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图表型一次函数应用题分类解法

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图表型一次函数应用题分类解法

初中阶段，我们主要研究正比例函数、一次函数、二次函数和反比例函数四种初等函数.由于正比例函数是一次函数中常数项等于零时的特殊情况,所以也可以说是三种初等函数.其中,一次函数和二次函数尤为重要，但因新大纲新教材对二次函数的要求有所降低，导致一次函数的地位相对上升.加之,近年来“用数学”意识的不断强化,中考应用题数量和质量不断提高，使一次函数应用题成为最具发展前途的中考试题之一.对此,笔者曾撰文做过专题分析（《例谈一次函数应用题》,载于《理科考试研究》,1998，11： P6）。通过对近两年中考试题的进一步研究，发现：在一次函数应用题中，把反映数量关系的图象或表格作为已知条件,进行分析解答的试题不断增多，成为中考命题的又一新趋势.下面仅以各地中考题为例加以说明.
一、填空题
例1（辽宁大连)在空中,自地面算起，每升高1千米，气温下降若干度（℃）.某地空中气温t （℃）与高度h（千米）间的函数的图象如图1所示，观察图象可知:该地地面气温为______℃,当高度h______千米时，气温低于0℃.
分析:题中地面高度可视为0千米，当h=0（千米）时,t=24(℃），即气温为24℃。当气温t=0（℃）时,h=4(千米）.由此结合图象可知：当h〉4(千米)时,气温低于0℃.本题通过求解析式的途径虽然也能解答，但会多走不少弯路，费时费力。可以看出,灵活的运用数形结合思想,对于提高解题效率大有裨益。
例2（陕西西安)弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm）与所挂物体的质量x(kg）有表1中的关系。那么弹簧总长y（cm)与所挂物体的质量x(kg）之间的函数关系式为_____________.
分析：弹簧在正常的弹性形变范围内,y是x的一次函数.设y=kx+b.任取上表中的两组数据，如x=0时,y=12和x=1时,y=12。5代入解析式，得
二、选择题
例3（新疆）某地为了改善生态环境，政府决心绿化荒山,计划第一年先植树0。5万亩，以后每年比上年增加1万亩,结果植树总亩数是时间(年数）的一次函数，这个函数的图象是图2中的( ）
分析：由题意知该一次函数的图象必过(1， 0。5）和（2， 1。5）两点,故排除（B）、(C)、（D),选（A).
例4（湖北黄冈）幸福村村办工厂今年前五个月生产某种产品的总量c（件)关于时间t（月）的函数图象如图3所示,则该厂对这种产品来说（ )
（A)1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量逐月减少;
(B)1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量与3月持平；
(C）1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月均停止生产；
(D)1月至3月每月生产总量不变,4、5两月均停止生产.
分析：审题时应认真理解题意,比如,“前五个月生产某种产品的总量c（件）”,说明c是指逐月累计的产品总量，而非每个月的产量。由于前三个月对应的函数图象为上升趋势的正比例函数图象，表明c与t成正比例关系。设c=kt (k>0),t=1(月）时,c=k(件)；t=2（月）时，c=2k(件)；t=3（月)时,c=3k(件).可见每月都增加了k 件，因此前三个月每月的生产总量都是k 件,没有变化.而3月以后的4、5两月对应的图象是平行于横轴的线段，c值未变，表明到4、5月的累计总量维持前三个月的总量不变,可见4、5两月没有增加新的件数,由此判断4、5两月均停止生产.故选(D）.
三、解答题
例5（辽宁）某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家订月租车合同.设汽车每月行驶x千米,应付给个体车主月租费是y1元，应付给出租车公司的月租费是y2元，y1和y2分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图4，观察图象回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时,租国营公司的车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，两家车的费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米,那么这个单位租那家的车合算?
分析：观察图象可知，当x=1500（千米）时，射线y1和y2相交；在0≤x<1500时,y2在y1下方；在x〉1500时,y1在y2下方.结合题意，则有
(1)每月行驶的路程小于1500千米时，租国营公司的车合算；
2）每月行驶的路程等于1500千米时,两家车的费用相同；
（3）由2300>1500可知,如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米,那么这个单位租个体车主的车合算。
例6(陕西咸阳)现在有甲、乙两个氮肥厂向 A、B两地运送化肥.已知甲厂可调出50吨化肥，乙厂可调出40吨化肥，A地需30吨化肥，B地需60吨化肥，两厂到A、B两地的路程和运费如表2(表中运费栏“元/吨·千米”表示每吨化肥运送1千米所需人民币）。
根据题意,请设计出合理的运送方案，使所需的总运费最低，并求出最低的总运费.
分析：若设甲厂运往A地x吨化肥,则运往B地（50—x）吨,乙厂运往A地（30-x）吨化肥,运往B地60-（50-x）=（10+x)吨，于是总运费y=10×6x+12×5（50—x)+8×6(30-x）+10×4（10+x）=—8x+4840。由x≥0，50-x≥0，30—x≥0,10+x≥0组成不等式组解得，0≤x≤30.在此范围内，y随x的增大而减小,故当x=30时，y最小值=18×30+4840=4600.因此，当甲厂运往A地30吨化肥,运往B地20吨，乙厂把全部40吨化肥都运往B地时,总运费最低,此时总运费为4600元.
四、综合题
例7（湖北荆州）甲乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两个方面的信息，如图5-甲、乙两图.
甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只。
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个.
请你根据提供的信息说明：
(1）第2年甲鱼池的个数及全县出产的甲鱼总数。
(2）到第6年这个县的甲鱼养殖业的规划比第1年扩大了还是缩小了?说明理由.
(3）哪一年的规模最大?说明理由.
分析:由题意可知，图5—甲图象经过（1,1)和（6,2)两点,从而求得其解析式为y甲=0。2x+0。8;图5-乙图象经过(1,30）和（6,10)两点，从而求得其解析式为y乙=-4x+34。
(1）当x=2时，y甲=0.2×2+0。8 =1.2，y乙= —4×2+34=26,y甲·y乙=1.2×26=31.2.所以第2年甲鱼池有26个，全县出产的甲鱼总数为31。2万只。
（2）第1年出产甲鱼1×30=30（万只), 第6年出产甲鱼2×10=20（万只）,可见,第6年这个县的甲鱼养殖业规划比第1年缩小了。
（3）设当第m年时的规模最大, 其总出产量为n， n= y甲·y乙=（0.2m+0.8) （— 4m+34）= -0. 8m2+3。6m+27。2=-0.8(m2—4.5m—34)=—0.8(0。8-2。15)2+31.2 。因此，当m=2.15≈2时，n最大值=31.2。即当第2年时，甲鱼养殖业的规模最大,最大产量为31。2万只。
此题综合了二次函数、统计初步等代数知识,但一次函数是一条主线，贯穿始终.
例8（江苏无锡）已知A地在B地的正南方3千米处，甲、乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离s（千米）与所行的时间t（小时）之间的函数关系由图6的图象AC、BD给出.当他们行了3小时的时候，它们之间的距离为_______千米。

分析：解答此题首先要明确AC、BD并非甲、乙的行走路线，而是他们离开A地的距离s与行走时间t之间的函数关系在坐标系中的图象。显然，欲确定AC、BD的解析式，条件不足，也就不能用当t=3时｜s甲—s乙｜的值求出3小时的时候两人的距离.注意到,t=3时二人的行程，即是图象中横坐标为3时，相应的纵坐标的值。设E(3，0），过点E作EM⊥AE交AC于M，交BD于N，则ME、NE分别表示了甲、乙二人行走了3小时的时候离开A地的距离。由于二人都向正北走,所以二人之间的距离即ME—NE=MN.设AC、BD交点为F,点G(2,0），则由AB//FG//ME，易得
此题实为一次函数与几何知识的综合题，且综合之处较为隐蔽，需深入挖掘才能发现。

由于图象、表格说明问题简洁明了、形象直观，况且把它们都改成语言叙述较为繁琐,所以在日常生活中经常用到.基于此，应用题中出现这种以图象或表格进行数据分析解答的题型，也就在情理之中了.这种图表分析型的一次函数应用题，反映的是在一个事件变化过程中两个变量之间的关系,比那种简单的由物体形状抽象出图形的题目,更贴近生活实际，也更富有新意,成为中考命题的一个新的亮点势在必行.这种题型，还会随着图表应用领域的进一步扩大,不断成熟完善.

附:图表型一次函数应用题练习题
注:所选练习题均出自2002年各地中考题。

1、（青岛）下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点)上都有以n≥2）个棋子,每个图案的．棋子总数为S，按下图的排列规律推断。S与n之间的关系可以用式子来表示 ．

2、（呼和浩特）下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案,每条边（包括顶点)有以n＞1）盆花，每个图案花盆总数为S,按此规律推断S与n的关系式是 ．

3、（广州）某装满水的水池按—定的速度放掉水池的一半水后．停止放水并立即按一定的速度注水，水池注满后,停止注水，又立即按—定的速度放完水池的水．若水池的存水为v(立方米），放水或注水的时间为t（分钟)，则v与t 只能是 ( ）

4、（贵阳)某天早晨，小强从家出发,以v1的速度前往学校,途中在一饮食店吃早点，之后,以v2的速度向学校行进．已知v1>v2，下面的图象中表示小强从家到学校的时间t(分钟）与路程s（千米）之间的关系是( ）．

5、（厦门)张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后,用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系( )：

6、（武汉)某校举行趣味运动会，甲、乙两名学生同时从A地B地，甲骑自行车到B地后跑步回A地，乙则先跑步到B地后骑自行车回A地（骑自行车速度快于跑步的速度），最后两人恰好同时回到A地.已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快.若学生离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下（实线表示甲的图象，虚线表示乙的图象）,则正确的是（ ）

7、(南宁) 以下是2002年3月12日《南国早报》刊登的南宁市自来水价格调整表：
南宁市自来水价格调整表(部分)单位：元／立方米

用水类别
现行水价
拟调整水价
一、居民生活用水
0．72

1一户一表

第一阶梯：月用水量0~30立方米／户

0．82
第二阶梯：月用水量超过30立方米／户部分

1．23
2．集体表

略
则调整水价后某户居民月用水量x（立万米)与应交水费y（元)的函数图像是( ）

8、（达州）某长途汽车客运公司额定旅客可随身携带一定质量的行李．如果超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元）是行李质量x（千克)的一次函数，其图象如下图所示．
（1）根据图象数据，求y与x之间的函数关系式．
（2）问旅客最多可免费携带行李的质量是多少千克？

9、（黄石）中国移动通信已于2001年3月21日开始在所属18个省、市移动公司陆续推出“全球通"移动电话资费“套餐"，这个“套餐"的最大特点是针对不同用户采用了不同的收费方法，具体方案如下:
方案代号
基本月租(元)
免费时间（分钟）
超过免费时间话费（元/分钟）
1
30
48
0．60
2
98
170
0．60
3
168
330
0．50
4
268
600
0．45
5
388
1000
0．40
原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟付0．40元.我市某中学外籍教师马克根据自己每月实际收入水平，选中上图表中方案3．请问:
（1)“套餐"中第3种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和)的函数关系式；
（2）取第3种话费方式，通话量多少时比原收费方式的月通话费省钱．
10、(赤峰）图6表示今年五·一期间赤峰某单位一骑自行车者(甲)和一骑摩托车者（乙）从赤峰到某县城旅行的函数图像．已知赤峰到该县城的距离为45km，甲用了4小时，乙用了1小时，根据这个函数图像,你还能得到关于甲、乙两个旅行者在这一旅途中的哪些信息？(每写出一条得1分,写出5条得满分）

11、（常州）阅读函数图象，并根据你所获得的信息回答问题:
(1）折线OAB表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题；
(2）根据你给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义,并写出A、B两点的坐标；
(3）求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围．

12、（黑龙江)某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程。开始时风速平均每小时增加2千米/时，4小时后,沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米/时。一段时间，风速保持不变.当沙尘暴遇到绿色植被区时,其风速平均每小时减少1千米/时，最终停止。结合风速与时间的图象，回答下列问题；
（1)在y轴( ）内填入相应的数值；
（2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时?
(3）求出当x≥25时，风速y（千米/时）与时间x（小时)之间的函数关系式。
13、(三明）某衡器厂的RGZ－120型体重秤，最大称重120千克,你在体检时可看到如图⑴显示盘。已知，指针顺时针旋转角x（度）与体重y(千克）有如下关系：

⑴根据表格的数据在平面直角坐标系中描出相应的点,顺次连结各点后，你发现这些点在哪一种图象上？合情猜想符合这个图形的函数解析式;
⑵验证这些点的坐标是否满足函数解析式,归纳你的结论(写出自变量x的取值范围）；
⑶当指针旋转到158。4度的位置时，显示盘上的体重读数模糊不清，用解析式求出此时的体重。
14、(吉林)一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后,又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱)的关系如图所示,结合图像回答下列问题：
（1）农民自带的零钱是多少?
(2)降价前他每千克土豆出售的价格是多少？
（3）降价后他按每千克0．4 元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱)是26元，问他一共带了多少千克土豆．
15、(大连）某批发商欲将一批海产品由A地运往B地。汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米,汽车和火车的速度分别为60千米/时，100千米/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示:
运输工具
运输费单价
（元/吨·千米）
冷藏费单价
（元/吨·小时)
过路费（元)
装卸及管理费（元）
汽车
2
5
200
0
火车
1．8
5
0
1600
注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时"表示每吨货物每小时的冷藏费;
(1）设该批发商待运的海产品有x(吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2(元)，试求y1和y2与x的函数关系式;
(2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费,他应选择哪个货运公司承担运输业务？