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江苏专转本高等数学真题(附答案).doc

1、2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1、下列各极限正确的是 ( )A、B、C、 D、2、不定积分 ( )A、B、C、D、3、若,且在内、,则在内必有 ( )A、,B、,C、,D、,4、 ( )A、0B、2C、1D、15、方程在空间直角坐标系中表示 ( )A、圆柱面B、点C、圆D、旋转抛物面二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)6、设,则 7、的通解为 8、交换积分次序 9、函数的全微分 10、设为连续函数,则 三、计算题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)11、已知,求.12、计算.13、求的间断点,并说明其类型

2、.14、已知,求.15、计算.16、已知,求的值.17、求满足的特解.18、计算,是、围成的区域.19、已知过坐标原点,并且在原点处的切线平行于直线,若,且在处取得极值,试确定、的值,并求出的表达式.20、设,其中具有二阶连续偏导数,求、.四、综合题(本大题共4小题,第21小题10分,第22小题8分,第23、24小题各6分,共30分)21、过作抛物线的切线,求 (1)切线方程; (2)由,切线及轴围成的平面图形面积; (3)该平面图形分别绕轴、轴旋转一周的体积。 22、设,其中具有二阶连续导数,且. (1)求,使得在处连续; (2)求.23、设在上具有严格单调递减的导数且;试证明:对于满足不等

3、式的、有.24、一租赁公司有40套设备,若定金每月每套200元时可全租出,当租金每月每套增加10元时,租出设备就会减少一套,对于租出的设备每套每月需花20元的维护费。问每月一套的定金多少时公司可获得最大利润?2002年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1、下列极限中,正确的是 ( )A、 B、 C、 D、 2、已知是可导的函数,则 ( )A、B、C、D、3、设有连续的导函数,且、1,则下列命题正确的是 ( )A、B、C、D、4、若,则 ( )A、 B、 C、 D、5、在空间坐标系下,下列为平面方程的是 ( )A、 B、 C、= D、6、

4、微分方程的通解是 ( )A、 B、 C、 D、7、已知在内是可导函数,则一定是 ( )A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、不能确定奇偶性8、设,则的范围是 ( )A、 B、 C、 D、9、若广义积分收敛,则应满足 ( )A、B、C、D、10、若,则是的 ( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)11、设函数是由方程确定,则 12、函数的单调增加区间为 13、 14、设满足微分方程,且,则 15、交换积分次序 三、计算题(本大题共8小题,每小题4分,共32 分)16、求极限17、已知,求18、已知,求, 19、设,求20

5、、计算21、求满足的解.22、求积分23、设 ,且在点连续,求:(1) 的值(2)四、综合题(本大题共3小题,第24小题7分,第25小题8分,第26小题8分,共23分)24、从原点作抛物线的两条切线,由这两条切线与抛物线所围成的图形记为,求:(1)的面积; (2)图形绕轴旋转一周所得的立体体积. 25、证明:当时,成立. 26、已知某厂生产件产品的成本为(元),产品产量与价格之间的关系为:(元)求:(1) 要使平均成本最小,应生产多少件产品?(2) 当企业生产多少件产品时,企业可获最大利润,并求最大利润.2003年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,

6、共24分)1、已知,则 ( )A、2B、4C、0D、2、若已知,且连续,则下列表达式正确的是 ( )A、B、C、D、3、下列极限中,正确的是 ( )A、B、C、D、4、已知,则下列正确的是 ( )A、B、C、D、5、在空间直角坐标系下,与平面垂直的直线方程为 ( )A、B、C、D、6、下列说法正确的是 ( )A、级数收敛B、级数收敛C、级数绝对收敛D、级数收敛7、微分方程满足,的解是A、B、C、D、8、若函数为连续函数,则、满足A、为任何实数B、C、D、二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)9、设函数由方程所确定,则 10、曲线的凹区间为 11、 12、交换积分次序 三、计算题(本

7、大题共8小题,每小题5分,共40分)13、求极限14、求函数的全微分15、求不定积分16、计算17、求微分方程的通解.18、已知,求、.19、求函数的间断点并判断其类型.20、计算二重积分,其中是第一象限内由圆及直线所围成的区域.四、综合题(本大题共3小题,第21小题9分,第22小题7分,第23小题8分,共24分)21、设有抛物线,求:(i)、抛物线上哪一点处的切线平行于轴?写出该切线方程;(ii)、求由抛物线与其水平切线及轴所围平面图形的面积;(iii)、求该平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.22、证明方程在区间内有且仅有一个实根.23、要设计一个容积为立方米的有盖圆形油桶,已知单位面

8、积造价:侧面是底面的一半,而盖又是侧面的一半,问油桶的尺寸如何设计,可以使造价最低?五、附加题(2000级考生必做,2001级考生不做)24、将函数展开为的幂级数,并指出收敛区间。(不考虑区间端点)(本小题4分)25、求微分方程的通解。(本小题6分)2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分.)1、,是: ( )A、有界函数B、奇函数C、偶函数 D、周期函数2、当时,是关于的 ( )A、高阶无穷小B、同阶但不是等价无穷小C、低阶无穷小 D、等价无穷小3、直线与轴平行且与曲线相切,则切点的坐标是 ( )A、B、C、D、4、设所围的面积

9、为,则的值为 ( )A、B、C、D、5、设、,则下列等式成立的是 ( )A、B、C、D、6、微分方程的特解的形式应为 ( )A、B、C、D、二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)7、设,则 8、过点且垂直于平面的直线方程为 9、设,则 10、求不定积分 11、交换二次积分的次序 12、幂级数的收敛区间为 三、解答题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分)13、求函数的间断点,并判断其类型.14、求极限.15、设函数由方程所确定,求的值.16、设的一个原函数为,计算.17、计算广义积分.18、设,且具有二阶连续的偏导数,求、.19、计算二重积分,其中由曲线及所围成.20、把函数展

10、开为的幂级数,并写出它的收敛区间.四、综合题(本大题共3小题,每小题8分,满分24分)21、证明:,并利用此式求.22、设函数可导,且满足方程,求.23、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧,甲城位于岸边,乙城离河岸40公里,乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里,两城计划在河岸上合建一个污水处理厂,已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元。问污水处理厂建在何处,才能使铺设排污管道的费用最省?2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)1、是的 ( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、第二类间断点D、连续点2、若

11、是函数的可导极值点,则常数 ( )A、B、C、D、3、若,则 ( )A、B、 C、 D、4、设区域是平面上以点、为顶点的三角形区域,区域是在第一象限的部分,则: ( )A、B、C、D、05、设,则下列等式成立的是 ( )A、B、 C、 D、6、正项级数(1) 、(2) ,则下列说法正确的是 ( )A、若(1)发散、则(2)必发散 B、若(2)收敛、则(1)必收敛C、若(1)发散、则(2)可能发散也可能收敛 D、(1)、(2)敛散性相同二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)7、 ;8、函数在区间上满足拉格郎日中值定理的 ;9、 ;10、设向量、;、互相垂直,则 ;11、交换二次积分

12、的次序 ;12、幂级数的收敛区间为 ;三、解答题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分)13、设函数 在内连续,并满足:、,求.14、设函数由方程所确定,求、.15、计算.16、计算17、已知函数,其中有二阶连续偏导数,求、18、求过点且通过直线的平面方程.19、把函数展开为的幂级数,并写出它的收敛区间.20、求微分方程满足的特解.四、证明题(本题8分) 21、证明方程:在上有且仅有一根.五、综合题(本大题共4小题,每小题10分,满分30分)22、设函数的图形上有一拐点,在拐点处的切线斜率为,又知该函数的二阶导数,求.23、已知曲边三角形由、所围成,求:(1)、曲边三角形的面积;(2)、曲边

13、三角形饶轴旋转一周的旋转体体积. 24、设为连续函数,且,(1)、交换的积分次序;(2)、求.2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)1、若,则 ( )A、B、C、D、2、函数在处 ( )A、连续但不可导B、连续且可导C、不连续也不可导D、可导但不连续3、下列函数在上满足罗尔定理条件的是 ( )A、B、C、 D、4、已知,则 ( )A、B、 C、 D、5、设为正项级数,如下说法正确的是 ( )A、如果,则必收敛 B、如果,则必收敛C、如果收敛,则必定收敛 D、如果收敛,则必定收敛6、设对一切有,则 ( )A、0 B、 C、2 D、4

14、二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)7、已知时,与是等级无穷小,则 8、若,且在处有定义,则当 时,在处连续.9、设在上有连续的导数且,则 10、设,则 11、设, 12、 . 其中为以点、为顶点的三角形区域.三、解答题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分)13、计算.14、若函数是由参数方程所确定,求、.15、计算.16、计算.17、求微分方程的通解.18、将函数展开为的幂函数(要求指出收敛区间).19、求过点且与二平面、都平行的直线方程.20、设其中的二阶偏导数存在,求、.四、证明题(本题满分8分).21、证明:当时,.五、综合题(本大题共3小题,每小题10分,满分30

15、分)22、已知曲线过原点且在点处的切线斜率等于,求此曲线方程.23、已知一平面图形由抛物线、围成.(1)求此平面图形的面积;(2)求此平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.24、设,其中是由、以及坐标轴围成的正方形区域,函数连续.(1)求的值使得连续;(2)求.2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)1、设函数在上有定义,下列函数中必为奇函数的是 ( )A、B、C、D、2、设函数可导,则下列式子中正确的是 ( )A、B、C、D、3、设函数,则等于 ( )A、B、C、D、4、设向量,则等于 ( )A、(2,5,4)B、(2,5,

16、4)C、(2,5,4)D、(2,5,4)5、函数在点(2,2)处的全微分为 ( )A、B、C、D、6、微分方程的通解为 ( )A、B、C、D、二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)7、设函数,则其第一类间断点为 .8、设函数在点处连续,则 .9、已知曲线,则其拐点为 .10、设函数的导数为,且,则不定积分 .11、定积分的值为 .12、幂函数的收敛域为 .三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分)13、求极限:14、设函数由参数方程所决定,求15、求不定积分:.16、求定积分:.17、设平面经过点A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,5),求经过点P(1,2,

17、1)且与平面垂直的直线方程.18、设函数,其中具有二阶连续偏导数,求.19、计算二重积分,其中D是由曲线,直线及所围成的平面区域.20、求微分方程的通解.四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)21、求曲线的切线,使其在两坐标轴上的截距之和最小,并求此最小值.22、设平面图形由曲线,与直线所围成.(1)求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.(2)求常数,使直线将该平面图形分成面积相等的两部分.五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,满分18分)23、设函数在闭区间上连续,且,证明:在开区间上至少存在一点,使得.24、对任意实数,证明不等式:.2009年江苏省普通高校“专转本

18、”统一考试高等数学一、单项选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)1、已知,则常数的取值分别为 ( )A、 B、 C、 D、2、已知函数 ,则为的A、跳跃间断点B、可去间断点 C、无穷间断点 D、震荡间断点3、设函数在点处可导,则常数的取值范围为 ( )A、B、C、D、4、曲线的渐近线的条数为 ( )A、1B、2C、3D、45、设是函数的一个原函数,则 ( )A、B、C、D、6、设为非零常数,则数项级数 ( )A、条件收敛B、绝对收敛 C、发散 D、敛散性与有关二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)7、已知,则常数 .8、设函数,则 .9、已知向量,则与的夹角为 .10、

19、设函数由方程所确定,则 .11、若幂函数的收敛半径为,则常数 .12、微分方程的通解为 .三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分)13、求极限:14、设函数由参数方程所确定,求.15、求不定积分:.16、求定积分:.17、求通过直线且垂直于平面的平面方程.18、计算二重积分,其中.19、设函数,其中具有二阶连续偏导数,求.20、求微分方程的通解.四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)21、已知函数,试求:(1)函数的单调区间与极值;(2)曲线的凹凸区间与拐点;(3)函数在闭区间上的最大值与最小值.22、设是由抛物线和直线所围成的平面区域,是由抛物线和直线及所围成的平

20、面区域,其中.试求:(1)绕轴旋转所成的旋转体的体积,以及绕轴旋转所成的旋转体的体积.(2)求常数的值,使得的面积与的面积相等.五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,满分18分)23、已知函数,证明函数在点处连续但不可导.24、证明:当时,. 2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)1.设当时,函数与是等价无穷小,则常数的值为 ( )A. B. C. D. 2.曲线的渐近线共有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条3.设函数,则函数的导数等于 ( ) A. B. C. D. 4.下列级数收敛的是 ( ) A.

21、 B. C. D. 5.二次积分交换积分次序后得 ( ) A. B. C. D. 6.设,则在区间内 ( )A. 函数单调增加且其图形是凹的 B. 函数单调增加且其图形是凸的 C. 函数单调减少且其图形是凹的 D. 函数单调减少且其图形是凸的二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)7. 8. 若,则 9. 定积分的值为 10. 设,若与垂直,则常数 11. 设函数,则 12. 幂级数的收敛域为 三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分)13、求极限14、设函数由方程所确定,求15、求不定积分16、计算定积分17、求通过点,且与直线垂直,又与平面平行的直线的方程。18、设,

22、其中函数具有二阶连续偏导数,求19、计算二重积分,其中D是由曲线,直线及轴所围成的闭区域。20、已知函数和是二阶常系数齐次线性微分方程的两个解,试确定常数的值,并求微分方程的通解。四、证明题(每小题9分,共18分)21、证明:当时,22、设其中函数在处具有二阶连续导数,且,证明:函数在处连续且可导。五、综合题(每小题10分,共20分)23、设由抛物线,直线与y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为,由抛物线,直线与直线所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为,另,试求常数的值,使取得最小值。24、设函数满足方程,且,记由曲线与直线及y轴所围平面图形的面积为,试求

23、2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、C 2、D 3、B 4、D 5、A 6、27、,其中、为任意实数8、9、10、11、12、13、是第二类无穷间断点;是第一类跳跃间断点;是第一类可去间断点.14、1 15、 16、17、,.18、解:原式19、解:“在原点的切线平行于直线”即又由在处取得极值,得,即,得故,两边积分得,又因曲线过原点,所以,所以20、, 21、(1);(2);(3),22、.23、由拉格朗日定理知: , 由于在上严格单调递减,知,因,故.24、解:设每月每套租金为,则租出设备的总数为,每月的毛收入为:,维护成本为:.于是利润为: 比较、处的利润值,可

24、得,故租金为元时利润最大.2002年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案0105、ACABD0610、CBABB 11、1 12、, 13、014、 15、 16、 17、118、,19、解:令,则时,时,所以20、原式21、 22、23、(1)(2)24、(1)(2)25、证明:,因为,所以是偶函数,我们只需要考虑区间,则,.在时,即表明在内单调递增,所以函数在内严格单调递增;在时,即表明在内单调递减,又因为,说明在内单调递增.综上所述,的最小值是当时,因为,所以在内满足.26、(1)设生产件产品时,平均成本最小,则平均成本, (件)(2)设生产件产品时,企业可获最大利润,则最大

25、利润,. 此时利润(元).2003年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B 2、C 3、D 4、C 5、D 6、B 7、B 8、C 9、 10、 11、012、13、原式14、 15、16、原式17、 18、19、是的间断点,是的第一类跳跃间断点.20、21、(i)切线方程:;(ii)(iii)22、证明:令,因为在内连续,故在内至少存在一个实数,使得;又因为在内大于零,所以在内单调递增,所以在内犹且仅有一个实根.23、解:设圆柱形底面半径为,高位,侧面单位面积造价为,则有由(1)得代入(2)得:令,得:;此时圆柱高.所以当圆柱底面半径,高为时造价最低.24、解:,收敛区间25

26、、解:对应特征方程,、,所以,因为不是特征方程的根,设特解方程为,代入原方程,解得:.2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A 2、B 3、C 4、B 5、A 6、D 7、8、9、10、11、12、13、间断点为,当时,为可去间断点;当,时,为第二类间断点.14、原式.15、代入原方程得,对原方程求导得,对上式求导并将、代入,解得:.16、因为的一个原函数为,所以,17、18、;19、原式20、,21、证明:令,故,证毕.22、等式两边求导的即且, ,所以,由,解得,23、设污水厂建在河岸离甲城公里处,则,解得(公里),唯一驻点,即为所求.2005年江苏省普通高校“专转

27、本”统一考试高等数学参考答案1、A 2、C 3、D 4、A 5、A 6、C 7、2 8、 9、 10、511、 12、13、因为在处连续,所以,故.14、,.15、原式.16、原式17、,18、,平面点法式方程为: ,即.19、,收敛域为.20、,通解为因为,所以,故特解为.21、证明:令,且,由连续函数零点定理知,在上至少有一实根.22、设所求函数为,则有,.由,得,即.因为,故,由,解得.故,由,解得.所求函数为:.23、(1)(2)24、解:积分区域为:,(1);(2),.2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、C 2、B 3、C 4、C 5、C 6、A 7、2 8

28、、 9、 10、 11、 12、113、原式14、,15、原式16、原式17、方程变形为,令则,代入得:,分离变量得:,故,.18、令,故,.19、,直线方程为.20、,.21、令,;所以,故,即.22、,通解为,由得,故.23、(1)(2)24、(1),由的连续性可知(2)当时,当时,综上,.2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、 8、1 9、 10、11、 12、13、解:.14、解:方程,两边对求导数得,故.又当时,故、.15、解:.16、解:令,则.17、解:,18、解:原方程可化为,相应的齐次方程的通解为.可设原

29、方程的通解为.将其代入方程得,所以,从而,故原方程的通解为. 又,所以,于是所求特解为.(本题有多种解法,大家不妨尝试一下)19、解:由题意,所求平面的法向量可取为.故所求平面方程为,即.20、解:.21、解:(1);(2)由题意得. 由此得. 解得.22、解:,.由题意得、,解得、23、证明:积分域:,积分域又可表示成:.24、证明:令,显然,在上连续. 由于,故在上单调递增,于是,当时,即,又,故;当时,即,又,故.综上所述,当时,总有.2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B 2、A 3、D 4、C 5、A 6、B 7、0 8、3 9、(2,17) 10、 11、

30、 12、13、,令,那么.14、15、16、17、由题意得:,那么法向量为18、19、20、积分因子为化简原方程为在方程两边同乘以积分因子,得到化简得:等式两边积分得到通解故通解为21、令,那么x和y的偏导分别为,所以过曲线上任一点的切线方程为:当X0时,y轴上的截距为.当yo时,x轴上的截距为令,那么即是求的最小值.而,故当时,取到最小值4.22、(1).(2)由题意得到等式:化简得:解出a,得到:,故23、令,那么,由于,并且在上连续.故存在,使得,即.24、将用泰勒公式展开得到:代入不等式左边:2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A 2、B 3、C 4、B 5、

31、D 6、C 7、 8、9、 10、 11、2 12、13、,.14、,.15、令,16、令,当;当.17、已知直线的方向向量为,平面的法向量为.由题意,所求平面的法向量可取为.又显然点在所求平面上,故所求平面方程为,即.18、 19、;20、积分因子为化简原方程为在方程两边同乘以积分因子,得到化简得:等式两边积分得到通解故通解为21、(1)函数的定义域为,令得,函数的单调增区间为,单调减区间为,极大值为,极小值为.(2),令,得,曲线在上是凸的,在上是凹的,点为拐点.(3)由于,故函数在闭区间上的最大值为,最小值为.22、(1). .(2)由得.23、证(1)因为,且,所以函数在处连续。(2)因为,所以. 由于,所以函数在处不可导.24、证 令,则,由于当时,故函数在上单调增加,从而当时,于是函数在上单调增加,从而当时,即当时,2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A 2、C 3、B 4、D 5、D 6、C7、 8、29、 10、 11、 12、13、原式=.14、15、原式16、变量替换:令,原式17、,所求直线方程为18、;19、20、特征方程的两个根为,特征方程为,从而; 是特征方程的单根,可设,即设特解为,代入方程得,通解为21、构造函数,在上单调递增,在上单调递增,即。22、,连续性得证;,可导性得证。23、,令得,最小值为24、,从而46

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