一类直线过定点题型的变式探究与推广.pdf

2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究23一类直线过定点题型的变式探究与推广广州市第九十七中学(510288)黄 艳广州市南海中学(510170)沈 钢摘要圆锥曲线中直线过定点问题是高考的热点题型,但是计算量非常大,本文以 2020 年新课标第 21 题为例,通过斜率比为定值,利用破解定理得出韦达定理,通过巧妙的解答与分析,并进行变式探究与推广,总结出有斜率比这类直线过定点问题的解答方法和计算技巧,优化这类直线过定点问题的计算,以促进学生的深度学习.关键词 圆锥曲线;直线过定点;破解定理;斜率比一、试题展示与解法探究题目(2020年新课标第21题)已知A,B 分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a 1)的左、右顶点,G 为 E 的上顶点,AG GB=8,P 为直线图 1x=6 上的动点,PA 与 E 的另一交点为 C,PB 与 E 的另一交点为 D,(1)求 E 的方程;(2)证明:直线 CD 过定点.分析该题主要考查直线与椭圆的位置关系,定点问题,属于较难题;第(1)问求出各点坐标,表示出向量;(1)由 题 意 A(a,0),B(a,0),G(0,1),AG=(a,1),GB=(a,1),AG GB=a2 1=8 a2=9 a=3,所以椭圆 E 的方程为x29+y2=1.下面展示第 2 问的几种证法,并总结出可以作为通法的证法.证法 1求 C,D 两点坐标,进而求出直线 CD,即可证明.但是第 2 问的计算量比较大.由(1)知 A(3,0),B(3,0),P(6,m),则直线 PA 的方程为 y=m9(x+3),将其与椭圆方程联立得到(9+m2)x2+6m2x+9m2 81=0.由韦达定理 3xC=9m2 819+m2,从而 xC=3m2+279+m2,代入直线 PA 的方程 y=m9(x+3)得,yC=6m9+m2,即C(3m2+279+m2,6m9+m2),直线 PB 的方程为 y=m3(x3),将其与椭圆方程联立得到(1+m2)x26m2x+9m29=0,由韦达定理 3xD=9m2 91+m2 xD=3m2 31+m2,代入直线 PA 的方程 y=m3(x 3)得,yD=2m1+m2,即 D(3m2 31+m2,2m1+m2),所以直线 CD 的斜率 kCD=4m3(3 m2),所 以 直 线 CD 的 方 程 为:y 2m1+m2=4m3(3 m2)(x 3m2 31+m2),整理得 y=4m3(3 m2)(x 32),所以直线 CD 过定点(32,0).证法 2(2)设 C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t),若 t=0,设直线 CD 的方程为 x=my+n,由题可知,3 n 3,由于直线 PA 的方程为 y=t9(x+3),所以 y1=t9(x1+3),同理可得 y2=t3(x2 3),于是有3y1(x2 3)=y2(x1+3),1由于x229+y22=1,所以 y22=(x2+3)(x2 3)9,将其代入1式,消去 x2 3,可得 27y1y2=(x1+3)(x2+3),即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0,2将其与椭圆方程联立得到(m2+9)y2+2mny+n29=0,所以 y1+y2=2mnm2+9,y1y2=n2 9m2+9,代入2式得(27+m2)(n2 9)2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0,解得 n=32或 3(因为 3 n b 0)与直线Ax+By+C=0相交于A,B 两点,x2a2+y2b2=1,Ax+By+C=0.由韦达定理知,x1+x2=2ACa2A2a2+B2b2,x1x2=a2(C2 B2b2)A2a2+B2b2,或y1+y2=2BCb2A2a2+B2b2,y1y2=b2(C2 A2a2)A2a2+B2b2.则(A2a2+B2b2)x2+2ACa2x+a2(C2 B2b2)=0,(A2a2+B2b2)y2+2BCb2y+b2(C2 A2a2)=0.麻花公式 x1y2+x2y1=2ABa2b2A2a2+B2b2.评注圆锥曲线大题在高考题中的运算非常大,在高三复习中,教师适当可以给学生拓展一些运算技巧或套路,可以简化计算,比如熟记破解定理可以很快写出需要的韦达定理,然后反推出一元二次方程.性质 1已知椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0),A,B 为椭圆的左右顶点,P,Q 为椭圆上的动点,若kPAkBQ=(=1),证明:直线 PQ 过定点(a(1 )+1,0)证明因为直线 PQ 的斜率不可能为零,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),A(a,0),B(a,0),直线 PQ 方程:x=ty+m,将2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究25其与椭圆方程联立得到(a2+b2t2)y2+2b2tmy+b2(m2 a2)=0.由韦达定理知 y1+y2=2b2tma2+b2t2,y1y2=b2(m2 a2)a2+b2t2.=kPAkBQ=y1x1+ax2 ay2=y1(ty2+m a)y2(ty1+m+a)=ty1y2+(m a)y1ty1y2+(m+a)y2=b2t(m2 a2)+(m a)2b2tm y2(a2+b2)t2b2t(m2 a2)+(m+a)y2(a2+b2t2)=m am+a(1).所以 m+a=a m,即 m=a(1 )+1,故直线 PQ 的方程:x=ty+a(1 )+1过定点(a(1 )+1,0).总结=kPAkBQ=y1x1+ax2 ay2=y1(ty2+m a)y2(ty1+m+a)=ty1y2+(m a)y1ty1y2+(m+a)y2=m am+a(1).性质 2 已知椭圆:x2a2+y2b2=1(a b 0),A,B 为椭圆的上下顶点,P,Q 为椭圆上的动点,若kPAkBQ=(=1),证明:直线 PQ 过定点(0,b(1 )+1).证明因为直线 PQ 的斜率必存在,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),A(0,b),B(0,b),直线 PQ 方程:y=kx+m,将其与椭圆方程联立得到(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2 b2)=0.由韦达定理知 x1+x2=2a2kma2k2+b2,x1x2=a2(m2 b2)a2k2+b2.=kPAkBQ=y1 bx1x2y2+b.=x2(kx1+m b)x1(kx2+m+b)=kx1x2+(m b)x2kx1x2+(m+b)x1=a2k(m2 b2)+(m b)2a2km x1(a2k2+b2)a2k(m2 b2)+(m+b)x1(a2k2+b2)=m bm+b(1)=.所以 m+b=b m,即 m=b(1 )+1,故直线 PQ 的方程:y=kx+b(1 )+1过定点(0,b(1 )+1).总结=kPAkBO=y1 bx1x2y2+b=x2(kx1+m b)x1(kx2+m+b)=kx1x2+(m b)x2kx1x2+(m+b)x1=m bm+b(1).性质 3已知双曲线x2a2y2b2=1(a 0,b 0),A,B 为双曲线的左右顶点,P,Q 为双曲线上的动点,若kPAkBQ=(=1),证明:直线 PQ 过定点(a(1 )+1,0).证明因为直线 PQ 的斜率不可能为零,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),A(a,0),B(a,0),直线 PQ 方程:x=ty+m,将其与双曲线方程联立得到(a2 b2t2)y2 2b2tmy b2(m2 a2)=0.由韦达定理知=kPAkBQ=y1x1+ax2 ay2=y1(ty2+m a)y2(ty1+m+a)=ty1y2+(m a)y1ty1y2+(m+a)y2=b2t(m2 a2)+(m a)2b2tm y2(a2 b2)t2b2t(m2 a2)+(m+a)y2(a2 b2t2)=m am+a(1).所以 m+a=a m,即 m=a(1 )+1,故直线 PQ 的方程:x=ty+a(1 )+1过定点(a(1 )+1,0).总结=kPAkBQ=y1x1+ax2 ay2=y1(ty2+m a)y2(ty1+m+a)=ty1y2+(m a)y1ty1y2+(m+a)y2=m am+a(1).性质4 已知双曲线:x2a2y2b2=1(a 0,b 0),A(0,b),B(0,b),P,Q 为双曲线上的动点,若kPAkBQ=(=1),证明:直线 PQ 过定点(0,b(1 )+1).证明因为直线 PQ 的斜率一定存在,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),A(0,b),B(0,b),直线 PQ 方程:y=kx+m,将其与双曲线方程联立得到(a2k2 b2)x2+2a2kmx+a2(m2 b2)=0.由韦达定理知x1+x2=2a2kma2k2 b2,x1x2=a2(m2 b2)a2k2 b2.=kPAkBQ=y1 bx1x2y2+b=x2(kx1+m b)x1(kx2+m+b)=kx1x2+(m b)x2kx1x2+(m+b)x1=m bm+b(1)=.所以 m+b=bm,即 m=b(1 )+1.从而,直线 PQ 的方程:y=kx+b(1 )+1过定点(0,b(1 )+1).总结=kPAkBQ=y1 bx1x2y2+b=x2(kx1+m b)x1(kx2+m+b)=kx1x2+(m b)x2kx1x2+(m+b)x1=m bm+b(1).以上是对一道 2020 年的高考解析几何题从不同角度进行解法探究,总结出斜率比之为定值的计算技巧.解析几何26中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)核心素养下高考中三角函数考查研究中山市华侨中学(528400)李 杨吴钰怡摘要 本文研究了核心素养下高考中三角函数的考查情况.通过对 2023 年高考全国卷三角函数试题的统计与分析,探讨三角函数在高考中的地位和作用,以及其与核心素养的关联.研究结果表明,三角函数在高考数学中具有较高的比重,且与数学核心素养有着密切的联系.此外,本文还针对三角函数的考查重点和题型设计进行了深入探讨,为高中数学教育和考生备考提供了有益的参考.关键词 核心素养;2023 年高考;三角函数;考查研究一、三角函数的考查要求、地位和作用三角函数作为高中数学的重要知识模块之一,是考查学生综合素养的重要载体,普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订)对三角函数的学习,有如下指引和要求:“可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上,借助单位圆建立一般三角函数的概念,体会引入弧度制的必要性;用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性、单调性和最大(小)值等性质;探索和研究三角函数之间的一些恒等关系;利用三角函数构建数学模型,解决实际问题.”三角函数是高中数学的基础内容和重要内容之一,历来在高考数学中具有重要的地位和作用.三角函数不仅是连接几何与代数的一座桥梁,还是沟通初等数学与高等数学的一条通道.高考数学对三角函数的考查,在考查基础知识和基本方法的基础上,注重化归与转化的思想方法的渗透,注重整体思想的运用,注重与其他知识的综合.三角函数知识具有丰富的实际背景和广泛的应用价值,在其它学科中都有广泛的应用,例如地理学、力学、电磁学等.因此,掌握三角函数的基本知识、性质和应用对于参加高考的学生来说是非常重要的.二、2023 年高考全国卷中三角函数试题的统计分析在当今的教育环境中,学生面临的主要挑战之一就是如何在数学学科中提高自己的理解能力与应用能力.三角函数作为高中数学的重要内容,是解决许多实际问题的关键工具.近年来,高考对三角函数的考查越来越重视.本文将从核心素养的角度出发,深入探讨高考中三角函数的考查重点与方式.笔者选取了 2023 年高考新课标 I 卷、2023 年高考新课标II 卷、2023 年高考全国甲卷文理科和 2023 年高考全国乙卷文理科进行分析(后面简称为“新课标 I 卷、新课标 II 卷、全国甲卷文科、全国甲卷理科、全国乙卷文科和全国乙卷理科”),三角函数试题涉及到如下考点.1.同角三角函数的基本关系式与诱导公式、三角恒等变换:如新课标 I 卷的第 6 题、第 8 题、17 题第(1)问,新课标 II卷第 7 题,全国甲卷理科第 7 题,全国乙卷文科第 14 题;2.三角函数的图象与性质:如新课标 I 卷的第 15 题,新课标 II 卷第 16 题,全国甲卷理科第 21 题,全国乙卷理科第 6题、第 10 题、第 12 题,全国乙卷文科第 10 题、第 11 题;是高考的热点考点,也是必考题,这类题考查学生非常注重考查学生的计算能力,因此在高三后期复习中,可以让学生掌握一些计算技巧.比如椭圆与直线联立到韦达定理消元化简过程中一般都是含有参数的,如果熟悉硬解定理可以直接写出所需要的韦达定理.以下试题供读者练习1.已知椭圆x29+y25=1 的左右顶点为 A,B,右焦点为 F,设过点 T(t,m)的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中 m 0,y1 0,y2 0,设 t=9求证:直线 MN 必过 x 轴上一定点(其坐标与 m 无关)2.椭圆 x2+y24=1 短轴的左右两个端点分别为 A,直线l:y=kx+1与x轴,y 轴分别交于两点E,F,交椭圆于两点 C,D.设直线 AD,CB 的斜率为 k1,k2,若 k1:k2=2:1,求 k 的值.3.设 A,B 为椭圆x24+y2=1 的左右顶点,直线 l:y=kx+m 交椭圆于 C,D 两点,直线 AC 的斜率数直线BD 的斜率的 3 倍.若 p 为椭圆上异于 A,B 的一点,证明直线 PA,PB 的斜率之积为常数.证明:直线 CD 过定点.参考答案:1.定点(1,0).2.k=3.3.(1)14,(2)定点(1,0).参考文献1 魏欣.2019 年高考北京卷理科第 18 题的探究与推广 J.中学数学,2020(1):3-6.2 刘刚.2019 年高考全国 II 卷解析几何试题的探究与推广 J.中学数学研究(华南师范大学版),2020(01):7-10.