初一数学七下相交线与平行线所有知识点总结和常考题型练习题.doc

相交线与平行线知识点
1、邻补角与对顶角：两直线相交所成的四个角中存在两种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
1
2

∠1与∠2
有公共顶点

∠1的两边与∠2的两边
互为反向延长线
对顶角相等

即∠1=∠2
邻补角
4
3

∠3与∠4
有公共顶点

∠3与∠4有一条边公共，
另一边互为反向延长线。
邻补角互补
∠3+∠4=180°
注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
⑵ 如果∠α与∠β是 对 顶角，则一定有∠α=∠β； 反之如果∠α = ∠β， 则∠α与∠β不一定是对顶角.
⑶ 如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°； 反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.
⑷ 两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
⑸ 两线四角：经过一点画m条直线，共有m ( m-1) 对 对顶角，共有2m ( m-1) 对邻补角。
2、垂线定义: 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O.
垂直定义有以下两层含义： （1） ∵∠AOC=90°（已知）， ∴AB⊥CD（垂直的定义）．
（2） ∵AB⊥CD（已知）， ∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．
3、垂线性质: 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
4、垂线的画法：过直线外一点画已知直线的垂线：
以点P为圆心,任意长为半径,画弧,交直线于两点（如图）,分别以这两点为圆心,大于两点间距离的1/2长为半径,画弧,两弧交与一点.连接p与该点,并延长与直线相交即可.
5、垂线段的概念：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段。
6、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
7、正确理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近又相异的概念：
⑴垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。
⑵两点间距离与点到直线的距离区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。
⑶线段与距离：距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。
8、平行线的概念： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥。
9、两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
10、平行公理：（平行线的存在性与唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
11、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
如图所示，∵∥，∥∴∥
12、三线八角：两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图，直线被直线所截：
①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，叫做同位角（位置相同）
②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）
③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。
④三线八角也可以从模型中看出。同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。
13、两直线平行的判定方法:
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简称：同位角相等，两直线平行
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简称：内错角相等，两直线平行
③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：∵ ∠3＝∠2 ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵ ∠1＝∠2 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠4＋∠2＝180° ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
14、平行线的性质：两条直线被第三条直线所截，
性质1：两直线平行，同位角相等；几何符号语言：∵AB∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
性质2：两直线平行，内错角相等； ∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
性质3：两直线平行，同旁内角互补。∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
15、平行线的性质与判定的区别和联系：平行线的性质与判定是互逆的关系:
两直线平行 同位角相等；两直线平行 内错角相等；两直线平行 同旁内角互补。

16、两条平行线的距离：如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。
注意：直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。
17、命题：①命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。每个命题都是题设、结论两部分组成。
命题常写成“如果…那么…”的形式。用“如果”开始的部分是题设，题设是已知事项；
用“那么”开始的部分是结论，结论是由已知事项推出的事项。
②真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题；③假命题：如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题。
18、定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理.
19、平移变换：
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。
20、 平移的特征：
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。
②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

相交线与平行线练习
一、选择题
1. 下列正确说法的个数是（ ）
①任意两个同位角相等 ②任意两个对顶角相等
③等角的补角相等 ④两直线平行，同旁内角相等
A . 1， B. 2， C. 3， D. 4
2. 下列说法正确的是（ ）
A.两点之间，直线最短；
B.过一点有一条直线平行于已知直线；
C.和已知直线垂直的直线有且只有一条；
D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
3. 下列图中∠1和∠2是同位角的是（ ）
A. ⑴、⑵、⑶， B. ⑵、⑶、⑷， C. ⑶、⑷、⑸， D. ⑴、⑵、⑸

4. 如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
5. 两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线 ( )
A.互相重合 B.互相平行 C.互相垂直 D.无法确定
6. 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。下列图案中，不能由一个图形通过旋转而构成的是（ ）
A
B
C
D

7. 三条直线相交于一点，构成的对顶角共有（ ）
A、3对 B、4对 C、5对 D、6对
8. 如图，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

9. 如图6，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝12，BC＝24，AC＝18，则△AMN的周长为（ ）。
A、30 B、36 C、42 D、18
10. 如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=（ ）度．
A．70 B．65 C．60 D．55
二、填空题
1. 一个角与它的补角之差是20º，则这个角的大小是 .
2. 时钟指向3时30分时，这时时针与分针所成的锐角是 .
3. 如图②，∠1 = 82º，∠2 = 98º，∠3 = 80º，则∠4 = 度.
4. 如图③，直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD = 28º，则∠BOE = 度，∠AOG = 度.
5. 如图④，AB∥CD，∠BAE = 120º，∠DCE = 30º，则∠AEC = 度.

6. 把一张长方形纸条按图⑤中，那样折叠后，若得到∠AOB′= 70º，则∠OGC = .
7. 如图⑦，正方形ABCD中，M在DC上，且BM = 10，N是AC上一动点，则DN + MN的最小值为 .
8. 如图所示，当半径为30cm的转动轮转过的角度为120°时，则传送带上的物体A平移的距离为 cm 。

9. 如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠C＝27°则∠E的度数为__________.

10. 如图10，在△ABC中，已知∠C=90°，AC＝60 cm，AB=100 cm，a、b、c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行. 若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72 cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是_ ．
三、解答题
1. 如图，直线a、b被直线c所截，且a//b，若∠1=118°，求∠2为多少度?

2. 已知一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90°，求这个角的度数等于多少？

4. 如图,已知∠1+∠2+180°,∠DEF=∠A,试判断∠ACB与∠DEB的大小关系,并对结论进行说明.

4. 如图，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E。
（1）若∠EDA=40°，∠BCD =2∠ACD，求∠CDB的度数。
（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由

5. 如图（a）示,五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地示意图,经过多年开垦荒地,现已变成图（b）所示的形状,但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图（b）中折线CDE）还保留着.张大爷想过E点修一条直路,直路修好后,要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多,右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.请你用有关知识,按张大爷的要求设计出修路方案.（不计分界小路与直路的占地面积）
 (1)写出设计方案,并在图中画出相应的图形;(2)说明方案设计理由.

(a) (b)