导数在研究函数中的应用(含标准答案).doc

(完整word)导数在研究函数中的应用(含标准答案)导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳1利用导函数判断函数单调性问题函数f(x)在某个区间(a，b）内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若_ _，则f(x)在这个区间上是增加的 (2)若_ _，则f（x）在这个区间上是减少的 (3）若_ _，则f(x）在这个区间内是常数2利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f（x） (2)在定义域内解不等式f（x）0或f(x)0. （3)根据结果确定f（x)的单调区间3函数的极大值 在包含的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都_点的函数值，称点为函数yf(x）的极大值点，其函数值f（）为函数的极大值4函数的极小值 在包含x0的一个区间(a，b）内，函数yf（x)在任何一点的函数值都_点的函数值,称点x0为函数yf（x）的极小值点，其函数值f()为函数的极小值极大值与极小值统称为_，极大值点与极小值点统称为极值点5函数的最值与导数1函数yf（x）在a，b上的最大值点指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_f(）2函数yf（x)在a，b上的最小值点指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_f（)二、自我查验1函数f(x)xeln x的单调递增区间为() A(0，) B(，0） C（，0）和(0，) DR2若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调增函数,则m的取值范围是_3。函数f(x)的定义域为开区间（a,b)，导函数f(x）在（a，b)内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（) A1个 B2个 C3个 D4个4若函数f（x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a等于() A2 B3 C4 D55。函数的最大值为（ ） A B C D【典型例题】考点一利用导数研究函数的单调性【例1】（2015高考全国卷）已知函数f(x)ln xa(1x)(1）讨论f（x）的单调性;(2）当f(x)有最大值,且最大值大于2a2时，求a的取值范围【变式训练1】已知(1)若时,求曲线在点处的切线方程；(2）若，求函数的单调区间考点二利用导函数研究函数极值问题【例2】已知函数.(1）当时,求函数的极值;(2)求函数的单调区间。【变式训练2】(2011安徽)设f（x),其中a为正实数.当a时，求f（x)的极值点；考点三利用导函数求函数最值问题【例3】已知为实数,。（1）求导数；（2）若，求在上的最大值和最小值。【应用体验】1.函数的单调递减区间为（ ） A B C D2。函数的单调递减区间是（ ） A B C D3。函数的单调递增区间是（ ) A B C D4。设函数，则( ） A为的极大值点 B为的极小值点 C为的极大值点 D为的极小值点5函数的极大值为，那么的值是（ ） A B C D【复习与巩固】A组 夯实基础一、选择题1已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ) A B C D2。函数在处取得极值，则等于（ ) A B C D3。函数(为自然对数的底数)在区间上的最大值是（ ) A.1 B.1 C。e1 D。e1二、填空题4.若函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是_5。若函数在处取得极值，则的值为_。6.函数在上的最小值是_.三、解答题7.已知函数求函数的单调区间8.已知函数（1）若在上单调递减,求实数的取值范围；（2)若，求函数的极小值。B组 能力提升一、选择题1已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A B C D2。若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ) A B C D3.若函数在上有最大值3，则该函数在上的最小值是（ ) A B0 C D1二、 填空题4已知函数f(x）x22axln x，若f（x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_5设x1，x2是函数f(x）x32ax2a2x的两个极值点,若x120 （2)f(x)0,故单调增区间是(0，）答案：A2。解析：f（x）x3x2mx1，f（x)3x22xm。又f（x）在R上是单调增函数，f(x）0恒成立,412m0，即m。答案：3.解析：导函数f（x）的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方,右侧图象在x轴上方的只有一个,故选A.答案:A4.解析：f(x）3x22ax3，由题意知f(3)0，即3(3)22（3）a30,解得a5。答案:D5。A【解析】，令，当时函数单调递增，当时函数单调递减，,故选A.三 典型例题【例题1】（1）f(x)的定义域为(0，），f（x)a。若a0,则f（x)0，所以f（x）在(0，)单调递增若a0，则当x时，f（x）0；当x时，f（x)0.所以f(x)在单调递增，在单调递减(2）由（1）知，当a0时，f（x）在（0，）无最大值；当a0时,f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10。令g(a）ln aa1，则g（a)在(0,)单调递增,g(1)0.于是,当0a1时，g(a）0;当a1时，g(a）0.因此,a的取值范围是（0，1）【变式训练1】（1）当时，切线斜率为,又，切点坐标为，所求切线方程为，即（2)，由，得或.由，得或，由,得函数的单调递减区间为，单调递增区间为和【例题2】（1）当时，令，解得，所以函数在上单调递增；令，解得，所以函数在上单调递减；所以当时取极大值，极大值为，无极小值.（2）函数的定义域为，。 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；当时，令，解得，所以函数在上单调递增；令，解得，所以函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.【变式训练2】解对f(x）求导得f（x）ex。 当a时，若f(x)0, 则4x28x30，解得x1,x2.结合，可知x（,)（，)(，）f(x)00f（x）极大值 极小值所以x1是极小值点，x2是极大值点。【例题3】1）.（2）由得，故，则，由,，故，.【变式训练3】1）当时，函数，在上单调递增，当时,，令，得,所以当时，函数单调递减；当时,，函数单调递增。(2)由（1）可知，当时,函数,不符合题意。当时，在上单调递减，在上单调递增.当，即时，最小值为.解，得，符合题意。当,即时，最小值为，解，得,不符合题意。综上,。应用体验:1.D【解析】函数的定义域为，令，解得，又，所以,故选D。考点：求函数的单调区间。2。A【解析】导数为，令,得，所以减区间为。考点：利用导数求函数的单调区间3。C【解析】,令，解得,所以函数的单调增区间为故选C4.【解析】，由得，又函数定义域为，当时，递减,当时，递增，因此是函数的极小值点故选D考点：函数的极值点5.D【解析】，令可得，容易判断极大值为.考点：函数的导数与极值.复习与巩固A组1。C【解析】由图象可知函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又，且，故考点:利用导数求函数单调性并比较大小2.B【解析】,由题意可得，.故选B.考点：极值点问题。3.D【解析】，令得。又且,所以故选D。考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.4.【解析】由题意得在上恒成立，则,即恒成立.令，则，因为为上的二次函数，所以，则的取值范围是.5。0【解析】，由题意得考点：导数与极值6。【解析】因为，,所以在单调递减，在单调递增,从而函数在上的最小值是.考点：函数的最值与导数.7.【解析】的定义域为,，令,则或（舍去）。当时，递减，当时，递增，的递减区间是，递增区间是考点：利用导数求函数的单调区间8。（1)（2）【解析】（1）函数，则，由题意可得在上恒成立，,时，函数取最小值，（2）当时，令,得，解得或（舍去），即.当时,当时，的极小值为.B组1。D【解析】因为函数在区间上不单调,所以在区间上有零点，由,得,则得，故选D考点：函数的单调性与导数的关系2.C【解析】，当时，所以在上单调递增,在内无极值,所以符合题意;当时，令,即，解得，当时，当时,，所以的单调递增区间为，单调递减区间为,当时原函数取得极大值，当时,原函数取得极小值，要满足原函数在内无极值，需满足，解得.综合得，的取值范围为，故选C。考点:导函数,分类讨论思想。3。C【解析】，当时,或，当时，,所以在区间上函数递增，在区间上函数递减，所以当时，函数取得最大值，则,所以，所以最小值是考点:利用导数求函数在闭区间上的最值。4.解析：由题意知f（x）x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立，max，2a,即a.答案:5。解析:本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法由f(x）3x24axa20得x1，x2a.又x12x2，2a6.答案:（2,6)6.解析：f(x）x2exax，f(x)2xexa，函数f(x）x2exax在R上存在单调递增区间，f（x)2xexa0，即a2xex有解，设g（x）2xex，则g（x)2ex,令g（x)0,解得xln 2,则当x0，g（x）单调递增，当xln 2时,g（x)0，f(x)1。由函数f(x)在定义域上是增函数,得f（x）0,即a2xx2(x1）21（x0）因为（x1）211（当x1时，取等号)，所以a的取值范围是1,)(2)g（x)ex,由(1）得a2时，f(x）x2ln x1，且f(x)在定义域上是增函数，又f(1)0，所以，当x（0，1）时，f(x)0,当x(1，）时，f(x）0.所以，当x(0，1)时,g（x）0，当x(1，)时，g(x)0。故当x1时,g（x)取得最大值e。8.解：（1）当k1时，f（x)（x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xxex2xx（ex2），令f（x)0，得x10,x2ln 2。当x变化时，f(x)，f（x)的变化如下表：x(，0）0（0，ln 2）ln 2(ln 2,）f(x）00f（x）极大值极小值由表可知，函数f(x）的单调递减区间为0，ln 2,单调递增区间为(，0，ln 2，）f(x)的极大值为f（0)1，极小值为f(ln 2)(ln 2）22ln 22.（2)f(x)ex（x1)ex2kxxex2kxx（ex2k)，当x1时，f(x）2，则g（t）et2t,g(t）et2，t2，g(t)0,g(t）在（2，)上单调递增g（t)g(2)e240，g(t）在（2，)上单调递增g(t)g（2）e240。f（k1）0。f（x)在1,）上有且只有一个零点综上，当k0，)时，f(x）在R上有且只有一个零点16