2021年中考数学压轴题题型组合卷(二).doc

2021年中考数学压轴题题型组合卷（二）

2021年中考数学压轴题题型组合卷（二）

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姓名：

中考压轴题·题型组合卷（二）
（满分：30分）
一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）
1.如图，以正方形ABCD的边CD为边向正方形ABCD外作等边△CDE，AC与BE交于点F，则∠AFE的度数是（　 ）

A．135° B．120° C．60° D．45°

2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4．点E为BC边上一动点，连接AE，作∠AEF＝∠B，EF与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点F．当EF⊥AC时，EF的长为　 ．

二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）
3.综合与实践﹣﹣旋转中的数学
问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个矩形为对象，研究相似矩形旋转中的问题：已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，它们各自对角线的交点重合于点O，连接AA′，CC′．请你帮他们解决下列问题：
观察发现：（1）如图1，若A′B′∥AB，则AA′与CC′的数量关系是　 　；
操作探究：（2）将图1中的矩形ABCD保持不动，矩形A′B′C′D′绕点O逆时针旋转角度α（0°＜α≤90°），如图2，在矩形A′B′C′D′旋转的过程中，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
操作计算：（3）如图3，在（2）的条件下，当矩形A′B′C′D′绕点O旋转至AA′⊥A′D′时，若AB＝6，BC＝8，A′B′＝3，求AA′的长．

4.综合与探究
如图，抛物线y＝﹣与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90°得到线段MD，连接CD，BD．设点M运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：

（1）求点A的坐标与直线l的表达式；
（2）①直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时的t的值；
②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；
（3）在点M运动的过程中，在直线l上是否存在点P，使得△BDP是等边三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案
一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）
1.如图，以正方形ABCD的边CD为边向正方形ABCD外作等边△CDE，AC与BE交于点F，则∠AFE的度数是（　　）

A．135° B．120° C．60° D．45°
【分析】易得△ABF与△ADF全等，∠AFD＝∠AFB，因此只要求出∠AFB的度数即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形．
∴AB＝AD，∠BAF＝∠DAF．
∴△ABF与△ADF全等．
∴∠AFD＝∠AFB．
∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB．
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，
∴∠CBE＝15°．
∵∠ACB＝45°，
∴∠AFB＝∠ACB+∠CBE＝60°．
∴∠AFE＝120°．
故选：B．
【点评】此题考查正方形的性质，熟练掌握正方形及等边三角形的性质，会运用其性质进行一些简单的转化．

2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4．点E为BC边上一动点，连接AE，作∠AEF＝∠B，EF与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点F．当EF⊥AC时，EF的长为　1+　．

【分析】当AB＝AC，∠AEF＝∠B时，∠AEF＝∠ACB，当EF⊥AC时，∠ACB+∠CEF＝90°＝∠AEF+∠CEF，即可得到AE⊥BC，依据Rt△CFG≌Rt△CFH，可得CH＝CG＝，再根据勾股定理即可得到EF的长．
【解答】解：如图，当AB＝AC，∠AEF＝∠B时，∠AEF＝∠ACB，
当EF⊥AC时，∠ACB+∠CEF＝90°＝∠AEF+∠CEF，
∴AE⊥BC，
∴CE＝BC＝2，
又∵AC＝2，
∴AE＝4，EG＝＝，
∴CG＝＝，
作FH⊥CD于H，
∵CF平分∠ACD，
∴FG＝FH而CF＝CF，
∴Rt△CFG≌Rt△CFH，
∴CH＝CG＝，
设EF＝x，则HF＝GF＝x﹣，
∵Rt△EFH中，EH2+FH2＝EF2，
∴（2+）2+（x﹣）2＝x2，
解得x＝1+，
故答案为：1+．

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）
3.综合与实践﹣﹣旋转中的数学
问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个矩形为对象，研究相似矩形旋转中的问题：已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′它们各自对角线的交点重合于点O，连接AA′，CC′．请你帮他们解决下列问题：
观察发现：（1）如图1，若A′B′∥AB，则AA′与CC′的数量关系是　AA′＝CC′　；
操作探究：（2）将图1中的矩形ABCD保持不动，矩形A′B′C′D′绕点O逆时针旋转角度α（0°＜α≤90°），如图2，在矩形A′B′C′D′旋转的过程中，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
操作计算：（3）如图3，在（2）的条件下，当矩形A′B′C′D′绕点O旋转至AA′⊥A′D′时，若AB＝6，BC＝8，A′B′＝3，求AA′的长．

【分析】（1）连接AC、A′C′，根据题意得到点A、A′、C′、C在同一条直线上，根据矩形的性质得到OA＝OC，OA′＝OC′，得到答案；
（2）连接AC、A′C′，证明△A′OA≌△C′OC，根据全等三角形的性质证明；
（3）连接AC，过C作CE⊥AB′，交AB′的延长线于E，根据相似多边形的性质求出B′C′，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）AA′＝CC′，
理由如下：连接AC、A′C′，
∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，∠CAB＝∠C′A′B′，
∵A′B′∥AB，
∴点A、A′、C′、C在同一条直线上，
由矩形的性质可知，OA＝OC，OA′＝OC′，
∴AA′＝CC′，
故答案为：AA′＝CC′；

（2）答：（1）中的结论还成立，AA′＝CC′，
理由如下：连接AC、A′C′，则AC、A′C′都经过点O，
由旋转的性质可知，∠A′OA＝∠C′OC，
∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是矩形，
∴OA＝OC，OA′＝OC′，
在△A′OA和△C′OC中，
，
∴△A′OA≌△C′OC，
∴AA′＝CC′；
（3）连接AC，过C作CE⊥AB′，交AB′的延长线于E，
∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，
∴＝，即＝，
解得，B′C′＝4，
∵∠EB′C＝∠B′C′C＝∠E＝90°，
∴四边形B′ECC′为矩形，
∴EC＝B′C′＝4，
在Rt△ABC中，AC＝＝10，
在Rt△AEC中，AE＝＝2，
∴AA′+B′E＝2﹣3，又AA′＝CC′＝B′E，
∴AA′＝．

【点评】本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握旋转变换的性质、矩形的性质是解题的关键．

4.综合与探究
如图，抛物线y＝﹣与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90°得到线段MD，连接CD，BD．设点M运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：

（1）求点A的坐标与直线l的表达式；

（2）①直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时的t的值；
②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；
（3）在点M运动的过程中，在直线l上是否存在点P，使得△BDP是等边三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）当y＝0时，﹣＝0，解方程求得A（﹣3，0），B（1，0），由解析式得C（0，），待定系数法可求直线l的表达式；
（2）分当点M在AO上运动时，当点M在OB上运动时，进行讨论可求D点坐标，将D点坐标代入直线解析式求得t的值；线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小，根据勾股定理可求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；
（3）分当点M在AO上运动时，即0＜t＜3时，当点M在OB上运动时，即3≤t≤4时，进行讨论可求P点坐标．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
由解析式得C（0，），
设直线l的表达式为y＝kx+b，将B，C两点坐标代入得b＝mk﹣﹣．
故直线l的表达式为y＝﹣x+；
（2）当点M在AO上运动时，如图

由题意可知AM＝t，OM＝3﹣t，MC⊥MD，过点D作x轴的垂线垂足为N，∠DMN+∠CMO＝90°，∠CMO+∠MCO＝90°，
∴∠MCO＝∠DMN，
在△MCO与△DMN中，
，
∴△MCO≌△DMN，
∴MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，
∴D（t﹣3+，t﹣3）；
同理，当点M在OB上运动时，如图，

OM＝t﹣3，△MCO≌△DMN，MN＝OC＝，ON＝t﹣3+，DN＝OM＝t﹣3，
∴D（t﹣3+，t﹣3）．
综上得，D（t﹣3+，t﹣3）．
将D点坐标代入直线解析式得t＝6﹣2，
线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小，
∵M在AB上运动，
∴当CM⊥AB时，CM最短，CD最短，即CM＝CO＝，根据勾股定理得CD最小；
（3）当点M在AO上运动时，如图，即0＜t＜3时，

∵tan∠CBO＝＝，
∴∠CBO＝60°，
∵△BDP是等边三角形，
∴∠DBP＝∠BDP＝60°，BD＝BP，
∴∠NBD＝60°，DN＝3﹣t，AN＝t+，NB＝4﹣t﹣，tan∠NBO＝，
＝，解得t＝3﹣，
经检验t＝3﹣是此方程的解，
过点P作x轴的垂线交于点Q，易知△PQB≌△DNB，
∴BQ＝BN＝4﹣t﹣＝1，PQ＝，OQ＝2，P（2，﹣）；
同理，当点M在OB上运动时，即3≤t≤4时，
∵△BDP是等边三角形，
∴∠DBP＝∠BDP＝60°，BD＝BP，
∴∠NBD＝60°，DN＝t﹣3，NB＝t﹣3+﹣1＝t﹣4+，tan∠NBD＝，
＝，解得t＝3﹣，
经检验t＝3﹣是此方程的解，t＝3﹣（不符合题意，舍）．
故P（2，﹣）．
【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角函数，分类思想的运用，方程思想的运用，综合性较强，有一定的难度．