初三数学相似三角形典型例题(含标准答案).docx

初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍：1. 比例线段的有关概念：12 / 12在比例式abc (a： bc：d )中， a、 d叫外项， db、c叫内项，a、c叫前项，b、d 叫后项， d 叫第四比例项，如果b=c，那么 b 叫做 a、 d 的比例中项。2把线段 AB分成两条线段AC和 BC，使 AC=ABBC，叫做把线段AB 黄金分割， C叫做线段 AB的黄金分割点。2. 比例性质：基本性质：acbd合比性质：acbdadbcabcd bd等比性质：acbdm (bdnn 0)acma bdnb3. 平行线分线段成比例定理：定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1 l 2 l 3 。AB则 BCDE ， AB EFACDE ， BC DFACEF ，DF推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4. 相似三角形的判定：两角对应相等，两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例 1.（1）在比例尺是1：8000000 的中国行政区地图上，量得A、B 两城市的距离是 7.5 厘米，那么A、B 两城市的实际距离是 千米。（ 2）小芳的身高是1.6m，在某一时刻，她的影子长2m，此刻测得某建筑物的影长是18 米，则此建筑物的高是 米。解： 这是两道与比例有关的题目，都比较简单。（ 1）应填 600（ 2）应填 14.4 。例 2.如图，已知DE BC，EF AB，则下列比例式错误的是： A. ADAEABACCEEAB.CFFBC. DEADBCBDD. EFCFABCB分析： 由DE BC，EF AB 可知， A、B、D都正确。而不能得到DEBCAD ，BD故应选 C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截线， C中DE 很显然是两平行线段的比，因此应是利用三角相似后对应边成比BC例这一性质来写结论，即DEBCADAEABAC例 3.如图，在等边ABC中， P 为 BC上一点， D 为 AC上一点，且APD=60 ，BP1， CD2 ，求3ABC的边长解： ABC是等边三角形 C= B=60又 PDC= 1+ APD=1+60 APB= 1+ C= 1+60 PDC= APB PDC APB PCCDABPB设 PC=x， 则 AB=BC=1+x2x 1x3 ， x2，1 AB=1+x=3。 ABC的边长为3。例 4.如图：四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a 的正方形，（ 1）求证： AEF CEA（ 2）求证： AFB+ ACB=45分析： 因为 AEF、 CEA有公共角 AEF故要证明 AEF CEA只需证明两个三角形中，夹AEF、 CEA的两边对应成比例即可。证明：（ 1）四边形ABEG、GEFH、HFCD是正方形 AB=BE=EF=FC=，a ABE=90AE2a， EC2a AEEF2a2， EC2a2aAE2a AEECEFAE又 CEA= AEF CEA AEF（ 2） AEF CEA AFE= EAC四边形ABEG是正方形 ADBC， AG=G，E AGGE ACB= CAD， EAG=45 AFB+ ACB= EAC+CAD= EAG AFB+ ACB=45例 5.已知： 如图， 梯形 ABCD中，AD BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行， 交 AB 于 E， 交 CD 于 F求证： OE=OF证明： AD EFBCOE BCAE ， OEEBABADABOEADAEABEBABABAB11AD 1OE 11BCADOF OEBC1BC同理：11OEOF1 OE=OF从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论： AD EF BC111ADBCOE AD EF BCOEOF1 EF2 AD EF BC11112即112ADBCOE1 EFOF2ADBCEF这是梯形中的一个性质，由此可知，在AD、BC、EF 中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。例 6.已知：如图，ABC中， ADBC于 D，DE AB 于 E， DF AC于 F求证：AEACAFAB分析： 观察 AE、AF、AC、 AB在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代换，通过ABD ADE ，可得：ABADAD ，于是得到AEAD 2AEAB，同理可得到AD 2AFAC，故可得：AEABAFAC，即AEACAFAB证明： 在 ABD和 ADE中， ADB= AED=90 BAD= DAE ABD ADE ABADADAE2 AD=AEAB同理： ACD ADF2可得： AD=AFAC AEAB=AFAC AEACAFAB例 7.如图，D 为 ABC中 BC边上的一点， CAD= B，若 AD=6，AB=8，BD=7，求 DC的长。分析： 本题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角”的基本图形，我们可以由基本图形中得到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决。解： 在 ADC和 BAC中 CAD= B， C= C ADC BAC ADDCAC ABACBC又 AD=6， AD=8， BD=7 DCACAC37DC4DC3即AC4AC3解得： DC=97DC4例 8.如图，在矩形ABCD中， E 是 CD的中点， BE AC于 F，过 F 作 FG AB交 AE于 G，2求证： AG=AFFC证明： 在矩形 ABCD中， AD=BC， ADC= BCE=90又 E 是 CD的中点， DE=CE Rt ADE Rt BCE AE=BE FGAB AEAGBEBF AG=BF在 Rt ABC中， BF AC于 F Rt BFC Rt AFB AFFBBFFC2 BF =AFFC2 AG=AFFC例 9.如图，在梯形ABCD中， AD BC，若 BCD的平分线CH AB 于点 H， BH=3AH，且四边形 AHCD的面积为21，求 HBC的面积。分析： 因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解： 延长 BA、CD交于点 P CHAB， CD平分 BCD CB=CP，且 BH=PH BH=3AH PA：AB=1： 2 PA：PB=1： 3 ADBC PAD PBCS PAD ： S PBC1： 9 SPCH12 SPBC S PADS四边形 AHCD2： 7 S四边形 AHCD21S PAD6 SPBC S HBC541 S2PBC27a2b9一、填空题1. 已知2ab5 ， 则 a：b 2. 若三角形三边之比为3： 5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，则其余两边之和是 cm3. 如图， ABC中， D、E 分别是 AB、AC的中点， BC=6，则 DE= ； ADE与ABC的面积之比为： 。4. 已知线段a=4cm， b=9cm，则线段a、 b 的比例中项c 为 cm。5. 在 ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC 上， DE BC，如果AD=8， DB=6， EC=9，那么AE= 6. 已知三个数1， 2，3 ，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是7. 如图，在梯形ABCD中， ADBC， EFBC，若AD=12cm， BC=18cm， AE： EB=2：3，则 EF= 8. 如图， 在梯形 ABCD中，AD BC， A=90， BD CD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：二、选择题1. 如果两个相似三角形对应边的比是3： 4，那么它们的对应高的比是 A. 9：16B.3 ： 2C. 3： 4D. 3 ： 72. 在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a 厘米， 宽 b 厘米的矩形工业园区，该园区2的实际面积是 米10 4 mA.ab104 m2B.ababmC.104abm 2D.1043. 已知，如图，DE BC，EF AB，则下列结论：AEBEECFCADAB BFBC EFDEABBCCEEA CFBF其中正确的比例式的个数是 A. 4个B. 3个C. 2个D. 1 个4. 如图，在 ABC中， AB=24， AC=18，D 是 AC上一点， AD=12，在 AB上取一点E， 使 A 、D、E 三点为顶点组成的三角形与ABC相似，则AE的长是 A. 16B. 14C. 16或 14D. 16或 95. 如图，在Rt ABC中， BAC=90 ， D是 BC的中点， AEAD，交 CB的延长线于点E， 则下列结论正确的是 A. AED ACBB. AEB ACDC. BAE ACED. AEC DAC三、解答题：1.如图， AD EG BC， AD=6， BC=9， AE： AB=2： 3，求 GF的长。2. 如图， ABC中， D是 AB上一点，且AB=3AD， B=75， CDB=60 ，求证： ABC CBD。3. 如图， BE为 ABC的外接圆O的直径， CD为 ABC的高，求证： ACBC=BECD4. 如图， Rt ABC中， ACB=90 ， AD平分 CAB交 BC于点 D，过点 C 作 CEAD于E， CE的延长线交AB于点 F，过点 E 作 EG BC交 AB于点 G，AEAD=16， AB45 ，（1）求证： CE=EF（2）求 EG的长 参考答案 一、填空题：1. 19： 132. 243. 3 ；1： 44. 65. 126.只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如：22 、2 等 。27. 14.48.166二、选择题：1. C2. D3. C4. D5. C三、解答题：1. 解： ADEG BCEGAE在 ABC中，有BCABEFBE在 ABD中，有ADABAE： AB=2： 3BE： AB=1： 3EG23BC， EF1 AD3BC=9， AD=6EG=6， EF=2GF=EG EF=42. 解： 过点 B 作 BE CD于点 E， CDB=60 ， CBD=75 DBE=30 ，CBE= CBD DBE=75 30=45 CBE是等腰直角三角形。AB=3AD，设 AD=k，则 AB=3k， BD=2kDE=k， BE3k BC6k BD2k2 ，BC6k3BC6k2AB3k3 BDBCBCAB ABC CBD3. 连 结 EC， BCBC E= A又 BE 是 O的直径 BCE=90又 CD AB ADC=90 ADC ECB ACCDEBBC即 ACBC=BE CD4. （ 1） AD平分 CAB CAE=FAE又 AE CF CEA=FEA=90又 AE=AE ACE AFE（ ASA） CE=EF（2） ACB=90 ， CE AD， CAE= DAC CAE DAC ACAD ACAE AC2AEAD16在 Rt ACB 中BC 2AB 2AC 2(45 ) 21664 BC8又 CE=EF， EG BCFG=GBEG是 FBC的中位线 EG1 BC42