华南理工大学高数同步作业册(含答案).pdf

作业11、填空题：1)y=a rc si n(%-3)的定义域为 2,4；2)1,=a rc t a n 一+/一 x 的定义域为(-8,0)U(0,3；x-3)设/(X)=+1,=e*,则/夕()=e2x+1;4)y=si n 2 x 的周期为 n ti,w Z;5)j=1+ln(x+2)的反函数为 ex 1-2。2、设对任意实数 x,y,均有|/(x)+/(-)|=|x+|且/(0)=0,证明：=xy。证明：取X=y 则有=N=/2(x)=%2。|/(x)+/(y)|=k+两边平方得f2(x)+2f(x)f(y)+/2(y)=一+2孙+v2f(x)f(y)=xy3、判定下列函数的奇偶性1)/(x)=log a(x+-lx2+a2)-1解：因为/(-x)=bg(-x+ylx 2+a 2)-1=log-,-I 7 /2 2x+y x+a=1-1 o gu(x+J%2+q 2)=_/(%)所以此函数为奇函数。X+7V X 02)/3=(x 7T Q X 7r解：当一时，O c-x W/r,/(-x=-x-7r=-/(x);当 时，一万4-10,f(-x)-x+7C-/(x);所以此函数为奇函数。4、设/(x)为定义在(-4,/)内的奇函数，若了(%)在(0,/)内单调增加，证明：/(%)在(-/,0)内也点调增加。证明：对于任给的,%2 G(-/，0)，且%2，我们有0 -%2 -1，因为/(x)在(0,/)内单调增加，所以/(/)。又因为/(X)为定义在(-4,/)内的奇函数,所以-/(z)/(/)，即/(%)在(-，0)内也点调增加。5、设/(x)的定义域为0,4,求函数/(%+“)+/(%。)(a 0)的定义域。解：/(%+a)的定义域为-a,4-a,/(x-a)的定义域为a,4+a 当a 4-a时，即a 2时，/(a-+a)+/(x-a)(a0)的定义域为军集；当 4-a 时，即 a 0)的定义域为a,4-a 6、设/(%)=0 卜|=1,g(x)=e求/g(%),g./,(x)o|一1 Hifl解：/g(x)=1o 1-1x 0g/(x)=1 b作业21、观察下列数列卜1的变化趋势，写出它们的极限:n 1 lim-=2)”T8 n+2 11 n 7i lim 一cos-=3)is 3 02、用数列极限定义证明证明：V&取1N=当,N时，恒有|+1-Vw-o 0,无妨设 10.99_9-1=1-10-1=10个i 1 o.99.9 _ i 0,因为 f8 ,所以存在N。，当 N时，恒有Un-a s此时恒有k|-|l k-4 ,由于-8 ,一定存在N ,当,N时，恒有k-1=卜，卜 此时恒有卜.几-。|=k，lk，|0,lim M=A xr c ir因为 ,所以存在 I?时，恒有I,-H,当2时，恒有k-A取 N=ma x N,N 2 当N 时上 一|二 L 嗫/+/卜 L./+限/上一(-4)=|.v-2+4|=|x-(-2)|x+2取6=e,当卜一（一 2）IS时，恒有x-4 z、-(-4)x+2 X-4 lim-=-4所以2尤+2lim l x2+4x+5-x l=22)位证明：De。1vx+4 x+5-V-2+4x+5+x+2无妨设%。，则有I 1 1+4x4-5-x-2=-r g 时，恒rrlim xlx2+4x+5 x I=2所以一位)2 x+5,y 2,研究/在方=2处的左极限、右极限及当*f 2时的极限。lim/(x)=9解：1)XV,0,当 x v2 时|/(x)-91=2%+5 一 可=2k-2|取 2,当2-3Vx2时，恒有|/(x)-9|=|2x+5-9|=2|x-1 0,当 2 时|/(x)-9|=|5x-1-9|=5k-2|3,取 5,当2Vx 2+3时，恒有|/(x)-91=卜x 一 1 一,=5k-2|0lim f(x)=A因为2 9，所以存在6 0,当X G1时，|/(X)-A 0,当X _G?|/(x)-a G 时，恒市|/(x)-a。和”。，当时，恒有卜”。下面给予证明。lim f（x）=A取=0.001,因为一 8,所以一定存在G 0,当H G时，恒有|/(x)-a =0.0011 f(x)=(f(x)A)+A|f(x)-A+A 由上面两式可知，1/(X)|+I 4 I令M=+M 则有I/(x)|G命题结论得证。5、如果f”。时，函数/(X)的极限存在。证明：/(X)的极限是唯一的。证明：既要证明：如果数，B是函数/（.）当.打A-B假设Z。5。无妨设/3,取 2。因为lim/（x）=A，所以存在正数当0%7。不时有/（X）-A 8-2圆/（X）=3乂闪为i，,因此存在正:数,当0 卜一工。卜/时有/b。2 1,I I X CO S-取$=,当因 0(由单位圆中的弧长 正弦线，可知N=si n 2+N时，恒有I I所以%=sin 2+1(G Z.)当.8 时为无穷小2、根据无穷大的定义证明：】=e当X-+CO时为无穷大。证明:对于任给的”0e=e x 2 x取G=M,当1）G时，恒有卜所以y=屋山心一+8时为无穷大。a rct a n xy-，3、利用无穷小的性质，说明 1+X 当X-8时为无穷小。lim-0,I a rc t a n x|0,因为一，所以存在S,0,当0 卜-M+恒行 2Hlim g(x)=A =丁乂因为一“，对于 2,一定存件？0,当邛一，卜训，恒有g(x)4 n g(x)/J n g(x)取5=min 2，”,当 0,一%。|/(x)|-|g(x)|M+=Mlim(g(x)-/(%)=oo所以、TX。./(%).lim-12)f。/(%)+g(x)/(%),-g(%)1+iii-:to：因为/(.)+g)g(n,所以只需大，由无穷大与无穷小的关系ii m m=。证明 2%/(%)+gG)类似1）中证明，可得/（*）+g（x）为 I 时的无穷f+0时，此函数是否为无穷大？为什么？X-%时，2+g（x）为无穷小，又因为1 i mg（x）=A八。，利用极限的性质，g（x）是局部有界的，因此一g（x）也是局部有界的。根据无穷小与有界量的积还是无穷小，所以-g（x）lim-0j/（x）+g（x）。再利用极限与无穷小的关系有/(X)lim=1。/(%)+g(x)5、函数=a s在区间（0,+）是否有界？力正:常数”，使得对于任给的都有卜”闾，而我们只要取证明：1）csx在区间（0，+8）无界.如果函数）=隹区间（+”）上有界则存在2）当 f+8时，y=x.cos x不是无穷大。X=2(也+1)则有 xcosd=2(m +1加 M这是,个矛盾，所以函数N=、.CO S 在区间（。，+8）上无界。lim xcos x=8如果也，即对于任意的正数”，都存在X 0 f 当 x X 时都有x s i xM而当我们取X=2(x+)7T+X2时,则有=。M这是一个矛盾，所以“一+8时，y=xcosx不是无穷大。作业5I、求 h m（L3一）,%4(%+2)解：原式=lim3-xX1 x 3-=3121+x 2x-1-32、求 lim-/-也%+1-4刈 山(2x-10)(73x+1+4)2(-3x+1+4)8解：原式二 lim-)i-一(=lim 得-一(=-x5(3x-15)(V2x-1+3)乂-53H 2x-1+3)9 3、求 lim X+4x+5 x 2解：原式=lim/-=lima 例+4%+5+%+2 2 24 51+-+1+4、求 lim1+-+2.3nn+1)解：原式=lim fl-+-+-=lim f 1-=1 281 2 2 3 n n+)n+)卡.，15、求 lim x si n 一 xQ x解：因为lim x2=0,si n 0 x 7 012)当 X f X。时，有无可能/(x)g(x)-0?解：有可能，例 lim =00,lim X2=0,但lim x=0X T。X T。作业61、填空1)limsi n 2 xsi n 5x252)t a n 3xlim-一 X33)lim(1+2x)r=e2 x-o _2、求下列极限1)lim 1-1-1-。I x si n x x t a n x)、(2 +3、2)lim I-I2n+1 J解：原式=lim f 1+-，4 2n+1 J、V1-cos 2x3)lim-N2 sM 2 x si n x 厂解：原式=lim-=-lim-=-5/2。X O-X 3、用极限存在准则证明：lim=071 12 h I 1 1 n I证明：因为0二=上上.上，lim-=0,由夹逼准则，有lim今=0 o n n n n n n4、求极限 lim 一+-+-+n+2 n+及aJn n n n解：内为x-；-+-+-n x-n-+n 乃 n+乃+27 n+n n+ttn2 1 n2 1lim-=lim-=1,lim-=lim-=1，2“n-+n 冗 7i”-8 一+%”i8 7i1+1+2n n.、一、4,.(n n n由夹退准则l im|+.+-I=1+n n+2/n+n)5、证明：数列J7,2+VT,12+J2+V?,的极限存在，并求出其极限。证明：用单调，有界准则证明极限存在。设此数列为则有”=52+0,显然由=VT 2,如果a”2,则。+1=+a”2+2=2,由数学归纳法，有卜+a”=42=a,，此数列是单调增的，所以此数列极限存在，我们设lim a”=a,则由=.2+a.可得a=J2+a,解得 a=2。作业71、求下列极限、t a n x-si n x1)lim-一，、.3x si n x八f e 1、t a n x(l-cos%)7 1解：原式=lim-=lim-=x-0 si n x 2。x，2x(ex-l)ln(1+x)1J 1解：原式=lim-=x 2、VI+x-13)lim-：-；-丫-。(es，n*-l)t a n x解：原式=lim-x 0.si n x t a n x=limx I4)limX T 0a rc si n,-4 JIn(1-x)解：原式=lim-=lim1-=12-x、a rct a n(x-1)5)lim-+-V 2解：原式 lim-=lim-=(x+2)(%-1)i x+2 32、当-0时，确定下列无穷小关于的阶数1)t a n x(sin x+x 2)t a n x(sin x+x 2)si n x+x2 .(,、，解:lim-=lim-=1,所以，当 o 时，t a n x(si n x+x)关、X 2 v-o x于X的阶数为2 o2)a/1+x3-13 L 3 _ _解：lim-=,所以，当x fO时，/1+%3_关-%的阶数为3。x 3.ct ct(X3、证明：若=o(a),=o(),且 lim 存在，则 lim-=lim 一。B +A Pa a)+匕匚由 r r P B.Ul：叫：lim-=lim-=H m夕+4 1+la a a t由 2 I=O(2),=o(),我们有 lim L=0,lim L=0,且 lim 存在，所以 a B Pa+a I alim-=lim。4+4 B作业81、求下列函数的间断点，并指出其类型J 2x-3%+2解：y=d)，有两个间断点x=1,工=2,其中，x=1是可去 x-3x+2(x-1)(%-2)X 2-间断点，当=1时，令y=-2,则y=-在=1处连续；=2是无穷间断x-3x+2点。3-x 1解：X=1时此函数的跳跃间断点。13)y=1-e解：此函数有两个间断点x=0,%=1。x=0是无穷间断点；因为lim-=-=0,lim-=-=1,所以 x=1 是EK跃间断点。1 _ e+x“l e-81-e 1 ex 2、讨论函数/(工)=lim上匚的连续性，若有间断点，判别其类型。-1+Xfi mi解：/(x)=o k|=1,x=I,x=-1是此函数的间断点，它们都是跳跃间断点.r1卜卜12)lim lx2+x-J/_ x)ex x 0解：当 W0时，函数都是连续的，所以我们主要考虑x=0处的连续性。lim/(X)=/(0)o lim/(x)=lim f(x)=/(0)xfO xfO*xtOlim(x+b)=lim e=ax-O+x-0b=a当a=b=1时，此函数处处连续。4、证明：若函数/(%)在点x 0处连续且/(%。)。0,则存在工。的某一个邻域U(x。)，当x e U 国)时，/(x)w 0 o证明：因为函数/(%)在点工。处连续且0,所以lim/(%)=0由极限的局部保号性，存在存在“。的某一个邻域。(。)，当x e。(%)时，/(x)w 0。5、求下列极限、si n x-si n a1)lim-a x-ax+a x-a x-a2 cos-si n-si n-解：原式=lim-=lim cos-=cos axi x a x f0 2 x a23)lim(1+3 t a n x)i解：原式=lim(1+3 t a n 2%)3 由 z x=e x-0、V1+t a n x-V1+si n x4)lim-/-x-0.2xa/1+si n x-xx c o sx s i nx(Jl+t a nx+Jl+s i nx)26、设：/(%)是定义在a,上的单调增函数，e(a,b),lim/(x)存在。证明:f(x)在点X。连续。证明：设lim/(%)=A,如果幺 f(x0)X T%取=/-/(%o),因为 lim/(x)=A,所以存在b 0，使得-。，o+b e(a，b),X T X。当0 卜一|5 时有|/(x)=A-/(Xo)A-A+/(x0)/(x)2A-f(x0)/(xo)/(x)2 J-/(x0)当o-b x%0时，有/Go)f(x),这与/(x)是定义在a,b上的单调增函数矛盾;如果/0，使得%-5,%+6 e(a,6),X f xv当0卜一1|b 时有|/(x)=f(xQ)-AA+A-/(x0)/(x)/(%)/(x),这与/(x)是定义在a,6上的单调增函数矛盾。所以 lim/(x)=,/(x0)即/(%)在点 连续。f*07、证明：方程x=si n X+b(0,b 0)至少有一个止根，并且不超过a+b。证明：在闭区间0 j+6上考虑函数/()=、-外山x-b，显然/(x)在0,a+b上连续；f(0)=0如果/(a+6)=0,a+6就是满足要求的根；如果/(a+)0,由零点定理，至少存在一点J c(0,a+6)使得/怎)=0,J就是满足要求的根。8、设函数/(x)对于闭区间a,”上任意两点x,y恒有|/(x)-/(y)|乙,-)，其中为正常数，且/(a)/(b)0,因为 时，|/(%)-/(%o)|L,x-x0|,我们只要取5=min-a,b-x0,一j,当时一定有|/3-/(0)|0,因为 x e a,b时，-W z|x-t z|,我们只要取S=min 1 b-a,卜当a V尤a+b时一定有|/(%)-/()|所以在a处右连续，同理可证/(%)在b处左连续，所以/(%)在,可上连续，又因为。)/(6)0,A11 0,当x G时有，|/(x)|0,对任给的x wa,G有|/(x)|Af,o 取河=ma x M x,M 2,对任给的 e a,+co)有|/()|M所以是区间a,+g)上的有界函数。作业91、填空题1)/(0)=0 旦广(0)=-1,则lim-1;1。%-2)设 lim-=一，则/=;最-。/(%+左 Ax)/(x)/()3I q 0s X X 0-4)过定点(3,0)且与曲线y=x 2相切的直线方程为y=0或y-36=12(%-6);5)/(x)=5|ln x|+21n x,则(1)=7,/;(1)=-3。2、按导数的定义求函数/)=在点、=3出的导数。解：/(3)=limA-,3+h=lim-,=-=limAV3V3+h 2+3、设函数/(x)=(%-a)e(x),其中8(x)在=a处连续，求尸(a)。&73/、f(a+h)-f(a)h(p(a+A),、解：f(a)=lim-=lim-=lim(pa+h)h 0 h 0 人 h 0因为9(x)在x=a处连续，所以上式=(lim(a+力)=0(a)。4、设/在x=0处连续,Jllim乙至=1,求曲线J，=/(、,)在点(0./(O)处的切线 i 3x方程。解：因为/(%)在 X=0 处连续，lim/(2x)=/(lim 2x)=/(0),又因为xtO xtOlim/(2x)=lim-x 3x=0,所以/(0)=0。,-。3xr 八)-/()/(2R 3/(2.t)3 1,/(0)=li m-=11 m-=-11 m-=一，只十 x=n h x f。2x 2 i3x 2 23曲线y=/(%)在点(o,7(O)处的切线方程为歹=-A-2r 25、为使函数/(%)=、”x解：1)由在=X。处连续有lim/(x)=ax +b=lim/(%)=x：=)=%+6X fX。2）由/（X）在X=%0处可导有lim/(%o+%)-/Go)li mA-O-ah-二ahhGo+)2%6 h./Go+人)-/Go)lim-hT Q-hli mA-0H m(/常=2x hf(T h所以 a=2x0,b=-x6、证明函数/（%）=+X-1-J-x0在=o处连续，但不可导。xx 0 .v-0+J Y X-01x2J=lim-=0=lim/(x)=f(0)J X f 0，2 x r 0所以lim/(x)=/(0),即/(x)在=0处连续；.VT 0J1+h 1又因为 lim-)=lim-=lim.-=oo,所以/(%)在工=02o+h 2。+h a-o+Vh(V1+A+1)处不可导。作业101、填空题1)若函数/(X)=X(%-D(x-2)(X-3)-,则尸(0)=(-1)n!；2）设曲线y=d+6与 =法2+。都通过点（一 1,0）,且在点（-1,0）处有公切线,贝！Ja=-1,b=-1,c=13）若）为可导函数，N/（%+3）=/，则/（x+3）=5,/(%)=5(x 3)44）设-Wk），则/；5）曲线j-=2 si n x+x2在横坐标x=0处的切线方程为y=2x,法线方程为y=-02、求下列函数的导数2)y=2*+-x/x-In x75-2 x-x-3x4)y=x 2 In x cos x解:=(x _ In x cos x)=2x In x cos x+x cos x-x2 n x si n x5)y=x t a n x-2 sec x解：y,=(x t a n x-2 sec x)=t a n x+x sec 2 x-2 sec x t a n x3、在下列各题中,设/(w),g(a)可导,求生。1)J=g(,)+si n,/2(x)解：y=g()+(si n/2(x)=g2)y=/in(1+e2v)解：.，=广1n 0+/)2 e 1+ex4、求下列函数的导数：1 arctan JT)y-e(e)e+cos/2(x)-2/(x)/,(x)1+X122)j/=In in 2(in 3 x)1/.、im im,-2 In(in 3%).-In 2(in 3 x)In 2(in 3 x)In 3 y)a bb)4)y=e 2 v sin(2x-3)解：y-2e 2 v sin(2x-3)+2e 2x cos(2x-3)5)y=y x2-a2-a a rccos 一(x a 0)6)y=In(e*+Jl+7)1=(cos X)5、求函数/(x)=)+eh 1+eA 1+eA。处不可导。己知生=，求/(%)dx 2 x Jin xl!j x=e f(M)(Vln x)-/(w),-,i-dx 2%41n x 2x-y In x/、1 1/()=-=-r X e0G)互为反函数,/(%)可导，且尸(x)h 0,/(3)=5,而g(x)=/(2(4x-3)|U)-3),当x=2 时，u=-2(5)=332g(x)=/(),一/(4x-3)/(4%-3 438 Ig（2）=/（3）.8（5）915）=8（3）=83/（3）作业111、填空题1）设函数 j=y（x）由方程In（x 2+V）=dy+si n x 确定，则（0）=1f 3 atI x=2)曲线 1+/2上对应于y2处的法线方程是y-=-fx-3at 2 5 4 y=-e x 1当y=0时，X=一1,yx=_=_1,所求切线方程为：y=-x-15、求下列函数的导数也dx1)y=y x sin x J-e*解：方法、y-/J si n x V1-J Jx sin x jl 一 e*I 2-l-e)方法二、J=y x sin x Jl-e 两边取对数得In y=U 2 IIn x+In si n x+In(1-e x|2)两边关于求导得：-yf=-f-+cot x-歹 2（l-ex）,1/：/v(屋y=y x sin xyj 1-e-+cot x.-2(x 2(1-ex)2)(cos x)=(sin y)解：（cos x）y=（sin y）”两边取对数得:y In cos x=x In si n y两边关于x求导得：y In cos x y t a n x=In si n y+x cot y yy t a n x+In si n yy=-In cos x-x cot j6,求下列参数方程所确定函数的导数金-11+tU+Ux=。(1 一 si n 0)2)iy=3 cos 0在7t dy(6 cos 0)cos si n 6用牟：=-=-小(0(1-sin 0)1 一 si n 8 cos 6 7、求三叶玫瑰线r=a sin(3。)(a 0)上对应于6=土点处的切线方程(直角坐标形式)。4x=r cos 0=a si n 3。cos 0 dy 3a cos 3。si n 6+a si n 30 cos 0解：,=-;-；=r si n 6-a si n 3si n 0 dx 3a cos 30 cos-a si n 36 si n 03 1+一、乃 r t a a dy 7 7 1当 6=一时，x=,y=,=-=4 2 2 公彳 3 1 22 2切线方程为：y 2 2 I 2)作业121、填空题1)y=2x2-x,在=1 处，当 Ax=0.01 时，则应有 Ay=0.0302 dy=0.032)设y=/(x)在无。处可微，则lim Aj=0X()-3)设/()可微，且.=/(sin 3 3x),则砂=3 si n 2 3x /(sin 3 3%)d(sin 3x)3 si n 2 3a;cos 3x /z(si n 3 3x)d(3x)=9 si n 2 3x-cos 3x /(sin 3 3 x)dx2、将适合的函数填入下面括号内使等式成立1)d(2+C)=-j=dxV x(1),3)d I t a n 3x+C =sec 3xdx(3)f%4 1 ,3 5)d-cos 2x+C=(x+si n 2x)dx4 22)d(in(1+x)+C)=-dx1+x1-1 1 T 111 A4)JI In x+一 In x+C I=-dxI 2 J x6)sin3x+c=cos 3xdx(3 J3、求下列函数的微分1)y=x3e 2x解：dy=(3x2 e2x-2 x3 e2x dx3)y=t a n 2(1+2x 2)解：dy=8 x t a n(1+2 x 2)sec 2(1+2 x2)dx4)r=In(sec.v+t a n x)2.sec x t a n x+sec x解：dy=-dx=sec xdxsec x+t a n x4、利用一阶微分形式不变形，求微分砂1)n x2+y2)=a rct a n 1/2 2 x2 xdy-ydx；-lx-+y)=-c/2 2 2 2 2x+y x1,x2 xdy-ydx-lxdx+2 ydy)=-n xdx+ydy xdy ydx 2(x2+y2)x2+y2 x2x+y dy=-dxx-.v2)xy-2x+y=0解：x-2x+y=0可化为2x-y,两边取对数得：y In x=In(2x-_v)d(yln%)=t/(in(2x-y)n In丁 1,、xdy+dx -yldx-dy)x 2x-y2 2x-y x dy-dxIn x+2x-y2x 2xy+y-dx x(2x-y)ln x+x5、设扇形的圆心角a=60 ,半径A=100 cm。如果R不变，a减少30,，问扇形的面积大约改变了多少？又如果a不变，R增加1c初问扇形的面积大约改变了多少？(y解：扇形的面积为S=X-7T X R22 180、t,dS 7iR 2 5001)当&=100 c加不变时，=-=-冗da 360 18500 125 125dS=-7T x(0.5)=-7T,此时面积大约改变了 -兀o18 9 9、”.丁夫QdS R 100 1002)当 a=60 不变时，-=7i,dS=-7i x 1=-兀dR 3 3 3此时面积大约改变了 O3下面我们计算精确变化变动前扇形的面积S=-X X 100 2=迎匕万 2 3 3A K 1(乃 71 2 5000 125第一次变动后的面积S =-X I-I X 100=-冗-冗2 3 360 J 3 9、J、一 I LJ/rr 1 兀 7 5000 201弟二次变动后的面积S 2=-X X 101-=-71+712 3 3 6作业131、填空题1)设 N=1。*，则 y 储)(0)=(in 10)2)设 y=si n 2 x,(x)=2 cos f 2 x+-3)设=-,则(6)(%)=(一 1)6*6!x2 6(1+2x)1+2x-4)设y=/(%)二阶可导，且其一阶导数、二阶导数均不为零，其反函数为x=*(y),则“、”广；1 1 0(p(1)=-=-=-=-dy dx 也(/)广(x)(/，了dx5)已知函数歹(x)由方程e，+6xy+x 2-1=0确定，则y(0)=-22、求下列函数的二阶导数1)丁=e si n x解：y=2 si n x cos x=si n 2x,y=2 cos 2x=2sin12x+()d(1)y-2 s i n|2x+-|I 2)2)r=e v si n x4、求下列方程所确定的隐函数y(x)的二阶导数1)j=t a n(x+y)解：方程两边关于x 求导得：=sec 2(x+y).(1+，)n/=(1+t a n 2(x+v)-(1+y)y，=(i+/)。+=J?-1)=-y y2)x+a rct a n y=y解：方程两边关于x求导得：1+-y=y y=-7=+y21+y y2 y=-2y 3y=2y3(l+y-2)=-5、求列参数方程确定的函数的二阶导数u dxx=In 1+f1)、1y=t-a rct a n tdx m(1+力)2+t(dy y,也u 1,d y=I dx J=dt=12 J=2=1+t*2 dx 巴(ln(l+/2)工 4/dt 1+t2x=f(t2)，J、(其中f存在且不为零)U=(/1)-/G)dx 1 dx dx_/(/)/(/)dtIe x 0解：由/（0）存在可得尸（0）存在且/（x）在x=0处连续。由连续性有lim/（X）=lim（a x 2+bx+=c=lim/（x）=lim e、=1=/（0）=cx-0+x-0+X f（）-x-o-所以C=1 O由广（0）存在我们有（0）=兀（0）,而,、/(A)-/(0)ah+bh/；(0)=lim-lim-=ta-o+h/i-o+h所以b=1。当 x 0 时，/0 时，/(x)=2ax+b-2ax+1所以广(x)=!X 0由/(o)存在我们有/；(o)=/(o),而(o)=limlim2 ah-=2ahf：(o)=Im0/(/，)-/(0)-=limh ho 1e-1-=1h所以a=一 2作业141、填空题1)设/(x)=x(x+l)(2x+l)(3x-l),则在区间(-1,0)内方程/(%)=0 有 2 个实/；-o hh根；在区间(-1,1)内广()=0有 2个实根。1 eAj r-12)函数/(x)=e*在区间0,1上的有限增量公式中的。等于 In Ax Ax3)在区间-1,2匕 函数/(x)=/+41-7%-10满足罗尔中值定理中的-4+34)在区间0,1上，函数/(x)=a rct a n x满足拉格朗日中值定理中的J=5)在区间o,一j上，函数/(x)=si n x,及尸(x)=x+cos x满足柯西中值定理中的冗一兀a rct a n-4不-82、设/(X)在,j上连续，在o,巴上可导，证明：在o,巴上至少存在一点2 J2 J使/)si n 2百+2/()cos 2g=0。证明:在区间0,j上考虑函数/(x)=./(x)sin 2x,由已知可得尸(x)在10,上连续，在10,上可导，口歹(0)=0=F I 2)，由罗尔中值定理在1。,巴上至少存I 2)在一点：，使得八(J)=0,而尸(x)=/0,F(l)=f(l)-1=-1 0。证明：在(a,6)内至少存在一点J,使得广仁)0,广(外)/-)=*0 c-a c-a b-c b-c在对函数尸(%)在区间巳，髭上利用拉格朗日中值定理，至少存在，(，)，使得广记)=广(口)广值)0。而*2)u(a,b),结论得证。5、证明下列等式或不等式2x/甘 、1)2 a rc t a n x+a rcsin-=一兀(其中 x 4-l)1+x2、2 x证明：设/(x)=2 a rct a n x+a rcsin-1+x21 2+2x2-4x2 2 2=-；-=-=02x 丫(1+X2)1+X 1+%1+X2 J所以当1时，工)为一常数，而八-1)=2*1-土-2=-I 4 J 2广（2=r+-j=i+x r因此，1时，e 夕证明：在区间1,x上考虑函数/(/)=丁，利用拉格朗日中值定理，至少存在彳e(1,x)使得,/(4)=/=-，而 J 1 n e,所以3)当 a 6 0 1 时，nb n la-b)a-bn na n(a-6)证明：在区间a,加上考虑函数x)=J,利用拉格朗日中值定理，在区间(a,b)中至少存在一点二使得bn-a又因为&)b-a nb (b-6、证明方程/+x-1=0在(0,1)有且仅有一个实根。证明：设/(%)=x5+x-l,因为/(0)=-1 0由零点定理，方程/+工-1=0在(0,1)至少有一个实根。如果存在a,6 e(0,1)都是方程d+%1=。的实根，旦a wb,不失一般性，可设则/(%)在区间a，刈上满足罗尔中值定理 的条件，因此，至少存在一点4 e(a,6)u(0,1)使得尸值)=5+1=0,而在实数范围 内不存在这样的J,所以方程/+%-1=0在(0,1)仅有一个实根。作业151、求下列极限1)lim-2 xf a;-si n x二#e +e x-2 e解：原式=lim-=lim 1-COS X一 si n xe+e=lim-=2-CO S X2)limIn x-1解：原式=lim=lim1-e、In si n x3)lim-：v-2 x)解：原式=li mcot x-4(%-2x)-CS C X lim-884)limx-)si n a-t a n x解:原式=lim.v f 0si n x-t a n xxlimv f 03x=limv-062x)t a n 一 x 2原式=-x lim-=limcot x 26)原式=lim2x-t a n2-2-j-=limx t a n x a-12CS C兀 71X2x-t a nX二lim.r-I2x-2 t a n x sec x4x2-2 sec 4 x-4 t a n 2 x sec 2 x-t a n2 x(l+3 s e c2 x-lim-=1 i m-12 x 26x23lim t a n%In%解：原式=limIn xlim.2si n-Y lim-=0 x-o+CO t Xx2、已知八n行阶连续的导数，且八0)=/(0)=1,求极限h m 7。In/(x)./(sin x)-1/(sin x)cos x用军：lim-=h m-=1io In/(x)I。/(x)/(x)8(1)3、设夕(x)在X=0处二阶可导,求常数a的值,使/(x)=:7x 0处可导，并求广(0)x=0的值。解：可导一定连续，由连续性有lim/(x)=lim )=/(0)=a,因此极限lim,)一定 xt x fX X-。1存在，所以lim*(%)=0=e(0)(因为可导一定连续)x-0。().(X)一夕(。)，小lim-=lim-=(p y)=aX T X X T X 0，八 r/()7()r h 一 r 9()-(。)/(0 j=lim-=lim-=lim-A-0 h 2。h Af o 力 2=1fa 3(。)“(0)2h 24、设/(x)=；X*,是证明导函数广(x)在x=0处连续。0 x=0证明：当X W0 时，/(x)=jeJX上 1 J_加.nlfl-e r/(“/(O).e 2 r 7.一3 x=0 R J,j(0 J=lim-=lim-=lim-=lim-a-()h .。h 1()L-o-2 2 2e h-eh=1 i m-=0/-o _L2e”2 6 11 -2 丫3 41 i m/f(x)=1 i m-e x=1 i m=1 i m-=3 1 i m=0=f r(0)x-0 x-0 丫3 x-0 x-0 x-0%2 2 2 2e x-e x e x3 X作业161、写出/(x)=L在=.1处带有拉格朗日余项的三阶泰勒公式。解：/(%)=-二，/(%)=二-,占，X X X X/(-1)=-1,./,(-1)=-2./m(-D=-6.=N.V/(x)=-l-(x+l)-(X+l)2-(X+l)3+-r(x+)42!3!4!2、写出/(x)=斑、带拉格朗日余项的阶麦克劳林公式。解：f(x)=ex+xe,f(x)=2ex+xe,(x)=ne x+xe x./-z(O)=1,广(O)=2./)()=“、2 d x”(+)+2f x)-X+X+-+-+-X2!(-1)!(+1)!3、写出/(x)=In x在无。=1处带皮亚诺余项的阶泰勒公式。解：/(X)=b,广=-/2=2()()=(-1)(-1)!一广(1)=1,(1)=-1,厂(1)=2(1)=(-1)一(-1)!2 3 nIn x=x-+-+(1)-+)2 3 n4、利用泰勒公式计算下列极限In(1+.Y)-si n x解：因为 In(1+x)=%-+?(%2),sin x-x-+o(x3)2 6Jl+X 2-1+-+O(X 2),C O S X=1-+8 o证明：设在X。G(0,1)处取得最小值，则八%。)=0，/(。)=0(费马定理)。由泰勒公式，我们有/(x)=知(%-x)2,其中J在x,%o之间，x e(0,1),当.丫=一时,2 2广（研12 1 21=2/、2n广仔）=-122-=82 py其中J在之间，所以J w(0,1)。2作业171、填空题1)设/(%)在a,”上连续，在(a,6)内可导，且在(a )内除/，盯两点的导数为零外，其他各点的导数都为负值，则/(龙)在，刈上的最大值为/(a)o2)设常数K 0,函数/(%)=lnx-工+K在(0,+8)内有零点2个。e-3)函数/(%)=J的单调增区间是(1,+00)单调减区间是(-00,0),(0,1)x-4)设方程d 3%+C=0在区间0,1上有唯一实根，则常数C的取值范围是0 C 2 o2、确定下列函数的单调区间1)V=入 了2 _ 2 _ 2解：y=2xe x-2x e x=2xe x(1 一 x)(l+x)_ x -1 x=-1-1 x 0 x=0 0 x 1+o 0+0此函数的单调增区间为(-8,-1,0,1；单调减区间为-1,0,1,+8)2)y=2x-nx解：+X X1 1 1_ 0cx e =-x 2 2 2y 0+此函数的单调增区间为|02；单调减区间为+00)3、求下列函数的极值1)y-(x-1)-lx 22当x=时，=0;当=0时，y不存在。52 2x 0 x=0 0 x 0,此函数不存在极值点。4、求下列函数的最大值、最小值1)j=x4-2 x2+5(-2 x 2)解：y=4x3-4x=0,解此方程得x=0,%-1,x=1当=2