第讲：不等式的证明.doc

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（聚焦2008四川高考)第21讲:不等式的证明
一、知识梳理
不等式的证明

基本方法

比较法
作差比较法
作商比较法

综合分析法
综合法
分析法

其他方法

反证法
放缩法和最值法

判别式法
向量法
数学归纳法
构造函数法
整体换元

换元法
三角换元
均值换元
增量换元
证不等式的精髓是具体问题具体分析
（一）知识框图

（二）重点难点
重点:（1)作差、作商比较法；（2)综合法和分析法；（3）其他方法的简单应用.
难点：（1）分析法的灵活应用；（2)放缩法的技巧性.
二、 点解读与例（考)题
（一）比较法
（1）作差比较法
要证明不等式a＞b只要证明a－b>0;或要证明不等式a＜b，只要证明a－b＜0即可,其步骤为：
作差→变形（常用的变形方法有:通分，因式分解，配方等)→判断（各因式大于或小于0）。
（2）作商比较法
当要证明的不等式两端均为正数且是乘积形式或幂指数形式时可以采用作商比较法,其步骤是：
作商→变形（常用的变形方法有：通分，因式分解,配方等)→判断（大于或小于1）.
①若a＞0，b＞0且＞1，则依据不等式的性质可得a＞b。
②若a＜0，b＜0,可依据①转化为－a与－b比较，则可比较a与b的大小。
作差比较法的目的是出现0；作商比较法的目的是出现1。而且无论是作差比较法还是作商比较法，其变形是关键。
【例1】(1）若a＞0，b＞0，求证：+≥+。
（2）若a，b∈R+,且a+b=1，求证:ax2+by2≥（ax+by)2。
注：当a=b=时,不等式即为（x2+y2）≥（）2。
【例2】已知a、b、c都是正数，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥.
【分析1】由a2+b2+c2≥得3（a 2+b2+c2)≥1，于是
3(a2+b2+c2)－1=3（a2+b2+c2）－（a+b+c）2=（a－b）2+（b－c)2+（c－a）2≥0。
【分析2】由a+b+c=1得（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，由a2+b2≥2ab，a 2+ c2≥2ac,b2+c2≥2bc，于是
1=（a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+ (a2+b2）+ （b2+c2）+ （a2+c2)=3（a2+b2+c2），从而a2+b2+c2≥。
【例3】(1）比较1618与1816的大小。
分析：=＜1。
（2）已知a、b是不等的正数，试比较与。
由得，当时，；当，，综上得。
（3)已知,求证:a2ab2bc2c＞ab+cba+cca+b。
分析1：直接利用作比法进行证明原等式即可;原不等式a2ab2bc2c＞ab+cba+cca+b即为 =a2a－b－cb2b－c－ac2c－a－b=aa－b+a－cbb－c+b－acc－a+c－b，于是就有。
分析2：直接证明原等式，难以下手,如果从结论整体结构特征出发,把它分解为证明：aabb＞abba、aacc＞acca 、bbcc＞bccb ，这三个不等式，从而结论易于证明。
问题：已知a、b是不等的正数,试比较与。
由得,当时，；当,,综上得。(若从此问题去看例1将会更佳)。
【例4】已知，试比较与。
由得，，于是

【思考题】已知,求证： ≥.
证明：≥，于是若不等式≥成立，则原不等式成立，于是
===≥1，于是原不等式成立。
（二）综合法
利用已知或已证的不等式为基础。并利用不等式的性质推出所需证明的不等式（由因导果)，这种由因索果的方法，称为综合法.
综合法是证明不等式的一种最基本、最常用方法。它往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际证题时,往往利用分析法分析，再用综合法进行书写。
(1）若a，b∈R，则｜a｜≥0，a2≥0，（a－b）2≥0.
(2)若a，b同号,则+≥2。
(3)平方和不等式：若a，b∈R，则a2+b2≥(a+b）2.
（4)重要不等式：若a，b∈R+，则≥；若a，b∈R，则a2+b2≥2ab。
（5）倒数和不等式：若a,b∈R+，则(a+b）（+）≥4。
【例5】若x，y，z∈R,a，b,c∈R+，求证：x2+y2+z2≥2（xy+yz+zx)。
【例6】已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：（－1）(－1）（－1）≥8.
【分析】由a，b，c∈R+，且a+b+c=1，得
－1=－1=≥＞0,同理－1≥＞0，－1≥＞0，当且仅当a=b=c=。从而不等式得证。
【例7】已知a，b,c∈R+且互不相等abc=1,求证：++≤++.
（2）已知a，b，c均为正数，求证：2（a3+b3+c3）≥a2(b+c）+b2（c+a）+c2(a+b）。
【分析】（1）问题本质:将含有根号的式子向不含有根号的式子转化或向左转化。
【分析1】由a，b，c∈R+且互不相等abc=1得，
++=++
＜++=++.
【分析2】由a，b，c∈R+且互不相等abc=1得,
++=bc+ac+ab=++
＞++。
（三）分析法
从被证不等式出发，逐步地探索使不等式成立的充分条件，直到追溯到这个充分条件明显成立为止，从而可断定原不等式成立,这种证明方法叫做分析法。
分析法的思维是逆向思维，它能增大思维的发散量，克服思维定势的消极影响，有利于发展求异思维。
综合法证明不等式是“由因索果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题的思路，而综合法便于叙述，因此注意两种方法在解题中的联合运用。
【例8】已知a，b∈R,且a≠b,求证:｜－|＜｜a－b|。
【例9】已知a，b∈R+，且a+b=1，求证：（a+）（b+）≥。
策略：(a+)（b+）≥ab+++≥4a2b2+4（a2+b2）+4≥25ab且a2+b2=（a+b）2－2ab4a2b2－33ab+8≥0.
（四）反证法
反证法证明不等式实质：从否定结论出发,通过逻辑推理,导出与已知条件或定理或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立.
利用反证法证明不等式应把握三点：
（1）必须先否定结论,即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出可能结论，缺少任何一种可能,反证都是不完全的。
（2）反证法必须从否定结论进行逻辑推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面进行推理，就不是反证法.
（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾、有的与假设矛盾、有的与已知事实相违背等等,推导出的矛盾必须是明显的.
【例10】设a,b，c，d都是正数,求证：下列三个不等式：
a+b＜c+d(1）（a+b）（c+d）＜ab+cd(2)(a+b）cd＜ab（c+d）(3）至少有一个不正确。
（五）换元法(换元法是数学中的基本方法）
换元法是指对结构较为复杂、量与量之间的关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量,代换原命题中的部分式子，简化原有结构,使其转化为便于研究的形式。
(1）三角代换
使用条件：多用于条件不等式且一个变量不易用另一个变量来表示，此时可用三角代换,将两个变量用同一个参数表示,从而将代数问题转化为三角问题
理论依据:|sinx｜≤1,｜cosx|≤1。
常见代换：
①若x2+y2=1，则x=cosα，y=sinα。
推广：若x2+y2=R2，则x=Rcosα，y=Rsinα。
②若x2+y2≤1,则x=rcosα，y=rsinα（｜r｜≤1).
推广：若x2+y2≤R2，则x=rcosα，y=rsinα（r≤R）。
③若,则由根号有意义得｜x｜≤1且|sinx|≤1或|cosx｜≤1，可令x=cosα。
推广：若,则由，可令x=Rcosα。
④若xyz=x+y+z且tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，则x=tanA，y=tanB,z=tanC（A+B+C=π）。
⑤若与，则由sec2α－tan2α=1,csc2α－cot2α=1，可令x=Rtanα,x=Rsecα。
⑥若｜x|≤1，则x=cosα或x=sinα。
【例11】已知a＞b＞c，求证：+≥。
【证明】由a＞b＞c，得a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，于是令a－b=x，b－c=y，则a－c=x+y，于是原不等式转化为+≥,即
证明不等式（+)（x+y)≥4，即2++≥4，此不等式成立.
故原不等式成立。
【例12】已知a，b∈R+，且a+b=1，求证:a4+b4≥.
策略1：令a=cos2α，b=sin2α且α∈(0，）,于是可以证明。
策略2（增量代换)：令a=+t，b=－t且t∈（－，）。
【例13】若0＜x＜1，证明：+≥（a+b)2。
策略1:依题意令x=cos2α且α∈（0，)。
策略2：利用1=x+（1－x）进行整体代换。于是
+=+=+= a2+b2++≥a2+b2+2ab=（a+b）2.
【例14】已知实数x、y满足x2+y2=3，求的最大值。
变式1:已知x，y∈R且3x2+2y2=6x,求x2+y2的最大值。
变式2:已知实数1≤x2+y2≤2，试求x2+xy+y2的取值范围。
【例15】求函数f（x）=x+的最大值与最小值，并求出与函数的最值对应的x值。
分析:利用三角代换可以解决
当x=时，f（x）max=；当x=π时,f（x）min=－1.
（2）增量代换与均值代换
增量代换:若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上一个变量。
①若α＞2，则α=2+t（t＞0）；
②若α＜2，则α=2－t（t＞0）。
均值代换：在对称式（任意互换两个字母，代换式不变）和给定字母顺序（a＞b＞c）的不等式。常用增量法进行代换，其目的是减元。
①若a+b=1且a，b∈R,则a=+t,b=－t（t∈R)；
②若a+b=1且a，b∈R+，则a=+t，b=－t(t∈（－，））；
【例16】已知a，b∈R+，且a+b=1，求证：。
策略：依题意令a=+t，b=－t且t∈（－,)，则
。
变式1:已知a，b∈R，且a+b=1,证明:。
策略（增量代换）：令a=+t，b=－t且t∈R，则
,当且仅当t=0时等号成立.
变式2：已知a,b，c∈R，且a+b+c=x，求证:a2+b2+c2≥。
注：若任意交换两个字母顺序,已知条件和要证的结论均不会改变，这种不等式属于轮换对称式不等式.证明这类问题的基本方法：均值代换.
策略（增量代换）:令a=+α，y=+β，则z=－（α+β）且α，β∈R,于是可以证明不等式成立.
【例17】已知a,b，c∈R+，求证：++≥。
分析：换元创造重要不等式，于是令a+b=x，b+c=y，c+a=z,则
++=++，于是化简可得：++=(++）－≥3－=.
(六）放缩法
（1）放缩法证明不等式：在顺推的逻辑推理中,利用不等式的传递性，即要证明A≥B，通过适当放大或缩小来证明比原不等式更强的不等式，借助一个或多个中间量，使得B≤B1,B1≤B2，…，Bi≤A，或者A≥A1，A1≥A2，…，Ai≥B即可证明不等式成立,这种方法叫做放缩法。
放缩法证明不等式实质：非等价转化,放缩法没有一定的准则和程序，需依题意适当放缩，否则达不到目的。
（2)放缩法是证明不等式的重要方法，放缩时使用的主要方法有：
①舍掉式中的一些正项或负项，如（a+）2+＞a+）2；
②分式中放大或缩小分子与分母，如＜＜，＜，＞（k∈N＊，k＞1）；
③把和式中各项或某项换为较大（小）的数（式）。
（3)放缩法的理论依据主要有:
①不等式的传递性；
②等量加不等量为不等量;
③同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小比较。有些不等式如果恰当运用放缩法可以很快得证，所以证明不等式时不要盲目利用分析法、比较法……,在必要时也要考虑放缩法，这样可以化难为易,用放缩法的技巧性很强，每一步的放缩要适度,切忌放缩幅度过大。
【例18】(1）设a、b为不相等的两正数，且a3－b3= a2－b2，求证:1＜a+b＜。
（2）（1++…+）＞（++…+)(n≥2）。
【例19】（1）若α，β∈（0，），证明:+≥9。
(2）已知x，y∈（0，π），求证:（sinx+siny）≤sin。
【例20】（1)已知a，b∈R+且a+b=1，求证:+＜.
（2）已知求证：1＜+++＜2.
分析:（1）若a，b,m∈R+且a＜b,则＞，于是
+＜+=＜。
（2）
.
又，同理得
又,
从而得证。
【例21】已知x，y，z∈R+，求证:+＞x+y+z.
分析：=≥x+，由同理可得，≥z+，由此可证明原不等式。
【例22】（1）求证：++…+＜（n∈N*）。
（2)－＜1…+＜2－（n∈N＊，n≥2)
分析：（1)利用=＜=－进行证明；
（2）＜＜,分别令k=2，3,4，…，n得，
－＜++…+＜1－,于是不等式的两端同时加1，即－＜1+++…+＜2－得证。
【例23】（1）已知a＞2，求证：loga(a－1）loga（a+1）＜1。
（2）已知n∈N*，n≥2，求证：logn(n+1)＞log（n+1）（n+2)。
策略：⑴依题意loga(a－1）＞0，loga（a+1）＞0，且loga（a－1）≠loga（a+1），于是
loga(a－1）loga(a+1）＜[]2=[]2＜[］2=1.
⑵由n∈N＊，n≥2，得，logn(n+1）＞0，log（n+1)（n+2）＞0，log（n+1）n+＞0，于是由
≤=＜=1,从而不等式logn(n+1）＞log（n+1）（n+2)得证.
【例24】已知a、b、c是三角形的三边，求证：+＞。
分析：=＜=+＜+，从而+＞得证。
【例25】设an=++…+(n∈N＊，n≥2)，求证：＜an＜。
策略：利用n＜＜进行证明。
【例26】设m为|a｜、｜b｜、1中最大的一个值，当|x｜＞m时，求证：|+｜＜2。
分析：由m为｜a｜、｜b｜、1中最大的一个值知，m＞｜a｜、m＞｜b｜、m＞1，于是由|x｜＞m有x＞|a｜、x＞|b|、x＞1，于是
｜+|≤｜｜+||=+＜+|=2。
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第21讲：不等式的证明（1）