.
解：①原式
②原式
③原式

④原式

四。 因式分解知识总结归纳：
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点：
1。 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式;
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5。 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7. 因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
进一步回顾本章所学的内容.
1. 通过基本思路达到分解多项式的目的
例1. 分解因式
分析:这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;也可把,，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式

解二：原式=

2. 通过变形达到分解的目的
例1. 分解因式
解一：将拆成,则有

解二:将常数拆成,则有

3。 在证明题中的应用
例:求证:多项式的值一定是非负数
分析:现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：

设,则

4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式：
分析:本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系,努力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

五.中考点拨：
例1。在中，三边a,b，c满足
求证：
证明:

说明:此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
例2。 已知：__________
解：

说明：利用等式化繁为易。

题型展示：
1。 若x为任意整数，求证：的值不大于100.
解:

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题.一个多项式的值不大于100,即要求它们的差小于零,把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法.
2. 将
解：

说明：利用因式分解简化有理数的计算。

六。提公因式法练习
一、请你填一填
(1)单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是____
（2）－xy2(x+y)3+x(x+y）2的公因式是________。
（3)把4ab2－2ab+8a分解因式得________.
（4）5（m－n)4－（n－m)5可以写成________与________的乘积.
二、认真选一选
（1)多项式8xmyn—1－12x3myn的公因式是（ ）
A。xmyn B。xmyn-1
C.4xmyn D.4xmyn-1
（2）把多项式－4a3+4a2－16a分解因式（ ）
A。－a(4a2－4a+16) B.a(－4a2+4a－16）
C。－4(a3－a2+4a） D.－4a（a2－a+4)
（3）如果多项式－abc+ab2－a2bc的一个因式是－ab，那么另一个因式是( ）
A.c－b+5ac B.c+b－5ac
C。c－b+ac D.c+b－ac
（4)用提取公因式法分解因式正确的是( )
A。12abc－9a2b2=3abc（4－3ab）
B。3x2y－3xy+6y=3y（x2－x+2y)
C。－a2+ab－ac=－a（a－b+c)
D。x2y+5xy－y=y（x2+5x)
三、请分解因式
(1）x(x－y）－y（y－x)
（2)－12x312x2y－3xy2
（3）(x+y）2+mx+my
（4）a（x－a）(x+y）2－b（x－a)2(x+y)
四、好好想一想
1.求满足下列等式的x的值.
①5x2－15x=0
②5x（x－2)－4（2－x)=0
2.若a=－5，a+b+c=－5。2，求代数式a2(－b－c)－3。2a（c+b）的值。

运用公式法练习
了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握运用公式法分解因式的方法，会利用分解因式进行简便计算与化简。
一、选择题
1.－(2a－b）（2a+b）是下列哪一个多项式的分解结果( ）
A。4a2－b2 B。4a2+b2
C。－4a2－b2 D.－4a2+b2
2。多项式(3a+2b)2－(a－b）2分解因式的结果是（ ）
A。(4a+b）（2a+b) B.(4a+b）(2a+3b)
C.(2a+3b)2 D.（2a+b）2
3。下列多项式,能用完全平方公式分解因式的是( )
A.x2+xy+y2 B.x2－2x－1
C。－x2－2x－1 D。x2+4y2
4.多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( ）
A.10 B。20
C.－20 D。±20
5。在一个边长为12.75 cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm的正方形，剩下部分的面积等于( )
A.100 cm2 B.105 cm2
C。108 cm2 D.110 cm2
二、填空题
6。多项式a2－2ab+b2,a2－b2，a2b－ab2的公因式是________.
7.－x2+2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是________。
8.若x2－4xy+4y2=0，则x∶y的值为________。
9。若x2+2(a+4）x+25是完全平方式，则a的值是________.
10。已知a+b=1，ab=－12，则a2+b2的值为_____
三、解答题
11。分解因式
(1)3x4－12x2
（2)9（x－y)2－4(x+y)2
（3）1－6mn+9m2n2
(4)a2－14ab+49b2
（5)9(a+b）2+12（a+b）+4
（6）(a－b)2+4ab
12。(1)已知x－y=1，xy=2，求x3y－2x2y2+xy3的值。
（2)已知a（a－1）－(a2－b)=1，求 (a2+b2）－ab的值。
13。利用简便方法计算:
（1)2001×1999
(2）8002－2×800×799+7992

【试题答案】
一、（1）4x10y3 （2)x(x+y)2 （3)2a(2b2－b+4)（4)(m－n)4 （5+m－n)
二、（1）D （2)D （3）A （4）C
三、（1)x（x－y)－y（y－x)=(x－y）（x+y）
(2）－12x3+12x2y－3xy2=－3x(4x2－4xy+y2)=－3x（2x－y）2
（3)(x+y）2+mx+my=(x+y）2+m（x+y)=(x+y）(x+y+m)
(4)a（x－a)(x+y)2－b(x－a)2(x+y）
=(x－a）（x+y）［a(x+y）－b（x－a)］
=(x－a)(x+y）(ax+ay－bx+ab)
四、1。①5x(x－3）=0，则5x=0，x－3=0，
∴x=0或x=3
②（x－2)（5x+4)=0，则x－2=0或5x+4=0，∴x=2或x=－
2。∵a=－5,a+b+c=－5。2,
∴b+c=－0。2
∴a2(－b－c）－3.2a(c+b)=－a2（b+c)－3.2a·(b+c）
=(b+c)(－a2－3。2a）=－a（b+c）(a+3。2)=5×（－0.2）×（－1。8)=1。8