1、个人收集整理 勿做商业用途初三竞赛培训试题4一元二次方程（四）：整数根与有理根1已知k为整数，且关于x的二次方程有两个不等的正整数根，则k = _。2设一元二次方程的两根均为整数，且两根同号,则a = _。3方程 （x a ） (x 8 ） 1 = 0的两个整数根，则a = _。4若p，q都是正整数,方程的两根都是质数，则2p + q = _。5已知p，q为自然数，方程两根都是质数,则p+q = _。6若p是质数，且方程的两根均为整数,则p = _。7设方程的两根均为正整数，若p + q = 28，则=_.8如果a为有理数，要使方程的根总是有理数，则b的值应为_。9设关于x的二次方程当a_时,
2、此方程至少有一个正整数解;当a_时，此方程有两个正整数解;当a_时,此方程有两个负整数解。10对于整系数一元二次方程有有理根的充要条件是_；若a,b，c均为奇数，则方程_，若a,b为偶娄，c为奇数，则方程_，若此方程有有理根p/q（p，q互质)，则p,q，a，c之间必有关系_；若a0且不是完全平方数,则方程有_。C卷一、填空题1若k是自然数，且关于x的二次方程有两个正整数根，则2两个质数p，q恰是整系数方程的两根,则3若二次方程至少有一个整数根,则自然数a = _.4若正整系数二次方程有相异的两个有理根p，q，且pq,又方程与方程有一公共根，则方程的另一根为_.5设a,b，c为三角形ABC的三
3、边，且满足（1）a b c；(2)2b = a + c；（3）则整数b = _.6象棋比赛中每个选手都和其他选手恰好比赛一局，每局赢者得2分，输者得0分，平局各记1分，今有四个同学统计了比赛中全部选手得分总数情况分别是1980、1983、1989、1991，经核实确有一个同学统计无误，这次比赛中有_名选手参加比赛。二、选择题1设p是质数,如果方程的两根均为整则,则（ ）A0 p 10B10 p 20C20 p 30D30 p 0，a，c是关于x的二次方程的两个不等正根，从而解之得b是整数,b0,即b=5。6设共有x名选手参加，依题意可得x是正整数,且大于1，所以x, x 1是两个连续的正整数。
4、不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0，2，6，故得分总数只能是1980，则x(x-1)=1980，解之得（舍去），故共有45名选手参赛。二、选择题1由已知得=为完全平方数，因为p是质数，故p /（p+4580）, p / 4580，但4580=(1）若p=2,则p（p+4580)= 11611非完全平方数，不合；（2)若p=5，则5(5+4580)= 465= 93非完全平方数,不合;（3）若p= 2q,则2q（2q+4580）=2(1+420）= 281=2为完全平方数，故应选C2对于两个方程来说，=45，而5的个位数字只能是9或5，故5的个位数字只能是0或5。故为53的个位数字只
5、能是2，3,7,8之一，而任何一个完全平方数的个位数字只可能是0,1，4，6，9之一，当m，n为整数时，53均不是完全平方数，于是,这两个方程均无有理根，当然它们也均无整数根，故应选B3B4设方程有整数根,则=mn0，=m+n0,故这两个根均为正数。又其中均非负，而2分为两个非负整数和的情况仅有0+2;1+1；2+0.分别可解得 mn的值仅有3个，故选B三、解答题1能被2xy整除，则有=2kxy(k为整数）整理成关于y的二次方程： （1）由题设，此方程有一根为整数，由韦达定理，另一根为满足=2kx故也是整数，因而方程（1）有两个整数根，于是其判别式应为完全平方数。由于x和互质,故必为完全平方数
6、。2设对某个自然数k0，有将此式整理成关于m的一元二次方程，得 （1）因为m为整数,k为自然数，故（1）的判别式必为完全平方数，再设=(p为自然数），则=0 （2)为使方程(2）的根为自然数，须使（2)的判别式为完全平方数，又设（q为自然数），则（q+p）（qp)=920 （3）因为q+pq-p0，q+p与qp同奇偶，即它们均为偶数,从而解之得：把p的值代入（2）求得k的值,再把k值代入(1）可求得m值，从而即得m=-1,2，6，13.即当m=1，2，6，13时,能分解成两个连续自然数之积3设，分别是两个方程的根，先证假设不成立，由知，而，与0矛盾,故又由于c (b - 1) = c b 1 由方程讨论可得
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