1、定义：已知平面上两点A,B,则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则P点的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。
解题策略：利用两边成比例且夹角相等构造相似三角形（简称美人鱼相似）
“阿氏圆”一般解题步骤
第一步:连接动点至圆心0(将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接),则连接0P、OB;
第二步:计算出所连接的这两条线段OP、OB长度;
第三步:计算这两条线段长度的比OPOB=k;
第四步:
2、在0B上取点C,使得OCOP=OPOB;
第五步:连接AC,与圆0交点即为点P.
阿氏圆最值问题例题精讲
例1:问题提出:如图1,在R△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,AC=6.圆C半经为2,P
为圆上一助点,连结AP,BP,求AP+12BP的最小值
尝试解决：为了解块这个间题,下面给出一种解题思路、如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1则有CDCP=CPCB=12,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD~△BCP,
∴PDBP=12，∴PD=12BP,∴AP+12BP=AP+PD
请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+BP的最小值为
3、
自主探索:在“间题提出”的条件不变的情况下,AP+BP的最小值为 。
拓展延伸:已知扇形COD中,∠COD=90°,0C=6,OA=3,0B=5,点P是弧CD上一点,求2A+PB的最小值。
强化训练
向内构造类型
1,如图,已知AC=6,BC=8,AB=10,圆C的半经为4,点D是圆C上的动点,连接AD、BD,则AD+12BD的最小值为 。
2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°AC=4,BC=3,点D为△ABC内一动点,且满足CD=2，则AD+ 23BD的最小值为 。
3、如图,在R△ABC中,∠C=90°,CA
4、3,CB=4.⊙C的半径为2,点P是⊙C上一动点,则AP+12PB的最小值为 。
4、如图,四边形ABCD为边长为4的正方形, ⊙B的半径为2,P是⊙B上一动点,则PD+12PC的最小值为 。2PD+4PC的最小值为 。
5、如图,⊙O的半径为2,PO=10,MO=2,∠POM=90°,Q为⊙O上一动点,则PQ+22QM的最小值为 。
6、如图,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,⊙B的半径为2,P为⊙B上一动点则PD+12PC的最小值为 。
5、
7、如图，点C坐标为(2，,5),点A的坐标为(7,0)，⊙C的半为10,点B在⊙C上一动点,OB+55AB的最小值为 。
8、如图,在面直角坐标系xoy中， A(6，-1)，M(4,4)，M为圆心,22为半径画圆,0为原点,p是⊙M上分动点,则PO+2PA的最小值为 .
9、在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2)、P是△AOB外部的第一象限内一动点,且∠BPA=135°,则2PD+PC的最小值是 .
10、如图,AB为⊙O的直径,AB=2,点C与点D在AB的同侧,且A
6、D⊥AB,BC⊥AB,AD=1,BC=3,点P是⊙O上的一动点,则22PD+PC的最小值为 .
11、在△ABC中,AB=9,BC=8,∠ABC=60°,⊙A的半径为6,P是⊙A上的动点连接PB、PC,则3PC+2PB的最小值为 .
12如图,边长为4的正方形,内切圆记为⊙O,P是⊙O上一动点,则2PA+PB的最小值为 。
13、如图,等边△ABC的边长为6,内切圆记为⊙O,P是⊙O上一动点,则2PB+PC的最小值为 。
14、如图,在△ABC中,∠B=90°，AB=CB=2,以点B为圆心作圆B与AC相切
7、点P为圆B上任一动点,则PA+22 PC的最小值是 。
15、如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,⊙A与BC相切于点E,点P是⊙A上一动点,PB+32PD的最小值为 。
16如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点P是AB上一点,且APBP=m， 点F在以点p为圆心,AP为半径的⊙P上,则CF+mBF的最小值为 。
17、(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+12PC的最小值和PD-12PC的最大值；
(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点求PD+ 23PC的最小值和PD-23PC的最大值；
(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=90°，圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+ 12PC的最小值和PD-12 PC的最大值。
18.如图,在R△ABC中,∠A=30°,AC=8,以C为圆心,4为半径作⊙C。
(1)试判断⊙C与AB的位置关系,并说明理由；
(2)点F是⊙C上一动点,点D在AC上且CD=2,试说明△FCD~△ACF；
(3)点E是AB边上任意一点,在(2)的情况下,试求出EF+ 12FA的最小值.
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