初三数学T07韦达定理.doc

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韦达定理
【知识要点】
1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为, ，则：+=-b/a；。=c/a
2．若， 是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成:x2-（+）x+=0。

【经典例题】
【例1】求下列方程的两根之积与两根之和
（1） （2）

(3） （4)

【例2】已知，为方程x2+px+q=0的两根，且+=6， 2+2=20,求p和q的值.

【例3】已知：方程的两根为，，不解方程求下列各式的值：
（1)； （2)

【例4】已知：关于x的方程x2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且1+2k>0,求满足上述条件的k的整数值.

【例5】 已知方程组 （x,y为未知数），有两个不同的实数解
（1）求实数k的取值范围; (2）若求实数k的值。

【例6】 已知，关于x的方程(n—1)x2+mx+1=0①有两个相等的实数根.
（1)求证：关于y的方程m2y2—2my-m2—2n2+3=0②必有两个不相等的实数根;
(2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n+12n的值。

【方法总结】
1。利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根之积。
（1）容易忘记除以二次项系数;
（2)求两根之和时易弄错符号。
2.已知两根，求作一元二次方程时，也容易弄错一次项系数的符号.
3.应用韦达定理时，注意不要忽略题中的隐含条件，比如隐含的二次方程必有实数根的条件。

【经典练习】
一、选择题
1.下列说法中不正确的是 （ )
A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2
B.方程x2—3x-5=0的两实数根之积为—5
C。方程x2-2x—7=0的两实数根的平方和为18
D。方程x2-3x—5=0的两实数根的倒数和为3/5
2。若是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，则的值是 ( ）
A。5/4 B.9/4 C.11/4 D。7
3。已知关于x的一元二次方程-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是 ( ）
A.5 B.—1 C.5或-1 D.—5或1
4.方程x2—3x—6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为 ( ）
A。-18 B.18 C.—3 D.3
5.已知:a、b、c是△ABC的三条边长,那么方程cx2+（a+b）x+c/4=0的根的情况是 ( )
A。无实数根 B.有两个不相等的正实根
C.有两个不等的负实根 D.有两个异号的实根

二、填空题
1。请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程： .
2。已知方程x2+3x—1=0的两根为α、β，那么 α+β= .
3。以为根的一元二次方程是 。
4。已知：实数a、b满足条件a2-7a+2=0，b2-7b+2=0,且a≠b，则
5.设是方程2x2+4x—3=0的两个根，则(+1)（+1）= , = 。
6.设是方程2x2—3x+m=0的两个实根，且8—2=7, 则m的值是 。
7。 2是一元二次方程x2—3x+m=0的一个根，—2是一元二次方程x2+3x—m=0的一个根,那么m= 。
8.已知：已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为 。

三、解答题
1、已知：关于x的方程x2—2mx+3m=0的两个实数根是且=16，如果关于x的另一个方程x2-2mx+6m-9=0的两个实数根都在之间，求m的值。

2.当a取什么值时,关于x的方程ax2+4x—1=0有两个实数根?
（1）一变:当a取什么值时,关于x的一元二次方程ax2+4x-1=0有实根？
（2)二变：当a取什么值时，关于x的方程ax2+4x—1=0有实根?
(3)三变:当a取什么值时,关于x的方程ax2+4x-1=0的两根都是正数?

3．已知是一元二次方程4kx2—4kx+k+1=0的两个实数根.
（1）是否有在实数k，使(）()=-3/2成立?若存在,求出k的值；若不存在，请说明理由。

(2）求使 的值为整数的实数k的整数值。

4．已知关于x的方程(m+1）x2+2mx+m-3=0总有实数根.
（1）求m的取值范围.
（2)若m在取值范围内取最小正偶数时，方程是否有两个根，若有，设两根为,求：
的值；若没有说明理由。

5．在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得到的两根分别是8和2;乙抄错了一次项系数，得到的两根分别是—9和-1.你能找出正确的原方程吗？若能,请你用配方法求出这个方程的根。

作业
1. m,n是方程x2+2002x—1=0的两个实数根，则= .

2如果方程组 只有一个实数解，求m值.

3。已知:是方程x2-x+a=0的两个实数根，且 ，求a的值.

4．已知方程．（1)若方程两根之差为5,求的值;（2）若方程一根是另一根的2倍，求这两根之积．