初一数学绝对值典型例题精讲(2).doc

初一数学精讲 ——绝对值
内容概述
第三讲 绝对值

绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。
绝对值的定义及性质
绝对值 简单的绝对值方程
化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）
绝对值几何意义的使用

绝对值的定义及性质

绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。
绝对值的性质：
（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；
a （a＞0）
（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）
-a (a＜0)
（3） 若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；
（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，
且|a|≥-a；
（5） 若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）
（6） |ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）；
（7） |a|=|a|=a；
（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|
[例1]
（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？
（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）
A.a＜0，b＜0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.ab＜0
（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）
A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞b
C. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b，则一定有a=(-b)
（4） 设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？
分析：
（1） 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个
（2） 答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。
（3） 选择D。
（4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9
[巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？
<分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。
[巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）
A.a＞b B.a=b C.a3-x，则x-3≤0，即x≤3。对知识点3的复习巩固
[巩固] 若a＞b，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）
A.a＜0 B.a＞0 C.b＜0 D.b＞0
分析：选择C
[巩固] 设a，b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？
分析：|a-b|≥0，-8-|a-b|≤-8，所以有最大值-8
[例2]
（1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则的值是多少？
（2）若|x+3|+(y-1)=0，求的值
分析：（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，=
（2）由|x+3|+（y-1）=0，可得x=-3，y=1。==-1
n为偶数时，原式=1；n为奇数时，原式=-1
小知识点汇总：（本源 |a|≥0 b≥0）
若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0；
若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0；
若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；
当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0，两个非负数互为相反数时，两者均为0
简单的绝对值方程

【例3】
（1） 已知x是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿
（2） 已知x是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
（3） 已知x是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
（4） 如果x，y表示有理数，且x，y满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x，那么x+y的值是多少？
分析：
（1）4，-4 （2）2，-2， （3）2，-2
（4）x=±5，y=±2，且|x-y|=y-x，x-y≤0；
当x=5，y=2时不满足题意；当x=5，y=-2时不满足题意；
当x=-5，y=2时满足题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。
【巩固】巩固|x|4，|y|=6，求代数式|x+y|的值
分析：因为|x|=4，所以x=±4，因为|y|=6，所以y=±6
当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10； 当x=4，y=-6时，|x+y|=|-2|=2;
当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2； 当x=-4，y=-6时，|x+y|=|10|=10
【例4】
解方程：（1）
（2）|4x+8|=12
（3）|3x+2|=-1
（4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求的值
分析：（1）原方程可变形为：|x+5|=，所以有x5=±，进而可得：x=-，-；
（2）4x+8=±12，x=1，x=-5
（3）此方程无解
（4）|x-1|=2，x-1=±2，x=3，x=-1，|y|=3，y=±3，且x与y互为相反数，所以x=3，y=-3，
【例5】 若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求的值
分析：a与b互为相反数，那么a+b=0。
=
当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4；
当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4；
综上可得=4
化简绝对式

【例6】
（1） 已知a=-，b=-，求的值
（2） 若|a|=b，求|a+b|的值
（3） 化简：|a-b|
分析：（1）原式=
（2）|a|=b，我们可以知道b≥0，当a<0时，a=-b，|a+b|=0；当a≥0时，a=b，|a+b|=2b
（3）分类讨论。
当a-b＞0时，即a＞b，|a-b|=a-b；
当a-b=0时，即a=b，|a-b|=0；
当a-b＜0时，即a＜b，|a-b|=b-a。
【巩固】 化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x≥8）
分析：（1）3.14<π，3.14-π＜0，|3.14-π|=π-314
（2）x≥8，8-x≤0，|8-x|=x-8。
【例7】有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
C
B
0
A

分析：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c）-（c-b）=2b-2c
【巩固】已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|
a
0
c
b

分析：|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a
【巩固】数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||
a

0
b

分析：|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=-（a+b）+（b-a）+b-（-2a）=b
【例8】（1）若a<-b且，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|
（2）若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2|
（3）已知x<00,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值
分析：（1）若a<-b且，a<0,b<0,a+b<0,ab>0
|a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a
(2)因为-2≤a≤0，所以a+2≥0，a-2≤0，|a+2|+|a2|=(a+2)-(a-2)=4
(3)由x<00可得：y<0|z|>|x|,可得：y （2）===-
【例10】若abc≠0，则的所有可能值
分析：从整体考虑：
（1）a，b，c全正，则=3；
（2）a，b，c两正一负，则=1；
（3）a，b，c一正两负，则=-1；
（4）a，b，c全负，则=-3
【巩固】有理数a，b，c，d，满足，求的值
分析：有知abcd<0，所以a，b，c，d里含有1个负数或3个负数：
（1） 若含有1个负数，则=2；
（2） 若含有3个负数，则=-2
【例11】化简|x+5|+|2x-3|
分析：先找零点。x+5=0，x=-5；2x-3=0，x=，零点可以将数轴分成几段。
当x≥，x+5＞0,2x-3≥0，|x+5|+|2x-3|=3x+2；
当-5≤x＜，x+5≥0,2x-3＜0，|x+5|+|2x-3|=8-x；
当x<-5，x+5<0,2x-3，|x+5|+|2x-3|=-3x-2
【巩固】化简：|2x-1|
分析：先找零点。2x-1=0，x=，依次零点可以将数轴分成几段
（1） x<,2x-1<0，|2x-1|=﹣（2x-1）=1﹣2x；
（2） x=，2x-1=0，|2x-1|=0
（3） x>，2x-1>0，|2x-1|=2x-1。也可将（2）与（1）合并写出结果
【例12】求|mm-1+|m-2|的值
分析：先找零点，m=0，m-1=0，m-2=0，解得m=0,1,2
依这三个零点将数轴分为四段：m＜0,0≤m＜1,1≤m＜2，m≥2。
当m<0时，原式=﹣m﹣（m-1）-（m-2）=-3m+3
当0≤m＜1时，原式=m-（m-1）-（m-2）=-m+3
当1≤m＜2时，原式=m+（m-1）-（m-2）=m+1
当m≥2时，原式m+(m-1)+（m-2）=3m-3
绝对值几何意义的应用

|a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离
|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a，b对应数轴上两点间的距离
【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值
分析：由上题可知，本题中的式子值应为x所对应的点分别到3,5,2，-1，-7所对应的点距离和。通过数轴可以看到，当x=2时，五段距离的和有最小值16。这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解：
【小学奥数相关题目】如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？
A
B
C
D
E

分析：我们来分析以下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的哪一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”
题后小结论：
求|x-a|+|x-a|+…+|x-a|的最小值：
当n为奇数时，把a、a、…a从小到大排列，x等于最中间的数值时，该式子的值最小。
当n为偶数时，把a、a、…a从小到大排列，x取最中间两个数值之间的数（包括最中间的数）时，该式子的值最小。
【巩固】探究|a|与|a-b|的几何意义
分析：|a|即为表示a的点A与原点之间的距离，也即为线段AO的长度。
关于|a-b|，我们可以引入具体数值加以分析：
当a=3，b=2时，|a-b|=1； 当a=3，b=-2时，|a-b|=5；
当a=3，b=0时，|a-b|=3； 当a=-3，b=-2时，|a-b|=1；
从上述四种情况分别在数轴上标注出来，我们不能难发现：|a-b|对应的是点A与点B之间的距离，即线段AB的长度。
【巩固】设a、a、a、a、a为五个有理数，满足a< a< a< a< a,求|x- a|+|x- a|+|x a|+|x- a|+|x- a|的最小值
分析：当x= a时有最小值，a+ a- a- a
【例14】设ab>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿
分析：根据题意可得：a=±1，b=-2，c=-3，那么a+b-c=0或2
【例2】 已知(a+b)+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿
分析：因为(a+b)+|b+5|b+5,我们可以知道b+5>0，所以原式可以表示为：(a+b)+b+5=b+5，(a+b)=0，a=-b，又因为|2a-b-1|=0，进而2a-b-1=0，进而2a-b-1=0,3a=1，a=，b=-，ab=-
【例3】 对于|m-1|，下列结论正确的是（ ）
A.|m-1|≥|m| B.|m-1|≤|m| C. |m-1|≥|m|-1 D. |m-1|≤|m|-1
分析：我们可以分类讨论，但那样对于做选择题都过于麻烦了。我们可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要带入正数、负数、0,3种数帮助找到准确答案。易得答案为C。
【例4】 设a，b，c为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|
分析：|a|+a=0，|a|=-a，a≤0；|ab|=ab，ab≥0；|c|-c=0，|c|=c，c≥0。
所以可以得到a≤0，b≤0，c≥0；
|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+（a+b）-（c-b）-（a-c）=b
【例5】 化简：||x-1|-2|+|x+1|
分析：先找零点。x-1=0，x=1，|x-1|-2=0，|x-1|=2，x-1=2或x-1=-2，可得x=3或者x=-1；x+1=0，x=-1；综上所得零点有1.，-1,3，依次零点可以将数轴分成几段。
（1） x≥3，x-1>0，|x-1|-2≥0，x+1>0, ||x-1|-2|+|x+1|=2x-2；
（2） 1≤x<3，x-1≥0，|x-1|-2<0，x+1>0，||x-1|-2|+|x+1|=4；
（3） -1≤x≤1，x-1<0，|x-1|-2<0，x+1≥0，||x-1|-2|+|x+1|=2x+2；
（4） x<-1,x-1<0,|x-1|-2<0,x+1<0, ||x-1|-2|+|x+1|=-2x-2
【例6】 已知有理数a，b，c满足，求的值
分析：对于任意的整数a，有，若，则a，b，c中必是两正一负，则abc<0，=-1
【例7】 若ab，c，d为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d|
分析：从|a-c|=|b-c|我们可以知道，c到a，b的距离都是1，且三者不相等，那么在数轴上就有：
a
c
b
(b)
(a)

因为|d-b|=1，且a，b，c，d为互不相等的有理数，则有：
a
c
b
(b)
(a)
d

显然易得|a-d|=3
练习三

1、|m+3 |+|n-|+|2p-1|=0,求p+2m+3n的值
分析：绝对值为非负数，|m+3 |+|n-|+|2p-1|=0,所以m+3=0，n-=0，2p-1=0，即得m=-3，n=，p=，所以p+2m+3n=-6+3×=5
2、（1）已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y的值为多少？
（2）解方程：|4x-5|=8
分析：（1）x=±2，y=±3，
当x=2，y=3时，不满足x-y＞0；
x=2，y=-3时，满足x-y＞0，那么x+y=-1；
x=-2，y=3时，不满足x-y＞0；
x=-2，y=-3时，满足x-y＞0，那么x+y=-5。
综上可得x+y的值为-1，-5
（2）4x-5=±8，x=，x=-
3、（1）有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|
a
c
0
b

（2）若a＜b，求|b-a+1|-|a-b-5|的值
（3）若a＜0，化简|a-|-a||
分析：（1）a-b＜0，b-c＞0，a+b＜0
|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-（a-b）+（a+b）+（b-c）+c=3b
（2）|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4
（3）|a-|-a||=|a+a|=|2a|=-2a
4、已知a是非零有理数，求的值
分析：若a＞0，那么=1+1+1=3；
若a＜0，那么=-1+11=-1
5、化简|x-1|-|x-3|
分析：先找零点。x-1=0,，x=1；x-3=0，x=3，依照零点可以将数轴分成几段。
（1） x≥3，x-1＞0，x-3≥0，|x-1|-|x-3|=x-1-（x-3）=2；
（2） 1≤x＜3，x-1≥0，x-3＜0 ，|x-1|-|x-3|=x-1+（x-3）=2x-4；
（3） x＜1，x-1＜0，x-3＜0，|x-1|-|x-3|=-（x-1）+（x-3）=-2
6、设a＜b＜c，求当x取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值
分析：|x-a|+|x-b|+|x-c|实际表示x到a，b，c三点距离和，画图可知当x=b时，原式有最小值c-a

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