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方程法解应用题的讨论
王训彬 山东滨州西海小学 2013年12月16日

算术法与方程法是小学数学解应用题的两种基本方法。他们就好比我们的左右手，互相补充，互相协作,帮助我们解决数学应用问题。正是这样我们才更有必要看看该如何掌握好用方程解决数学问题。
为此我们首先看一下方程的定义：含有未知数的等式叫做方程.问一下，从定义中你看出了什么？
可能你看到了很多，比如怎么判断一个式子是不是方程了.。。。.。不过你有没有看到它更揭示了一种重要的数学思想:要从相等的角度来看待问题！因为方程是一种等式!
所以能不能自如的使用方程解决问题，就看你是否具备了从相等的角度来看待问题的意识！
下面我们训练一下：
要求从相等的角度看待下面语句。
1、 甲的大小是5
2、 甲比乙大3
3、 今天上午花店卖出12盆花，下午卖出15盆花.
解析:
1、相等关系 甲=5，因为“是”就可以理解为“=”,当然这种相等关系意义不大，解题时我们一般很少讨论。
2、甲=乙+5，乙=甲—5,甲-乙=5,当然这三个实际上是同一个相等关系的三种表现形式。数学上规定如果一个等式能通过等式的性质变换成另一个，这两个等式就是相关联的,这两个就当做一个来看待。把不等看做相等，实际上利用了简单的数学道理：大量=小量+差额,小量=大量—差额，大量—小量=差额.
3、 上午卖出的花=12，下午卖出的花=15,全天卖出的花=上午卖出的花+下午卖出的花.其中前两个相等关系意义不大，属于语句1中的那种简单类型。但第三个则含有丰富的信息，是一个整体与部分的关系,在列方程时常常用到。

总的来说相等关系分为两种，一种是不含运算的简单相等关系，这种关系只是简单地揭示了一个量被赋值一个常数，无任何实际意义,在考虑问题时完全可以忽略,所以在后面的例题中将不再提及这种类型。1中的“甲=5"， 3中的“上午卖出的花=12，下午卖出的花=15”就是这一类,这里我们称这种相等关系为无意义的相等关系。另一种就是含有运算的相等关系，这种关系,意义丰富，都可以用来建立方程。以后若无特别说明，提到的相等关系都是指这种,这里我们称这种相等关系为丰富相等关系。
一、列方程
下面我们通过具体问题，来看一看如何找相等关系,并列方程解决应用题。
例1、 学校组织学生郊游，中午吃饭时用了55个碗，其中一人一个饭碗，两人一个汤碗,3人一个菜碗，问你能算出共有多少学生吗?
通读题意后,我们从相等的角度不难看到55个碗分成了3类，饭碗，菜碗，和汤碗。因此这是典型的整体与部分的关系，所以有：饭碗+菜碗+汤碗=55
而另外3个条件，则对应了对这三部分的解释。
其中一人一个饭碗，则可理解为饭碗=人数
两人一个汤碗，则可以理解为汤碗=人数的
3人一个菜碗，可以理解为菜碗=人数的
所以如果设人数为x人,则饭碗x个，汤碗x个，菜碗x个从而得方程：x+x+x=55，解得x=30
本例中四个相等关系中都是丰富相等关系，都可以用来列方程。特别注意饭碗=人数,并不是一个无意义的相等关系,因为饭碗不是被赋值了一个常数，而是一个未知数！不信，我们就以“饭碗=人数”建立方程。
设菜碗x个（注意以饭碗=人数建立方程，决定了饭碗，人数这两个量都不能不设为未知数）
由“菜碗=人数的”得人数=3x。
由“汤碗=人数的”得汤碗=3x的=x。
最后由饭碗+菜碗+汤碗=55得饭碗=55—菜碗—汤碗=55—x—x。
这样由“饭碗=人数” 就变成了55—x-x=3x,,不难解的x=10，人数=3x=30
从这里可以看出三点：
1、 如果一个问题中包含多个相等关系时,每一个都可以用来建立方程，其他的就用来处理未知数。
2、 用意义越丰富的相等关系来建立方程，得到的方程越容易解.话句话说，应该用关系相对简单的相等关系处理未知数,用复杂的建立方程。
3、 一般来说，未知量的个数应该等于相等关系的个数，可以利用这点来检查自己是不是漏掉了必要的相等关系。比如本例中四个未知量（人数，饭碗,菜碗,和汤碗)，就有四个相等关系。当然这里的相等关系不包括无意义相等关系。
如果未知量的个数大于相等关系的个数，会发生什么呢，会发现方程的解有无数多个.
比如已知甲=乙+3,求甲.显然两个为质量，一个相等关系，我们试一下,会发现，乙=0时，甲=3;乙=1时，甲等于=4,.。.。.。这样的结果有无限个，只要甲比乙多三就行.
如果未知量的个数小于相等关系的个数，会发生什么呢？会发现方程的可能无解，除非这些相等关系中有不独立的,即相关联的，但我们知道这是这两个只能算一个。否则一定有两个互相矛盾，导致无解。
比如已知甲=乙+3，甲=乙的3倍，甲+乙=5，求甲和乙
设乙为x,由甲=乙+3知甲为x+3，
由甲=乙的3倍得:x+3=3x,x=2.5
由甲+乙=5得： x+3+x=5，x=1(矛盾！)
下面我们一这三点为指导，看一下鸡兔同笼的问题.
例2、鸡兔同笼,共有30个头，88只脚。求笼中鸡兔各有多少只
分析
共有30个头,可以理解为,总鸡头数+总兔头数=30 1）
88只脚,可以理解为，总鸡脚数+总兔脚数=88 2）
两个未知量（鸡与兔的只数)两个相等关系，没有丢失必要的相等关系。
根据上面的原则应该用1）式处理未知数，2）建立方程，因为20式更复杂一些，比如总鸡脚数是要用总鸡头数×2来计算的。
设总鸡头数为x只,利用1)式处理未知数。
由总鸡头数+总兔头数=30得x+总兔头数=30，进一步，利用等式性质1,得总兔头数=30-x
考虑2)式中的量
总鸡脚数=总鸡头数×2=2x
总兔脚数=总兔头数×4=4（30-x）
进而得方程：2x+4（30—x）=88
例3：学校对一块空地进行绿化,把它设计为3部分，草地，花坛，小路。其中小路面积与草地面积的比为1:7，小路面积又是花坛面积的，已知草地面积比花坛面积大36平方米,求小路的面积。
分析：小路，草地，花坛面积都未知，故应有三个相等关系，从条件其中小路面积与草地面积的比为1：7，得：小路面积：草地面积=1：7 1）
从条件小路面积又是花坛面积的，得：小路面积=花坛面积× 2）
从条件草地面积比花坛面积大36平方米，得：草地面积—花坛面积=36 3)
可以看到1）、2)为倍积关系，较为简单，又来处理未知数。设小路面积为x平方米，则由1)知草地面积为（7x）平方米，由2）知x=花坛面积×，两边乘以4得：花坛面积为(4x)平方米，由3)得方程：7x-4x=36
例4、一桶油连桶重20千克，用去油的一半后，连桶称得重11千克，问原来桶重多少,油重多少.
分析：油与桶的质量都未知，应有两个相等关系。
从“一桶油连桶重20千克”得 油+桶=20 1)
从“用去油的一半后，连桶称得重11千克”得：油的一半+桶=11 2）
容易看到1）简单，设原来油x千克，由1）得,桶（20-x)千克
分析2）
油的一半=x，桶未改变，所以x+20-x=11
有时方程列出来了，但不会解,因此下面就看一看方程的解法
二、解方程
应该说利用小学阶段所学的知识，小学中遇到到的方程都能解,之所以一些同学感觉到不好解决，只是因为自己的数学知识掌握的不够准确不够灵活而已.
以例4的方程为例看一下如何求解。
例5、解方程x+20-x=11
观察方程，首先看到x—x不够减的问题,既然这样,我们就加：等式两边加x
x+20=11+x
然后消去左边的x，两边减x得：20=x。然后略.
如果感到这个方程不好解决我认为主要是等式的性质裂解的不够透彻所致。可能让等式两边都减11，大家好理解，但等式两边加x或两边减x，有的学生可能就这样想了：行吗?x 或x可是未知数啊！
同学,复习一下等式的性质，它那个地方告诉您不可以两边加减或乘除未知数了？当然除法时，不能除以0。
例6、解方程2x+4（30-x）=88
这是例2中的方程，观察方程,可以看到可以用分配率化简左边：2x+120—3x=88,接下来是不是与例5一样了！
例7、解方程3x-2（9-4x）=15
分析：使用分配率，3x-(18-4x）=15
括号前面是—号，怎么处理，既然是—号不会，还是那句话，加！两边加(18-4x）得:3x=15+(18-4x）
3x=15+18-4x 接下来自己考虑怎样消去右边的—4x
例8、5÷x+6=7
解：5÷x=1
X在除数的位置上怎么办？很多学生看到这种情况就头疼！怎么办两边×x试一试。
5=x