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第十七章 一元二次方程知识点
第一节 一元二次方程的概念
一元二次方程：只含有一个未知数(一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
三个条件:(１）是整式方程（２）含有一个未知数(３）未知数的最高次数是２,三个条件缺一不可。

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后,其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项,b是一次项系数；c是常数项．
把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数。
一元二次方程的解叫做一元二次方程的根
第二节 一元二次方程的解法
知识点1 特殊的一元二次方程的解法
直接开平方法
运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0),那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0)，那么mx+n=±,达到降次转化之目的

因式分解法

知识点2 一般的一元二次方程的解法
1． 配方法:解方程ax2+bx+c=0 （a≠0)的一般步骤是：
2。一元二次方程的求根公式
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2—4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b—4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．

3 .一元二次方程根的判别式
求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2—4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根,所以没有实数解．
因此，（结论）（1）当b2—4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．
（2)当b—4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．
（3）当b2-4ac〈0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．

第三节 一元二次方程的应用
知识点 1二次三项式的因式分解
1、二次三项式
　　形如ax2＋bx＋c（a≠0)的多项式叫做x的二次三项式
2、二次三项式因式分解的公式
　　如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两个实数根为x1、x2，则．

　　从而得到二次三项式因式分解公式：
　　ax2＋bx＋c=a（x－x1)（x－x2）(a≠0)
　　条件
　　对于二次三项式当△=b2－4ac≥0时，能分解因式；当△=b2－4ac＜0时，不能分解因式．
3、用公式法分解二次三项式的步骤
　　（1）求二次三项式ax2＋bx＋c所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1、x2．
　　(2)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1）(x－x2)即可．
　　说明：（1）在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a．
　　（2）要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆．
(3)把x1、x2的值代入公式后,能化简整理的可以化简整理．
1、二次三项式的因式分解
　　例1、；(2）－4y2＋8y－1．
　　分析:这两个二次三项式都需要用公式法分解因式．
　　解：(1）方程的根是

　　(2)方程－4y2＋8y－1=0的两根是

　　点拨:(1)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解,这样可提高解方程的准确性，如解－4y2＋8y－1=0可化为4x2－8y＋1=0再解；
　　(2)写出二次三项式的分解因式时，不要漏掉第一个因数“－4”．
　　(3）把4分解为2×2,两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化,要注意学习这种变形的技巧和变形过程中符号改变．
2、形如Ax2＋Bxy＋Cy2的因式分解
　　例2、分解因式5x2－2xy－y2
　　分析：形如Ax2＋Bxy＋Cy2的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式，我们可以选择其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，就可将多项式Ax2＋Bxy＋Cy2看作二次三项式来分解，如本题可看作关于x的二次三项式，其中a=5,b=－2y，c=－y2．
　　解：关于x的方程5x2－2xy－y2=0的根是．
　　．
　　点拨:本题将y视为常数,是利用公式法分解因式的需要，即把x视为主元，称为“主元法”,这样便于用公式解题．
　　例3、分解因式3x2y2－10xy＋4；
　　分析：将3x2y2－10xy＋4转化为关于xy为元的二次三项式，实际上是利用换元法进行因式分解．
　　解：关于xy的方程3(xy）2－10xy＋4=0的根是，
　　．
3、二次三项式因式分解的灵活运用
　　例4、二次三项式3x2－4x＋2k，当k取何值时,（1)在实数范围内能分解;(2）不能分解；（3)能分解成一个完全平方式,这个完全平方式是什么？
　　分析:（1)二次三项式在实数范围内能因式分解的条件是方程有实数根,即△=b2－4ac≥0;(2)不能分解的条件是△＜0;(3)△=0时，二次三项式是完全平方式．
　　解：△=（－4)2－4×3×2k=16－24k
　　（1）当△≥0时，即16－24k≥0，时，二次三项式3x2－4x＋2k在实数范围内能分解因式;
　　（2）当△＜0时，即16－24k＜0，时，3x2－4x＋2k不能分解因式;
　　（3）当△=0时，即16－24k=0，时，3x2－4x＋2k是一个完全平方式．
　　当时，

　　例5、已知二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2是一个完全平方式,试求m的值．
　　分析：若二次三项式为一个完全平方式，则其判别式△=0．
　　解：对于二次三项式9x2－（m＋6)x＋m－2,其中a=9，b=－（m＋6），c=m－2,
　　∴△=b2－4ac=[－(m＋6)］2－4×9×(m－2）=m2－24m＋108．
　　∵原二次三项式是一个完全平方式，
　　∴△=0，即m2－24m＋108=0，解得m1=6，m2=18．
　　故当m=6或m=18时，二次三项式9x2－（m＋6）x＋m－2是一个完全平方式．
点悟:解题规律是：若b2－4ac=0，则二次三项式ax2＋bx＋c（a≠0）是完全平方式；反之，若ax2＋bx＋c（a≠0）是完全平方式，则b2－4ac=0．

知识点2 实际应用