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解题中常见错误类型

数学是一门逻辑性很强的学科，每个数学命题都有着严密的逻辑结构．不少同学在做数学题时，常因一些“小问题”而导致解题出错，平时考试后也只停留在把本题改正,而不注意探究错误的根本原因，以致在高考中仍经常犯类似的错误.因此，解数学题必须思考细心,论证严密．现就解题中的错误类型概括如下．
一、对数学概念、定义、法则的理解含糊
对数学概念、定义、法则的理解掌握是解题的基础．若对概念理解含糊，容易容易造成解题错误．
例1 若函数y＝f（x)＝logx－logx＋3的定义域为集合A，值域D＝［1，7］，集合B＝[，2]∪[4,16]，则集合A与集合B的关系为 （ )
A．AB B． A＝B C．BA D．AÍB
〖错解〗由1≤logx－logx＋3≤7,得≤（logx−)≤，≤｜logx−｜≤，即−1≤logx≤1或2≤logx≤4，
∵y＝logx在(0，＋∞）上是增函数,∴≤x≤2或4≤x≤16，∴A＝[,2]∪[4，16］＝B，故应选B．
〖剖析〗根据函数的定义，函数值域可由其定义域与对应法则得出，但由值域与对应法则是否得出唯一的定义域呢？答案是否定的．除非加强条件（比如函数具有单调性等）．实际上，本题中［,2］ 与[4，16］是f（x）的两个单调区间,由错解可知当≤x≤2时,可得1≤y≤7，当4≤x≤16时，也可推得1≤y≤7．这就是说，[,2]与［1，16]都可作为函数的定义域．而集合B只是f（x)值域为[1，7]时x的最大允许值范围，并非是函数的定义域．可以观察f（x）是否是A到D上的一一映射，若是则A＝B，若不是则AB．
〖正解〗由以上错解可知，若A＝B时，能满足题意，故否定答案A、C，由错因分析可知,若A＝［,2]B时,也能满足题意，故否定B,应选D．
二、忽视题中的隐含条件
有些数学题，题中隐含着一定的条件，若忽视了这些条件，也会造成错误．
例2 已知α,β是关于x的方程x2－（k－2）x＋k2＋3k＋5＝0（k∈R)的两个实根试求α2＋β2的最大值．
〖错解〗由韦达定理知于是
α2＋β2 ＝(α＋β）2－2αβ＝（k－2）2－2（k2＋3k＋5)＝－（k＋5）＋19．
∴当k＝－5时，α2＋β2有最大值19．
〖剖析〗忽视了方程有两个实数根,判别式Δ≥0这一隐含条件．
〖正解〗由Δ≥0,得（k－2)－4（k2＋3k＋5)≥0,－4≤k≤－．
又－4≤k≤－时,α2＋β2 ＝－（k＋5)＋19是减函数，故当k＝－4时，原式取得最大值18．
三、忽视定理公式的使用范围
每个数学定理公式都有一定的适用范围，若超出范围使用，会造成错误．
例3 在数列｛a}中,已知S＝3n－n＋1,求通项a．
〖错解〗a＝S－Sn−1＝(3n－n＋1）－［3（n－1)－（n－1）＋1]＝6n－4．
〖剖析〗当且仅当S0＝0时才能用公式a＝S－Sn−1计算,当S0≠0时应分段表示．
〖正解〗n＝1时，a＝S＝3×1－1＋1＝3;n≥2时， a＝6n－4．
∴a＝．
四、错把充分条件当成充要条件
充分条件只可作为判断结论正确性的依据，由于不知是否具备必要性而导致条件不完备，即可能有其它条件同样可以得到结论的正确性．忽视这些可能造成错误．
例4 (a－2）x＋2(a－2）x－1＜0对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．
〖错解〗结合二次函数图象,要使（a－2）x＋2a－2）x－1＜0对一切x∈R恒成立,必须使
（＊)
即∴a的取值范围是(1，2)．
〖剖析〗条件(*)只是使得（a－2）x＋2（a－2)x－1＜0对一切x∈R恒成立的充分条件，而不是充要条件．原题中并没有指出是“二次”不等式，应考虑二次项系数可能为零的情形．
〖正解〗当a＝2时,a－2＝0，不等式化为－1＜0对一切x∈R恒成立．
结合错解，a的取值范围是（1，2]．
五、错把必要条件当成充要条件
必要条件可能只为结论的一部分，不能保证结论的完整．忽视这些同样可能出现错误．
例5 已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,一定点为A（1，2)，要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围．
〖错解〗将圆的方程配方得：（x＋）2＋(y＋1)2 ＝．
∵其圆心坐标为C（－，－1），半径r＝．
当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则｜AC｜＞r．
即＞．即a2＋a＋9＞0，解得a∈R．
〖剖析〗上述解法仅由条件得出|AC｜＞r ，这只是圆有两条切线的必要条件，而忽视了另一制约圆的必要条件r＞0．
〖正解〗结合错解,圆有两条切线的充要条件是|AC｜＞r＞0，即由此可得a的取值范围是（－，）．
六、忽视对结论的检验或检验不彻底
如果在时运算时不能把握问题本质或对概念的理解不深，常会在运算后产生增根,解决的方法之一，是依据题设条件对结论进行检验．忽视检验或检验不彻底都会产生错误．
例6 全集U＝{1，2a－4，a－a－3｝，A＝{a－1,1}，CUA＝｛3｝，则a＝ ．
〖错解〗∵CUA＝｛3}，∴3∈U＝{1,2a－4,a－a－3}．
⑴由2a－4＝3，得a＝;
⑵由a－a－3＝3，得a＝3或a＝－2．
经检验a＝时，U＝{1，3，}，A＝{，1｝，集合中元素互异；
a＝3时，U＝｛1,2,3｝,A＝｛2，1｝，集合中元素互异；
a＝－2时,U＝{1,－8,3｝,A＝{－2，1}，集合中元素互异．
∴a＝,a＝3或a＝－2．
〖剖析〗虽然错解紧扣了补集定义，利用分类讨论的方法,进行了问题的解决，并依据集合中元素的互异特性，做了检验．但未能进行是否构成补集的检验依然出错．
〖正解〗结合错解．
a＝时，U＝｛1，3,}，A＝{，1｝，AU,舍去；
a＝3时，U＝{1，2,3}，A＝｛2,1}，CUA＝｛3｝，满足条件A∩CUA＝Æ，A∪CUA＝U；
a＝－2时，U＝{1，－8，3｝，A＝{－2，1｝, AU，舍去．
∴a＝3．
七、一叶障目，不见泰山
数学概念要全面理解，若一叶障目，不见泰山，容易致错．
例7 △ABC中,＝,＝b，＝c，已知a·b＝b·c＝c·，
求证:△ABC为正三角形．
〖错解〗∵b·c＝c·，∴c·（b－a）＝0．
∵c≠，∴b＝，同理可得b＝c．故△ABC是正三角形．
〖剖析〗由于向量的数量积满足分配律，所以由b·c＝c·可以得到c·（b－a）＝0,但由教材中向量的数量积性质知：“当a，b都是非零向量时，a⊥bÛa·b＝0"．所以由c·（b－a）＝0,c≠不能得到b＝．事实上c·（b－a）＝0Ûc＝0，b－a ＝0或c⊥（b－a）．另外，若＝b＝c，则△ABC的三条边平行或重合，也不能得到△ABC是正三角形．
〖正解〗∵b·c＝c·，∴c·(b－c)＝0．
又∵c＝－（＋b)，∴－（＋b）·（b－）＝0．
∴｜a｜2＝|b|2,即|a|＝｜b｜，同理｜b|＝|c｜，故△ABC是正三角形．
八、证明不够严密
对于数学的证明题，要严密进行逻辑推理，一步不慎，满盘皆输．
例8 P为120°的二面角α－MN－β内一点,P到α，β的距离均为10,求点P到棱a的距离．
错解1：过点P作PA⊥α于A，PB⊥α于B,过A作OA⊥MN于O，连结PO，OB．
∵PA⊥α，∴PA⊥MN，∵OA⊥MN，∴面PAO⊥MN．同理，面PBO⊥MN．
而面PAO∩面PBO＝PO，∴面PAO与面PBO应重合,即A、O、B、P在同一平面内,∠AOB为二面角的平面角．……
A
B
P
O
M
α
β
N

错解2：过点P作PA⊥α于A,PB⊥α于B．
设相交直线PA、PB确定的平面为γ，MN∩γ于O，则γ∩α＝OA，γ∩β＝OB．
∵PA⊥α，PB⊥β，∴PA⊥MN,PB⊥MN，∴MN⊥γ，∵OAÌγ，OBÌγ，∴∠AOB为二面角的平面角．……
〖剖析〗错解1中，“同理”二字不妥，这是因为其证法不尽相同,OB是否与MN垂直有待证明．错解2中，MN∩γ＝O有些欠妥，MN与γ是否相交还不清楚．
〖正解1〗“同理,面PBO⊥MN．”改为：∵面PAO⊥MN,∴PO⊥MN，∵PB⊥α，∴PB⊥MN,∴面PBO⊥MN．
〖正解2〗过点P作PA⊥α于A，PB⊥α于B，则PA⊥MN，PB⊥MN，相交直线PA、PB确定平面PAB，∴MN⊥平面PAB，设MN∩平面PAB＝O，连结OA,OB，则OAÌ平面PAB，OBÌ平面PAB，，∴∠AOB为二面角的平面角．……
九、遗漏特殊情况
在解题中要注意特殊情况对结论造成的影响，遗漏特殊情况可能致错．
例6．求过定点P（0,1）且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
〖错解〗设直线方程为y＝kx＋1（k≠0），
由方程组消去y，得k2x2＋2（k－1）x＋1＝0，
由直线与抛物线只有一个公共点,则Δ＝4（k－1）2－4k2＝0，即k＝，故选择答案：B．
〖剖析〗以上出错在于对公共点情况的盲目判断导致的,其错误有两点：一是遗漏了直线不存在斜率的情况，只考虑了斜率存在的直线;二是方程组消元后的方程认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零的一次方程的解也符合题意．
〖正解〗由以上错解可知k＝有一条直线y＝x＋1；而当斜率不存在时,直线x＝0满足条件；当直线平行于抛物线的轴时，即直线y＝1也满足条件;故选择答案：D．
十、考虑问题不周全
解题时要仔细观察，克服粗心大意,若考虑问题不周全,可能导致结果遗漏．
例10 已知（＋）的展开式中有理项共有4项，求n的取值范围．
〖错解〗 展开式的第k＋1项为
Tk+1＝C（）n—k（）k＝Cx（k＝0，1，…，n）．
为了使Tk1是有理项，n必须是偶数，且k是6的倍数，要使k在其取值范围内有4个满足条件的值，
∴ n可取的值为18,20,22．
〖剖析〗Tk+1是有理项并不一定要求n是偶数,若果n是奇数，k＝6m＋3（m∈Z时，－仍为整数）．
〖正解〗展开式第k＋1项为Tk+1＝ Cx（k＝0,1,…，n)．
为了使Tk+1是有理项，有以下两种情况：
⑴当n为偶数时,k是6的倍数，
∵ 0≤k≤n,且共有4个有理项,
∴ 18≤n＜24，即n＝18，20，22；
⑵当n为奇数时，k＝6m＋3(m∈Z），
∵ 0≤k≤n,且共有4个有理项，
∴ 21≤n＜27,即n＝21，23，25．
∴ n取值的范围是｛18,20，21,22,23,25}．