一道2024届福建省圆锥曲线调研试题的探究.pdf

2024 年第 1 期(上半月刊)中学数学研究35一道 2024 届福建省圆锥曲线调研试题的探究贵州师范大学数学科学学院(550025)徐凤旺成 敏摘要本文以一道 2024 届福建省高三第一次调研考试的圆锥曲线试题为研究对象,对试题给出常规思路解法,并探究试题的本质,基于试题的解答过程对其结论进行一般性的推广,得到圆锥曲线中几个一般性的结论.关键词 圆锥曲线;面积;定点;探究1.试题呈现与解析题目(2024 届福建省高三第一次调研考试试题)过椭圆x24+y23=1 的右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB、CD,弦AB、CD 的中点分别为 M、N 两点.(1)求证:直线 MN 必过定点 E,并求出这个定点 E 的坐标;(2)若弦 AB、CD 的斜率均存在,求 FMN 面积的最大值.分析这是 2024 届福建省高三第一次调研考试的圆锥曲线压轴题,此题有两个问.其中,第(1)问是直线过定点问题,定点、定值问题是高考圆锥曲线试题中常考的热点问题之一;第(2)问是求三角形面积的最值问题.此题内涵丰富,具有一定的探究价值,下面首先将对试题进行解答,然后得出圆锥曲线中几个一般性的结论.证明(1)由已知可得 a2=4,b2=3,所以 c2=1,即F(1,0).1当直线 AB、CD 的斜率均存在时,设直线 AB的斜率为 k,则直线 CD 斜率为 1k.设点 M(xM,yM),N(xN,yN),则直线 AB 的方程为 y=k(x 1),与椭圆方程联立:y=k(x 1),x24+y23=1,得(3+4k2)x28k2x+4k212=0,所以xM=4k23+4k2,yM=k(xM1)=k(4k23+4k21)=3k3+4k2,即点M(4k23+4k2,3k3+4k2),因为ABCD,所以将点 M 坐标中的 k 换为 1k,同理可得 N(43k2+4,3k4+3k2).当 k2=1 时,kMN=3k4+3k2+3k3+4k243k2+44k23+4k2=7k4(1 k2),此 时 直 线 MN 方 程 为 y+3k3+4k2=7k4(1 k2)(x 4k23+4k2),即 y 0=7k4(1 k2)(x 47),则直线 MN 过定点(47,0).当 k2=1 时,点 M、N 两点的横坐标均为47,直线 MN 的方程为 x=47,也过点(47,0).2当直线 AB 的斜率为 0 或不存在时,直线 MN 的方程为 y=0,也过点(47,0).综上所述,直线 MN 过定点 E(47,0).(2)因 为 直 线 AB、CD 的 斜 率 均 存 在,设 直 线AB 的 斜 率 为 k,则 直 线 CD 斜 率 为 1k,由(1)可 知M(4k23+4k2,3k3+4k2),N(43k2+4,3k4+3k2),直线 MN 过定点 E(47,0),所以 FMN 的面积S=12|EF|yM yN|=12|1 47|3k3+4k23k3k2+4|=314|21k(1+k2)(3+4k2)(3k2+4)|.不妨令 k 0,S=92k(1+k2)(3+4k2)(3k2+4)=92112(k+1k)+1(k+1k).令 u=k+1k 2,由于 g(u)=12u+1u在 2,+)是单调递增函数,所以当 u=2 时,Smax=92112 2+12=949,所以 FMN 面积的最大值为949.评注 第一问求直线过定点问题利用的是常规的求解圆锥曲线问题的通性通法;第二问将 FMN 的面积分成了两个三角形的面积之和,最后通过换元法,引入变量 u,结合函数的单调性,即可求出三角形面积的最值.试题的探究是在给定的椭圆中来进行求解,那么在一般的椭圆中,是否会有类似的结论成立呢?结论是否可以推广呢?下面进行探究.2.结论推广结论 1过椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点 F作两条互相垂直的弦 AB、CD,设弦 AB、CD 的中点分别为M、N.(1)直线 MN 恒过定点 E(a2ca2+b2,0);(2)若直线 AB、CD 的斜率均存在,记 FMN 的面积为 S,则当 a (2+1)b 时,0 S 6b34a;当36中学数学研究2024 年第 1 期(上半月刊)b a (2+1)b 时,0 0),由(1)可知 M(k2a2cb2+a2k2,b2ckb2+a2k2),N(a2cb2k2+a2,b2ckb2k2+a2),MN 经过定点 E(a2ca2+b2,0).所以 FMN 的面积S=12|EF|yM yN|=12|c a2ca2+b2|b2ckb2k2+a2+b2ckb2+a2k2|=b4c2k(k2+1)2(b2k2+a2)(b2+a2k2)=b4c2(k+1/k)2a2b2(k+1/k)2+(a2b2)2.令 u=k+1k,u 2,S=b4c2u2a2b2u2+(a2 b2)2=b4c22a2b2u+(a2 b2)2u设 g(u)=a2b2u+(a2 b2)2u,u 0,得 到 g(u)在(0,a2 b2ab)上是单调递减函数,在(a2 b2ab,+)上为单调递增函数.所以1当a2 b2ab 2 时,即 a (2+1)b,当 u=a2 b2ab,此时 g(u)有最小值为 g(u)min=g(a2 b2ab)=2ab(a2 b2)=2abc2,S=b4c22a2b2u+(a2 b2)2u6b4c22 2abc2=b34a;2当 0 a2 b2ab 2 时,即 b a (2+1)b时,0 S 6b34a;当b a (2+1)b时,0 S 6b4(a2 b2)(a2+b2)2.评注此结论的证明过程中,第(1)问需要考虑直线AB 的斜率存在和不存在的情况;第(2)问中将三角形的面积问题转化为根据函数的单调性求最值问题.将试题中的a2=4,b2=3,c2=1,代入结论 1 中,得出直线 MN 过定点(47,0),由于3 2 0,b 0)的右焦点F 作两条互相垂直的弦 AB、CD,设弦 AB、CD 的中点分别为 M、N,则直线 MN 恒过定点(a2ca2 b2,0).结论 3过抛物线 y2=2px(p 0)的焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB、CD,设弦 AB、CD 的中点分别为 M、N,则直线 MN 恒过定点(3p2,0).评注结论 2 和结论 3 的证明过程与结论 1 中的第(1)问的证明方法类似.其中,只需要将结论 1 中第(1)问的证明过程中的“b2”换为“b2”,结论 2 即可得证.以上的结论都是圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的焦点在 x 轴上的情形,大家不妨可以类比探究圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的焦点在 y 轴上的情形.结束语 一道有意义的数学题的求解,为解决此题所花的努力和由此得到的结论和见解,能够帮助我们对问题本质的把握,提高分析问题和解决问题的能力1.在每一年的高考试题中,很多的圆锥曲线试题的内涵比较丰富,值得我们对此进行深入的探究.在教学的过程中,要注重试题的通性通法的讲解,争取达到“做一题,会一类”的教学效果.参考文献1 林国红.一道圆锥曲线竞赛试题的推广探究 J.数学通讯,2022,(04):44-45+55.