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第二节　等差数列
【最新考纲】　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．

1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为ɑn＋1－ɑn＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列ɑ，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做ɑ，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：ɑn＝ɑ1＋(n－1)d，ɑn＝ɑm＋(n－m)d．
(2)前n项和公式：Sn＝nɑ1＋＝．
3．等差数列的性质
已知数列{ɑn}是等差数列，Sn是其前n项和．
(1)若m、n、p、q、k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，则ɑm＋ɑn＝ɑp＋ɑq＝2ɑk．
(2)ɑm，ɑm＋k，ɑm＋2k，ɑm＋3k，…仍是等差数列，公差为kd．
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列．
(4)若数列{ɑn}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)ɑn，S2n＝n(ɑ1＋ɑ2n)＝n(ɑn＋ɑn＋1)．
(5)等差数列的通项公式形如ɑn＝ɑn＋b(ɑ，b为常数)，前n项和公式形如Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，结合函数性质研究等差数列常常可以事半功倍．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)数列{ɑn}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2ɑn＋1＝ɑn＋ɑn＋2.(　　)
(3)等差数列{ɑn}的单调性是由公差d决定的．(　　)
(4)数列{ɑn}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．(2017·郑州一检)等差数列{ɑn}的前n项和为Sn，且S3＝6，ɑ3＝0，则公差d等于(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．－2
解析：依题意得S3＝3ɑ2＝6，即ɑ2＝2，故d＝ɑ3－ɑ2＝－2，选D.
答案：D
3．在等差数列{ɑn}中，ɑ1＝2，ɑ3＋ɑ5＝10，则ɑ7＝(　　)
A．5 B．8 C．10 D．14
解析：法一　设等差数列的公差为d，则ɑ3＋ɑ5＝2ɑ1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，ɑ7＝ɑ1＋6d＝2＋6＝8.
法二　由等差数列的性质可得ɑ1＋ɑ7＝ɑ3＋ɑ5＝10，又ɑ1＝2，所以ɑ7＝8.
答案：B
4．(2015·课标全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{ɑn}的前n项和，若ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝3，则S5＝(　　)
A．5 B．7 C．9 D．11
解析：法一　∵ɑ1＋ɑ5＝2ɑ3，∴ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝3ɑ3＝3，∴ɑ3＝1，
∴S5＝＝5ɑ3＝5，故选A.
法二　∵ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝ɑ1＋(ɑ1＋2d)＋(ɑ1＋4d)＝3ɑ1＋6d＝3，
∴ɑ1＋2d＝1，
∴S5＝5ɑ1＋d＝5(ɑ1＋2d)＝5，故选A.
答案：A
5．(2015·陕西卷)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．
解析：设数列首项为ɑ1，则＝1 010，故ɑ1＝5.
答案：5

一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式．
两个技巧
1．若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，ɑ－2d，ɑ－d，ɑ，ɑ＋d，ɑ＋2d，….
2．若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，ɑ－3d，ɑ－d，ɑ＋d，ɑ＋3d，….
两种思想
1．等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求ɑ1和d.
2．等差数列{ɑn}中，ɑn＝ɑn＋b(ɑ，b为常数)，Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．
四种方法
等差数列的四种判断方法
1．定义法：ɑn＋1－ɑn＝d(d是常数)⇔{ɑn}是等差数列．
2．等差中项法：2ɑn＋1＝ɑn＋ɑn＋2(n∈N*)⇔{ɑn}是等差数列．
3．通项公式：ɑn＝pn＋q(p，q为常数)⇔{ɑn}是等差数列．
4．前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{ɑn}是等差数列．

一、选择题
1．(2017·豫东、豫北十所名校联考(五))已知等差数列{ɑn}中，ɑ5＝13，S5＝35，则公差d＝(　　)
A．－2　　　　B．－1　　　　C．1　　　　D．3
解析：依题意，得解得
答案：D
2．(2015·重庆卷)在等差数列{ɑn}中，若ɑ2＝4，ɑ4＝2，则ɑ6＝(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．6
解析：∵{ɑn}为等差数列，∴2ɑ4＝ɑ2＋ɑ6，∴ɑ6＝2ɑ4－ɑ2，即ɑ6＝2×2－4＝0.
答案：B
3．(2016·陕西八校联考)在等差数列{ɑn}中，ɑ1＝0，公差d≠0，若ɑm＝ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑ9，则m的值为(　　)
A．37 B．36 C．20 D．19
解析：ɑm＝ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑ9＝9ɑ1＋d＝36d＝ɑ37，∴m＝37.故选A.
答案：A
4．(2016·深圳调研)等差数列{ɑn}中，已知ɑ5＞0，ɑ4＋ɑ7＜0，则{ɑn}的前n项和Sn的最大值为(　　)
A．S7 B．S6 C．S5 D．S4
解析：∵∴
∴Sn的最大值为S5.
答案：C
5．(2017·河南三市二调)设Sn为等差数列{ɑn}的前n项和，若ɑ1＝1，ɑ3＝5，Sk＋2－Sk＝36，则k的值为(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
解析：设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得2d＝ɑ3－ɑ1＝4，得d＝2，所以ɑn＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sk＋2－Sk＝ɑk＋2＋ɑk＋1＝2(k＋2)－1＋2(k＋1)－1＝4k＋4＝36，解得k＝8.
答案：A
二、填空题
6．(2015·广东卷)在等差数列{ɑn}中，若ɑ3＋ɑ4＋ɑ5＋ɑ6＋ɑ7＝25，则ɑ2＋ɑ8＝________．
解析：因为等差数列{ɑn}中，ɑ3＋ɑ4＋ɑ5＋ɑ6＋ɑ7＝25，所以5ɑ5＝25，即ɑ5＝5.所以ɑ2＋ɑ8＝2ɑ5＝10.
答案：10
7．若等差数列{ɑn}满足ɑ7＋ɑ8＋ɑ9＞0，ɑ7＋ɑ10＜0，则当n＝________时，{ɑn}的前n项和最大．
解析：由等差数列的性质可得ɑ7＋ɑ8＋ɑ9＝3ɑ8＞0，即ɑ8＞0；而ɑ7＋ɑ10＝ɑ8＋ɑ9＜0，故ɑ9＜0.所以数列{ɑn}的前8项和最大．
答案：8
8．设等差数列{ɑn}的前n项和为Sn，若ɑ1＝－3，ɑk＋1＝，Sk＝－12，则正整数k＝________．
解析：设等差数列{ɑn}的公差为d，由ɑk＋1＝，且Sk＝－12，则－3＋kd＝，且－3k＋k(k－1)d＝12.消去d，
得k＝13
答案：13
三、解答题
9．数列{ɑn}满足ɑ1＝1，ɑ2＝2，ɑn＋2＝2ɑn＋1－ɑn＋2.
(1)设bn＝ɑn＋1－ɑn，证明{bn}是等差数列；
(2)求{ɑn}的通项公式．
(1)证明：由ɑn＋2＝2ɑn＋1－ɑn＋2得
ɑn＋2－ɑn＋1＝ɑn＋1－ɑn＋2，
即bn＋1＝bn＋2.又b1＝ɑ2－ɑ1＝1，
所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)解：由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，
即ɑn＋1－ɑn＝2n－1.
于是 (ɑk＋1－ɑk)＝ (2k－1)，
所以ɑn＋1－ɑ1＝n2，即ɑn＋1＝n2＋ɑ1.
又ɑ1＝1，所以{ɑn}的通项公式为ɑn＝n2－2n＋2.
10．已知等差数列{ɑn}的公差d＞0.设{ɑn}的前n项和为Sn，ɑ1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得ɑm＋ɑm＋1＋ɑm＋2＋…＋ɑm＋k＝65.
解：(1)由题意知(2ɑ1＋d)(3ɑ1＋3d)＝36，
将ɑ1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.
因为d＞0，所以d＝2，从而ɑn＝2n－1，
Sn＝n2(n∈N*)．
(2)由(1)得ɑm＋ɑm＋1＋ɑm＋2＋…＋ɑm＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.
由m，k∈N*知2m＋k－1＞k＋1＞1，
故所以
11．(2014·湖北卷)已知等差数列{ɑn}满足：ɑ1＝2，且ɑ1，ɑ2，ɑ5成等比数列．
(1)求数列{ɑn}的通项公式；
(2)记Sn为数列{ɑn}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
解：(1)设等差数列{ɑn}的公差为d，依题意，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.
当d＝0时，ɑn＝2；
当d＝4时，ɑn＝2＋(n－1)·4＝4n－2，
从而得数列{ɑn}的通项公式为ɑn＝2或ɑn＝4n－2.
(2)当ɑn＝2时，Sn＝2n.显然2n＜60n＋800，
此时不存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立．
当ɑn＝4n－2时，Sn＝＝2n2.
令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0，
解得n＞40或n＜－10(舍去)，
此时存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立，n的最小值为41.
综上，当ɑn＝2时，不存在满足题意的n；
当ɑn＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.