2019-2020年中考数学试卷分类汇编：平面直角坐标系与点的坐标.doc

2019-2020年中考数学试卷分类汇编：平面直角坐标系与点的坐标
一、选择题
1.（2013贵州安顺，3，3分）将点A（－2，－3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（ ）
A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　D．第四象限
【答案】：D．
【解析】A（－2，－3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B为(1,－3), (1,－3)在第四象限.
【方法指导】本题考查了图形的平移变换及各象限内点的坐标特点．先利用平移中点的变化规律求出点B的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B所处的象限．
【易错警示】注意平移中点的变化规律．
2．（2013山东德州12，3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为

A、（1，4） B、（5，0） C、（6，4） D、（8，3）
【答案】 D
【解析】如下图，动点P（0，3）沿所示的方向运动，满足反弹时反射角等于入射角，
到①时，点P（3，0）；到②时，点P（7，4）；到③时，
点P（8，3）；到④时，点P（5，0）；到⑤时，点P（1，4）；到⑥时，点P（3，0），此时回到出发点，继续.......，出现每5次一循环碰到矩形的边.因为2013=402×5+3（2013÷5=402 … 3）.所以点P第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（8，3）.故选D.
【方法指导】本题考查了图形变换（轴对称）与平面直角坐标系规律探索.以平面直角坐标系为背景，融合轴对称应用的点坐标规律的规律探索题，解题关键从操作中前面几个点的坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律.
3．（2013山东日照，6，3分）如果点P（2x+6,x－4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（ ）

【答案】 C
【解析】由点P（2x+6,x－4）在平面直角坐标系的第四象限内，所以，在数轴上表示为C。
【方法指导】本题考查点在平面直角坐标系中的特点从而找到关于x的不等式组，再把这个不等组的解集在数轴上表示。在数轴上表示解集时，就注意什么时候是实点，什么时候是圆圈。
4．（2013广东湛江，6，4分）在平面直角坐标系中，点A(2，－3)在（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D.
【解析】由于点A的横坐标是正数，纵坐标是负数，因此这个点在第四象限。
【方法指导】本题考查了平面直角坐标系中点的分布。对于点（a、b）来说，点位置与坐标的特征的关系：

点的位置
坐标特征
象
限
内
点
点P在第一象限
a＞0，b＞0
点P在第二象限
a＜0，b＞0
点P在第三象限
a＜0，b＜0
点P在第一象限
a＞0，b＜0
坐
标
轴
上
点
点P在x轴正半轴上
a＞0，b＝0
点P在x轴负半轴上
a＜0，b＝0
点P在y轴正半轴上
a＞0，b＝0
点P在y轴负半轴上
a＞0，b＝0
点P在一、三象限角平分线上
a＝b
点P在二、四象限角平分线上
a＋b＝0
5．(2013湖北荆门，10，3分)在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别为O(0，0)，P(4，3)，将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为( )
A．(3，4) B．(－4，3) C．(－3，4) D．(4，－3)
【答案】C
【解析】如图1，过点P作PA⊥x轴于点A，设点A旋转后的对应点为A′，则P′A′＝PA＝3，OA′＝OA＝4，∴点P′的坐标为(－3，4)．故选C．
x
x
O
P
A
P′
A′
图1

【方法指导】在平面直角坐标系中，点(a，b)绕坐标原点O逆时针旋转90°后，所得对应点的坐标为(－b，a)；点(a，b)绕坐标原点O顺时针旋转90°后，所得对应点的坐标为(b，－a)．
6.（2013深圳，7，3分）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为
A．33B． C．D．7
【答案】D
【解析】点关于原点对称的点是，故，则，故D是正确的
【方法指导】考查了坐标平面内点的对称性及有理数的运算。若两个点关于原点对称，则它们的横、纵坐标分别互为相反数，这一特征是解题的关键。
7. (2013湖南邵阳,8,3分)图(二)是我市几个旅游景点的大致位置示意图.如果用(0,0)表示新宁崀山的位置，用(1,5)表示隆回花瑶的位置，那么城步南山的位置可以表示为（　　）
　　A．(2,1)　　B．(0,1)　　C．(－2，－1)　　D．(－2,1)

【答案】：C．
【解析】：建立平面直角坐标系如图，城市南山的位置为（－2，－1）．故选C．
【方法指导】：本题考查了利用坐标确定位置，是基础题，建立平面直角坐标系是解题的关键.
8 (湖南株洲,9,3分)在平面直角坐标系中，点P（1，2）位于第 象限.
【答案】：一
【解析】:因为点A（2，－3）的横坐标是正数，纵坐标是负数，所以点A在平面直角坐标系的第四象限.
【方法指导】：解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负.
9．（2013广东珠海，3，3分）点（3，2）关于x轴的对称点为（　　）

A．
（3，﹣2）
B．
（﹣3，2）
C．
（﹣3，﹣2）
D．
（2，﹣3）

考点：
关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析：
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案．
解答：
解：点（3，2）关于x轴的对称点为（3，﹣2），
故选：A．
点评：
此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10．（2013广西钦州，12，3分）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（　　）

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

考点：
点到直线的距离；坐标确定位置；平行线之间的距离．

专题：
新定义．
分析：
“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．
解答：
解：如图，
∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，
到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，
∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．
故选C．

点评：
本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．
11．（2013贵州安顺，3，3分）将点A（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（　　）
　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：坐标与图形变化-平移．
分析：先利用平移中点的变化规律求出点B的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B所处的象限．
解答：解：点A（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度，得到点B的坐标为为（1，﹣3），
故点在第四象限．
故选D．
点评：本题考查了图形的平移变换及各象限内点的坐标特点．注意平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．　
12．（2013湖北孝感，9，3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　　）

A．
（﹣2，1）
B．
（﹣8，4）
C．
（﹣8，4）或（8，﹣4）
D．
（﹣2，1）或（2，﹣1）

考点：
位似变换；坐标与图形性质．
专题：
作图题．
分析：
根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可．
解答：
解：根据题意得：

则点E的对应点E′的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选D．
点评：
此题考查了位似图形，以及坐标与图形性质，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
13．（2013湖北宜昌，15，3分）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　）

A．
（6，0）
B．
（6，3）
C．
（6，5）
D．
（4，2）

考点：
相似三角形的性质；坐标与图形性质．
分析：
根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
解答：
解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则ABBC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选B．
点评：
本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记判定定理是解题的关键．
14. .（[2013湖南邵阳，8，3分] 图(二)是我市几个旅游景点的大致位置示意图.如果用(0,0)表示新宁崀山的位置，用(1,5)表示隆回花瑶的位置，那么城步南山的位置可以表示为（　　）
　　A．(2,1)　　B．(0,1)　　C．(-2，-1)　　D．(-2,1)

知识考点：坐标的地理位置确定.
审题要津：建立平面直角坐标系来解决此题.
满分解答：解：已知新宁崀山的位置为(0,0)，隆回花瑶的位置为(1,5)，所以以新宁崀山的位置(0,0)为坐标原点建立平面直角坐标系即可得到城步南山的位置（-2，-1）.故选C.
名师点评：解决此题的关键是建立平面直角坐标系.
15．（2013·泰安，11，3分）在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（　　）

　A．（1.4，－1） B．（1.5，2）C．（1.6，1）D．（2.4，1）
考点：坐标与图形变化－旋转；坐标与图形变化－平移．
分析：根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．
解答：解：∵A点坐标为：（2，4），A1（－2，1），
∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（－1.6，－1），
∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，
∴P2点的坐标为：（1.6，1）．故选：C．
点评：此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键．

16．（2013•东营，6，3分）若定义：， ，例如，，则=（ ）
A．B．C．D．
答案：B
解析：由题意得f(2，3)=(－2，－3)，所以g(f(2，－3))=g(－2，－3)=(－2，3)，故选B．

17．（2013·济宁，8，3分）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（　　）

　A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）
考点：轴对称－最短路线问题；坐标与图形性质．
分析：根据轴对称做最短路线得出AE=BE，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．
解答：解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B′点坐标为：（－3，0），AE=4，则BE=4，即BE=AE，∵C′O∥AE，∴B′O=C′O=3，∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．故选：D．

点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题关键．　
18.（2013四川乐山，6，3分）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是，则的值是【 】

A．　 　B． 　　 C．　 　D．

19.（2013四川遂宁，7，4分）将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是（　　）

A．
（﹣3，2）
B．
（﹣1，2）
C．
（1，2）
D．
（1，﹣2）

考点：
坐标与图形变化-平移；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析：
先利用平移中点的变化规律求出点A′的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解．
解答：
解：∵将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，
∴点A′的坐标为（﹣1，2），
∴点A′关于y轴对称的点的坐标是（1，2）．
故选C．
点评：
本题考查坐标与图形变化﹣平移及对称的性质；用到的知识点为：两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；左右平移只改变点的横坐标，右加左减．
．
二、填空题
1．（2013江苏苏州，17，3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且OQ＝OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P，则点P的坐标为( ， )．

【答案】(2，4－2)．
【解析】分析：根据正方形的对角线等于边长的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长，再求出AP，即可得到点P的坐标．
解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴OA=OC=2，OB=2．
∵QO=OC，
∴BQOB－OQ=2－2．
∵正方形OABC的边AB∥OC，
∴△BPQ∽△OCQ．
∴=，即=．
解得BP=2－2．
∴AP=AB－BP=2－（2－2）=4－2．
∴点P的坐标为（2，4－2）．
所以应填2，4－2．
【方法指导】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP的长是解题的关键．
【易错警示】本题是综合题，掌握所用知识不全面而出错．
2. （2013四川雅安，17，3分）在平面直角坐标系中，已知点A(－5，0)，B(5，0)，点C在坐标轴上，且AC+BC＝6，写出满足条件的所有点C的坐标________．
【答案】 (02，)，(0，－2)，(－3，0)，(3，0) (写对2个各得1分，写对3个得2分)
【解析】需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求得点C的坐标；②当点C位于y轴上时，根据勾股定理求点C的坐标．
【方法指导】本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质．解题时，要分类讨论，以防漏解．另外，当点C在y轴上时，也可以根据两点间的距离公式来求点C的坐标．
3．（2013兰州，19，4分）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为 ．

考点：规律型：点的坐标．
专题：规律型．
分析：根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．
解答：解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），
∴AB==5，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，
∵2013÷3=671，
∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
∵671×12=8052，
∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．
故答案为：（8052，0）．
点评：本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．　
4．（2013贵州安顺，17，4分）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为 ．

考点：坐标与图形变化-旋转．
分析：画出旋转后的图形位置，根据图形求解．
解答：解：AB旋转后位置如图所示．
B′（4，2）．

点评：本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心A，旋转方向逆时针，旋转角度90°，通过画图得B′坐标．　
5.（2013陕西，13，3分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．在平面直角坐标第中，线段AB的两个端点的坐标分别为，将线段AB经过平移后得到线段，若点A的对应点为，则点B的对应点的坐标是 ．
考点：点的平移与坐标之间的关系。
解析：点A与对应，从坐标来看是将点A向右平移5个单位后再向上平移1个单位得到，所以点B的坐标也是向右平移5个单位后再向上平移1个单位得
B．比较大小： （填“>”，“=”，“<”）．
考点：科学计算器的使用：数的开方及三角函数值。
解析：按键顺序：易得填“>”

6．（2013贵州省黔东南州，11，4分）平面直角坐标系中，点A（2，0）关于y轴对称的点A′的坐标为　（﹣2，0）　．

考点：
关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析：
根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可以直接写出答案．
解答：
解：点A（2，0）关于y轴对称的点A′的坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
点评：
此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．

三、 解答题
1. （2013福建福州，19，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（－2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是__________个单位长度；
△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是__________；
△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是__________度；
（2）连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数。
B
x
y
O
A
D
C

【思路分析】（1）由点A的坐标为（－2，0），根据平移的性质得到△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD，则△AOC与△BOD关于y轴对称根据等边三角形的性质得∠AOC＝∠BOD＝60°，则∠AOD＝120°，根据旋转的定义得△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB；
（2）根据旋转的性质得到OA＝OD，而∠AOC＝∠BOD＝60°，得到∠DOC＝60°，所以OE为等腰△AOD的顶角的平分线，根据等腰三角形的性质得到OE垂直平分AD，则∠AEO＝90°．
【答案】（1）2；y轴；120；
（2）解：依题意，连接AD交OC于点E
如图，由旋转得OA＝OD，∠AOD＝120°
∵△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°
∴∠COD＝∠AOD－∠AOC＝60°
∴∠COD＝∠AOC
又OA＝OD
∴OC⊥AD
∴∠AEO＝90°
【方法指导】本题是一道综合性基础题，考查了平移、轴对称、旋转、等边三角形、等腰三角形的有关知识．平移、轴对称、旋转前后两图形全等，运用图形变换解答题目时要找准对应点，同时还要注意图形变换的有关性质，如在旋转中对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
2．（2013上海市，21，10分）已知平面直角坐标系（如图6），直线 经
过第一、二、三象限，与y轴交于点，点（2，1）在这条直线上，
联结，△的面积等于1．
（1）求的值；
图6

（2）如果反比例函数（是常量，）
的图像经过点，求这个反比例函数的解析式．

3（2013上海市，24，12分）如图9，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，= 2，．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结，求的大小；
（3）如果点在轴上，且△与△相似，求点的坐标．

2019-2020年中考数学试卷分类汇编：开放性问题
一．选择题

二．填空题
1．（2013•徐州，13，3分）请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：　　　．
考点：中心对称图形．
专题：开放型．
分析：常见的中心对称图形有：平行四边形、正方形、圆、菱形，写出一个即可．
解答：平行四边形是中心对称图形．故答案可为：平行四边形．
点评：本题考查了中心对称图形的知识，同学们需要记忆一些常见的中心对称图形．
2．（2013上海市，15，4分）如图3，在△和△中，点B、F、C、E在同一直线上，BF = CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△≌△，这个添加的条件可以是____________．（只需写一个，不添加辅助线）

3.（2013四川巴中，14，3分）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是　CA=FD　．（只需写出一个）

考点：
全等三角形的判定．
专题：
开放型．
分析：
可选择添加条件后，能用SAS进行全等的判定，也可以选择AAS进行添加．
解答：
解：添加CA=FD，可利用SAS判断△ABC≌△DEF．
故答案可为CA=FD．
点评：
本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一．
4．（2013江西南昌，15，3分）若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程 ．
【答案】x2－5x+6=0
【解析】先确定两条符合条件的边长，再以它为根求作一元二次方程．
【方法指导】本题是道结论开放的题（答案不唯一），已知直角三角形的面积为3（直角边长未定要写一个两根为直角边长的一元二次方程，我们尽量写边长为整数的情况（即保证方程的根为整数），如直角边长分别为2、3的直角三角形的面积就是3，以2、3为根的一元二次方程为；也可以以1、6为直角边长，得方程为.
5．（2013山东菏泽，12，3分）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”. “面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”) .已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是______(写出1个即可).
【答案】或．(写出1个即可).
【解析】1）根据“三线合一”等可知，面径为底边上的高h，；（2）
与一边平行的线段（如图），设DE=x，因为△ADE与四边形
DBCE面积要相等，根据三角形相似性质，有.
解得x=. 综上所述，所以符合题意的面径只有这两种数量关系.
【方法指导】根据规定内容的定义，思考要把边长为2的等边三角形分成面积相等的两部分的直线存在有两种情形：（1）高（中线、角平分线）所在线；（2）与一边平行的线.要把一个三角形面积进行两等份，这样的直线有无数条，都过这个三角形三边中线的交点（重心）.经过计算无数条中等边三角形“面径”长只有上述两种情形.

三．解答题
1.（2013山西，25，13分）（本题13分）数学活动——求重叠部分的面积。
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G。
求重叠部分（△DCG）的面积。
（1）独立思考：请解答老师提出的问题。
【解析】解：∵∠ACB=90°D是AB的中点,
（25题（1））
∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B
∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC
又∵DC=DA,∴G是AC的中点,
∴CG=AC=×8=4,DG=BC=×6=3

∴SDCG=×CG·DG=×4×3=6
（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图(2)，你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗？请写出解答过程。
（25题（2））
【解析】解法一：
∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1
∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°,
∴∠B=∠2,∴∠1=∠2
∴GH=GD
∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°
∴∠A=∠3,∴AG=GD，∴AG=GH
∴点G是AH的中点，
在Rt△ABC中，AB= 10
∵D是AB的中点，∴AD=AB5
在△ADH与△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°,
∴△ADH∽△ACB, ∴=,=,∴DH=,
∴S△DGH＝S△ADH＝××DH·AD=××5=
（25题（2））
解法二：同解法一，G是AH的中点，
连接BH，∵DE⊥AB，D是AB的中点，∴AH=BH，设AH=x则CH＝８-ｘ
在Rt△BCH中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得x=
∴S△ABH=AH·BC=××6=
（25题（2））
∴S△ＤＧＨ=S△ADH=× S△ABH=×=.

解法三：同解法一，∠1=∠2
连接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，∠1=∠2=∠B=∠DCB，△DGH∽△BDC,
作DM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∵D是AB的中点，∠ACB=90°
∴CD=AD=BD，∴点M是AC的中点，∴DM=BC=×6=3
在Rt△ABC中，AB==10，AC·BC=AB·CN，
∴CN＝.
∵△DGH∽△BDC, ∴,
∴=
∴
（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是：如图(3)，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN求重叠部分(△DMN)的面积、
任务：①请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN的面积是
②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图（1）的基础上按顺时针方向旋转）。
（25题（3））
（25题（4））

【答案】①
②注：此题答案不唯一，语言表达清晰、准确得1分，画图正确得1分，重叠部分未涂阴影不扣分。示例：如图，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥BC于点M，DF交AC于点N，求重叠部分（四边形DMCN）的面积。

2．（2013·潍坊，24，13分）如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且，点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线平分四边形的面积，求的值．
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）因为抛物线关于直线x＝1对称，AB＝4，所以A(－1，0)，B(3，0)，
由点D(2，1．5)在抛物线上，所以，所以3a＋3b＝1．5，即a＋b＝0．5，
又，即b＝－2a，代入上式解得a＝－0．5，b＝1，从而c＝1．5，所以．

（2）由（1）知，令x＝0，得c(0，1．5)，所以CD//AB，
令kx－2＝1．5，得l与CD的交点F()，
令kx－2＝0，得l与x轴的交点E()，
根据S四边形OEFC＝S四边形EBDF得：OE＋CF＝DF＋BE，
即
（3）由（1）知
所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为

假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO＝∠NPO，所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1，
所以，………………(1)
不妨设M(xM，yM)在点N(xN，yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上，
则（1）式变为，又yM ＝k xM－2， yN＝k xN－2，
所以（t＋2）(xM ＋xN)＝2k xM xN，……(2)
把y＝kx－2(k≠0)代入中，整理得x2＋2kx－4＝0，
所以xM ＋xN＝－2k， xM xN＝－4，代入（2）得t＝2，符合条件，
故在y轴上存在一点P（0，2），使直线PM与PN总是关于y轴对称．
考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大．
点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。

3．（2013江西南昌，18，6分）先化简，再求值：，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值．
【思路分析】先将分式的分子分母因式分解，再将除法运算转化为乘法运算，约分后得到，可通分得，也可将化为求解．
[解]原式=·+1
=
=．
当x=1时，原式=
【方法指导】本题考查的是分式的化简求值，涉及因式分解，约分等运算知识，要求考生具有比较娴熟的运算技能，化简后要从三个数中选一个数代入求值，又考查了考生的细心答题的态度，这个陷阱隐蔽但不刁钻，看到分式，必然要注意分式成立的条件．
4．（2013山东德州,22,10分）设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”。
（1）数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可）

（2）数表A如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值。

思路分析】1）根据提供信息，理解题目要达到要求，答案不唯一，属于开放题（2）分析各行、各列上数字和情况，同时注意其和要符合非负数（≥0）.
【解】（1）法1：

法2：

（写出一种即可）
（2）每一列所有数之和分别为2,0,-2,0,每一行所有数之和分别为-1,1.
①如果操作第三列，则

则第一行之和为2a-1，第二行这和为5-2a，

2a-1≥0,
5-2a≥0 解得
又∵a为整数，
∴a=1 ，或a=2
②如果操作第一行，

则每一列之和分别为2-2a,2-2a2,2a-2,2a2,

2-2a≥0,
2a-2≥0 解得a=1,此时2-2a2=0, 2a2=2.
综上可知a=1
【方法指导】本题考查了新定义阅读题、分类讨论思想.本题是一道以数列为素材的新定义阅读理解题，解这类题的关键是顺着题意，理解题目的告诉了什么，要做什么？模仿或拓展运用相关知识内容解决. 本题中运用了分类讨论思想，发挥解题的多样性与严谨性.