八年级奥林匹克竞赛讲义第07讲：一元二次方程的判别式.doc

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第七讲：一元二次方程的判别式

【知识梳理】
一、一元二次方程根的情况：令.
1、若，则方程有两个不相等的实数根：;
2、若，则方程有两个相等的实数根：；
3、若，则方程无实根（不代表没有解）。
二、1、利用判别式,判定方程实根的个数、根的特性；
2、运用判别式,建立等式、不等式,求方程中参数或参数的取值范围；
3、通过判别式，证明与方程有关的代数问题；
4、借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题、最值问题。
【例题精讲】
【例1】已知方程；则①当取什么值时，方程有两个不相等的实数根?
②当取什么值时,方程有两个相等的实数根?③当取什么值时，方程没有实数根？

【巩固】1、已知关于的方程。
求证：无论取什么实数,方程总有实数根；

2、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。

【拓展】关于的方程有有理根,求整数的值.

【例2】已知关于的方程。
(1)求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；
(2）若等腰三角形ABC的一边长，另两边长恰好是这个方程的两个根,求ABC的周长。

【巩固】1、等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于的方程的两根，则___________。

2、在等腰三角形ABC中,A、B、C的对边分别为，已知，和是关于的方程的两个实数根，求三角形ABC的周长。

【拓展】已知对于正数，方程没有实数根，求证：以长的线段为边能组成一个三角形.

【例3】设方程有三个不相等的实数根，求的值和相应的3个根。

【巩固】已知关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是___________________。

【例4】设，证明在方程

中，至少有两个方程有不相等的实数根。