北大版高数答案（上）.pdf

习题1.11.证明6为无理数.2证 若不是无理数，则J?=K，P，0为互素自然数.3=J,p2=3/.3除尽p2,q q必除尽p,否则p=3左+1或0=3左+2/2=91+6左+1,22=9/+12左+4,3除储将余1.故夕=3k,9 k2=3q2,q2=34;类似得3除尽?与p,q互素矛盾.2.设夕是正的素数，证明力是无理数.2证 设二上,a,b为互素自然数，则p=、,，=p/,素数?除尽，故除尽明 b ba=pk.p2k2=pb2,pk2=/.类似得夕除尽/?.此与4,6为互素自然数矛盾.3.解下列不等式：(1)|x|+|-1|3.;(2)|x2-3|2.解(1)若X 0,则一 +1%-2,%-1,(-1,0)；若0 x 1,则x+1 x 3,1 ,贝!Jx+x-1 3,x 3/2,(1,3/2).X=(-l,0)u(0,l)u(l,3/2).(2)-2 x2-3 2,1 x2 5,1|x|2 5,1 x 45,x=(1,肉 u(-a/?,-1).4.设为任意实数,证明|0+6以0|-|6|;(2)设|0-6卜1,证明|。|6|+1.证(1)|a|=|a+b+(-b)a -b.(2)a=b+(a-b)b+a-b 0.1;(2)x-a I.解(l)x+60.1或x+6 一5.9或x 0,X=(a+/,+c o)u(-o o,a 一/);若/=0,x w a;若/v 0,X-(-c o,+8).6.若a1,证明0-1七，其中为自然数.n证若a 1,显然底=b.a-1=(我1)31+b2+(V-l).7.设(a,力)为任意一个开区间，证明(a,与中必有有理数.证取自然数满足1/10 b-a.考虑有理数集合f f lA=An=-1 m g Z,若n(a,b)=0,则 4=Bb,C=n x|x a.5中有最小数加()/10H,(m0-1)/10 e C,b-a 加/l(r-(/0 1)/10=1/10，此与的选取矛盾.8.设(a,6)为任意一个开区间，证明(a,6)中必有无理数.证取自然数九满足1/10 b-a.考虑无理数集合=、万+A_阿e Z.以下仿8题.习题1.2-1-13证明函数y=Jl+x-4在(1,+8)内是有界函数.r-厂(11+x-4)(Jl+x+4)1 1t iky=s/i+x-y/x=-/-=/-r=0)-x+a+7 a)27 a(5)l im 一；-。2x2-2x-3解|1 区 1时,-1时,-=3,1+X 1+X X y=y 0);(2)l im x2=a2;(3)l im e =ea;(4)l im c o s x=c o s a.x a x a.a x a*x5证V。,要使|4-|=夕,由于y/x y/a 7 x+7 a sja只需 =二：9 x a 取 6=贝1J 当 x-a 5时，|x a 0,不妨设|x-a|v l.要使 x2-a2=x+a x-a s x a x-a +2a 14-|2a 只需(14-2a)x-a x-a 0,设x a.要使 I/e|=e(/-1)，即0(e “-1),1 e 1+,e e(0 x a In 1 H-|,取 b=min-,1,则当0 x a 5时，|e ea a+x ct-x-a(4)Ve 0,要使|c o s x-c o s a 1=2 s in *as in 士 2 2.x-h a2 s in-2.x a s in-2 x-a,取 b=6，贝l j 当 x-a 5日寸 J c o s x c o s a|a2.设l im/(x)=/,证明存在a的一个空心邻域(a-a)u(a,a+3),使得函数=/(x)在 x a该邻域内使有界函数.证对于=1,存在b 0,使得当0 1 x-a|5时，1/(x)-/|1,从而I/(X)|=|/(%)-/+Z|/(x)-l+l01.(2)l im1 COS Xr.22 sinz、X22 Xl im2XLim2 xtOsinX12x1222(3)l imXT0Y x+a yf a-=h mx1X(4)l im2 个x x Z2x2-2x-3-32 rx x 2-2-(6)l imXf 8(2x-3)2(2x+2)1(7)l im.r-0(2%+1)3。a/1+x Jl-%X(8)l imx-l(1I%+13x3+1l im(x+l)(x-2)iT(%+1)(9)l imXf 423o=12301.2x=l im-/-/=1.J。x(Vl+x+y/1-x).x+i 3l im-；-Xf T(X+)(%-12 cx-x-2x2-X+1)Vl+2%-3sf x-2=l imx-4x-T(X-X+1)-=l im-+1)x(x+l)(%，x+l)-3二=-1.3(+2x 3)(4+2)(,1+2%+3)(4-2)(4+2)(71+2x+3)(2x-8)(77+2)2111 t qq-一(X_4)(J1+2x+3)63 1x 1(10)l im-=l imxti 九一1 y-o(1+jf-lyn(n-1)2,ny d-y+l im-J，f 0 y=n.(11)l im l yJx2+1-yl x2-l =l im.-/=0.)x-G+i+Gi(12)l imx-0tn,w-1,aQx+axx+7 n.i 一1,bx+bxx+色。0)m,/m-1,anx+a.x+(13)l im-!-(*+bnaQ/bQ,m=n0,n mo o,m n+8 a/1+8/x4(14)l im；-二 l im-X-X+1 IS 1+1/X=1.%+3%-y/1-2x(15)h m-;-xO2 2,(%+3、#1 2x)(#l+3%+l+3/M-2x)=h m-,.-=,-、-、f (x+x2)(Vl+3x+%+3-M-2x)二 l im-2 f 23%(1+%)(%+3+#-M-2x)=l im-2-,-7-二(1+x)(Vl+3x+%+3记/%-2%)3l imxn+0-3-/1 Qin y I14.利用=l及l im 1+-=e求下列极限:-2 X xsin ax sin ax.a(1)l im-=l im-h m c o s px=.3。t a n px X-。sin px-r0 J3sin(2x2)s in(2/)2(2)l im-=l im-U I2 3%z 0 2x x-3%t a n 3x-sin 2x t a n 3x sin 2x 3 2 1(3)l im-=l im-l im-=-=x-o sin 5x A-0 sin 5x sin 5x 5 5 5(4)l im.=l im-x f O+，_c o s%x0+2 sin x+a.x a.c o s-sin-a%q xa X Cl2(6)l im 1+=l im 1 H=l im 1 Hr-|-5(7)l im(l-5j；)1/J=l im(l-5y)，/(5)jtO y f 0(8)l im 1+=l im 1 H l im 1 H=e.A,00 丫 Xf 8 y X8 丫 人，入 人)_5.给出l im/(x)=+c o及l im/(%)=-8的严格定义.x i7 x-COl im/(%)=+o o:对于任意给定的Z 0,存在5 0,使得当0|x-a A.x。l im/(x)=-8:对于任意给定的4 0,存在A 0,使得当x -A时/(%)0,要使 I-V1+02 3|=/X-2sin 2x(3)l im esin3xx 0J1+X2+1 1+X2+1X2 ,|X|0取 3=J7,则当 I X|3 时有 I Vl+X2-V1+02|,故 Jl+%2 在%=0 连续.=.5x+5a.5(x a)(2)(1)V,0,要使|sin 51-sin 5|=2|c o s-1|sin-1 s.2 2由于2|c o s +|sin 区 5|x-a|,只需5 x-a s,x-a ,2 2 5取5二土，则当|X-a|S时有|sin 5x-sin 5a 0,证明存在b 0使得当|%-%5时/(x)0.证由于/,(X)在/处连续，对于=/(%)/2,存在存在5 0使得当I%-0|b时/-/(x0)|/(%)/(/)/2=/(x0)/2 0.3.设在(a,6)上连续，证明|/(%)|在(a,6)上也连续,并且问其逆命题是否成立？证任取 玉(。,6),/在与连续.任给 0,存在5 0使得当|%-%|b时I/W-f(X0)，此时|(、)|-|/(xo)|/(x)-f(XQ)名故I 在。连续淇逆命题1%是有理数不真,例如/(%)=处处不连续，但是|/(九)|三1处处连续.-1,%是无理数4.适当地选取a,使下列函数处处连续：小、Vl+x2,x l,/(%)=(2)/(%)=，,a+x x 0;a r c c o sx,x 0-x f 0 x-0+(2)l im f(x)=l im l n(l+x)=In 2=/(I),l im/(x)=l im a a r c c o s 兀x=-a=/(I)=In 2,x1+x-l+Xf 1 x1-a=-In 2.5.利用初等函数的连续性及定理3求下列极限:,Jl+x _ yf x.y/1+x _ yf jc(1)l im c o s-=c o s l im-=c o s 0=1.XXf十8Xsin 2xIn n-2x-o sin 3 x(4)l im a r c t a nX8J+8X2+1x4+8,=a r c t a n l im-=a r c t a n 13 8 X+1714-5-(5)l im J(y/x2+1-yjx2-2)|x|=A/l im(y/x2+1-yjx2-2)|a:|Xf 8 V Xf 83Jl+1/+Jl-2/f6.设 l im f x)=a 0,l im g(x)=6,证明 l im)/(%)&)=ab.X XX证 l im)/(x)g(x)=l im)e(x)g=e。=J=JXX0 XT%07.指出下列函数的间断点及其类型，若是可去间断点，请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:(1)/(%)=c o s-间断点 w Z,第一类间断点.f(x)=sg n(sin x),间断点馆 Z,第一类间断点.r2 X=1/(%)=间断点X=l,第一类间断点.1/2,jv=1.%2+1,0 x 1(4)/(%)=1 间断点=1,第二类间断点.sin-,1 x 2,.%11-,0%1,2-x/(%)=,%,1%2,间断点=2,第一类间断点.1-,2 x 3.1-x8.设歹=/(%)在R上是连续函数，而y=g(x)在R上有定义，但在一点与处间断.问函数(x)=/(%)+g(%)及夕()=/(x)g(x)在0点是否一定间断?解(九)=/(%)+g(%)在/点一定间断.因为如果它在工。点连续，g(x)=(/(%)+g(%)-/(%)将在/点连续，矛盾.而(p(x)=/(x)g(x)在X。点未必间断.例如/(%)=0,g(x)=D(x).习题1.6-6-1.证明：任一奇数次实系数多项式至少有一实根.证设P(%)是一奇数次实系数多项式，不妨设首项系数是正数，则l im P(%)=+00,l im P(x)=-o o,存在4,8,4 B,P(A)0,尸在Z,8连续,根据连续函数Xf 8的中间值定理，存在o G(4 8),使得尸(%)=0.2.设0 1,证明对于任意一个打 g R,方程方=%-c sin x有解，且解是唯一的.证令/(%)=%sin%(|九 I 一 1)=T 凡 I T+1汽1汽J在I K l-h l为I+1连续，由中间值定理，存在%-1凡|1，1 匕)1+1，/(%0)=儿设2 项，/(x2)-/(演)=/一/(sin sin/)2%一项 I%2 演 I，故解唯一3.设/(%)在(凡6)连续，又设项,12 e(a,b),m1 0,m2 0,证明存在J e(a,b)使得 一户、_ 加|/(演)+%/(%2)m1+m2证如果/(%)=/(%2),取4=项即可.设/(%i)m+m2 m,+m2 mx+m2在值,马上利用连续函数的中间值定理即可.4.设y=/(%)在0,1上连续且0W 证明在存在一点注0,1使得f(t)=九证g(Q=/(O-g(0)=/(0)0,g(l)=/-1W0.如果有一个等号成立，取，为0 或1.如果等号都不成立，则由连续函数的中间值定理，存在(0,1),使得g)=0,即/=t.5.设y=/在0,2上连续，且/(0)=/(2).证明在0,2存在两点巧与使得|项%1=1，且/(%1)=/(%2).证令g(x)=f(x+1)-4%),X G 0,1.g(0)=/(I)-7(0),g(l)=/(2)-/(1)=/(0)-/(1)=-g(0).如果g(0)=0,则/(1)=/(0),取再=0,%=。如果g(0)0,则g(0),g异号，由连续函数的中间值定理,存在火(0,1)使得g 4)=/(J+l)-/C)=o,取玉=%2=4+L第一章总练习题-7-1.求解下列不等式:I 5x-8 I 14 2解-L 2.|5x-8|6,5%8 2 6 或 5x 8 一或 一.3 5 52(2)-3 3,2-3 -x-3 3,0 x|x-2|解(x +l)2 (x-2)2x+l-4x+4,x 22.设y =2x+2-x I,试将表示成歹的函数.解当 2 时,y=X+2,2 时，=3x-2,y 4,x=(j-2).3-2,4.33.求出满足不等式+x 1+x的全部x.2角星x 之一1.2 J1+x x+2,4(1+x)O.x 1,x 0.4.用数学归纳法证明下列等式：1 2 3一十丁2 22 23”n+22-2 2证当=1时，2-上=上等式成立设等式对于成立，则 21 21 2 3 n 4-1 1?2 n n-L 1-1-H-+2 2 2 2n+(2 22 2 2 2/,+1n+2 n+2+4(+1)(+1)+3=2+=2=2，即等式对于+1也成立.故等式对于任意正整数皆成立.(2)l+2x+3x2+1 一(+1)%+nxn+l(17)2(x w l).证当等式成立.设等式对于成立，则l+2x+3x2+(+l)xw=1 一(+1)%+nx(ifH+l-F(+1)X-8-1 一(+l)x +nx+(1-1)?(+l)x Of1-(+l)x +nx+l+(1-2x+x*2)(n+l)x (1)2 即等式对于+l成立.由归纳原理，等式对于所有正整数都成立.5.设/J2+XTM2X(1)求/(-4)1)2)J(2)的值;(2)将/&)表成分段函数；当1-0时/(%)是否有极限：(4)当-2时是否有极限？2-4-2 1-1-2-2-2解_4)二一一二二二 2 J(-2)二 寸二 2 J二-4/x,x -2;(2)/(x)=2,-2x 0.(3)无.因为 l im f(x)=2,l im f(x)=0 l im f(x).x-0 x-0+jttO(4)有.l im f(x)=l im(-4/x)=2,l im f(x)=l im 2=2=l im f(x),l im/(x)=2.x-2-x-2-x f2+x-2+x-2-x-26.设=14,即/是不超过14的最大整数.(1)求/(0)J住1/(旧的值;(2)/(%)在x=0处是否连续？/(X)在x=6处是否连续？(if1-(+l)x +nx+i+(xn-2x+i+xn+2)(n+1)(1-x)21-(w+l)x +nxn+i+(xn 2xn+l 4-xn+2)(n+1)(if1-(w+2)x，+1+(n+I)X4-2-22=0.(3、9解/(0)=T4=14J-=1412 J 4-6+-=-7./(a/2)=-12=-12.4(2)连续.因为 l im/(x)=l im-14=-14=/(0).Xf 0 y-0+不连续.因为 l im/(%)=12,l im/(%)=11.XT 一7.设两常数a,6满足0 a 6,对一切自然数，证明:1 w+1 n+j w+1 n+1/b-a n b-a(1)-(n+l)b;(2)(+l)a”(+l)a”.b-a(i Y/+i8.对=1,2,3,令 l+上,b=1+-k n)n)证明：序列%单调上升,而序列依单调下降，并勿.证令。=1+，,6=1+则由7题中的不等式,n+1 nV+1+n In+11 11 1+-+-;n n+1 n+1(n+I)-11o-7n(n+1)(n+1).最后不等式显然成立.当-oo(1时，1+(丫+if e,1 HI1，故 1+-/,+|e 1+9.求极限-10-1)1)223344 n n n 2T Qo).2Yl x10.作函数/(x)=l im(a w 0)的图形.8 nx+aA-X解 x)=l im一 mg nx+a0,x=Q;1/x,犬 w 0.11.在？关于有界函数的定义卜.，证明函数/)在区间a,们上为有界函数的充要条件 为存在一个正的常数使得|/(x)M,/x ea,b.证设存在常数H，N使得M /(x)GNRx e a,切，取/=ma x|%N|+1,则有|f(x)|M,/x g a,b.反之,若存在个正的常数使得|/(%)|加,曾。,办则-/f(x)M,/x ea,b.12.证明：若函数_)；=/(%)及歹=g(%)在a,切上均为有界函数，则/(x)+g(x)及/(x)g(x)也都是a,切上的有界函数.证存在,|/(%)|此,|g(x)M2,Vx e a,b.f(x)+g(x)|f(x)+g(x)M+M2,|/(x)g(x)|=|/(x)|g(x)|0和M 0,取正整数，满足5和M,则/(1)=M,n|n|故/(%)在(-5,3)无界.但是乂口=-0,/(x,)=(2+l/2)c o s(2+1/2)=0 oo,2+1/2 故当x f 0时/(%)不是无穷大量.-11-14.证明 l im n(x -1)=In x(x 0).一、一人 _ m,1 In x证 令一二兄，贝 In x=l n(l+y),n-.l im yn l n(l+y)二 l im%-1=0.nm c o注意到 l im 皿1,)=l im l n(l+y)=In l im(l+y)v=In e=1,)一 o y我们有-1)=匕 11%-In x n t oo).l n(l+兄)15.设/(%)及g(x)在实轴上有定义且连续.证明：若/(%)与g(x)在有理数集合处处 相等，则它们在整个实轴上处处相等.证任取一个无理数0,取有理数序列与T%o，/(%o)=1加/(%)=l im g(x j=g(x0).一816.证明l imx 01-c o s X 12 X2C 2 X2 sin 0.22 r 2sHi y-=h m-5 4y17、工明/n r 山(1+m e i一/“17.证明：h m-=1;(2)h m-=ejtO y x-0 X证l imXf 01-c o s X二 l imX XT/.、2sin y l im-12 1fy 71:21一 2证l imy-0l n(l+j)_l im l n(l+y)y=In l im(l+y)y=In e=1.y-0 y-0ya-ex 1e 一 1x+a(2)l im Xf 0-=l imX x-ea l imx f 0ea l imy-0 l n(l+y)l im-y-o ye 1)XX-=eW+J)1=e I118.设歹=/(%)在a点附近有定义且有极限l im=0,又设歹=g(x)在a点附近有xa定义，且是有界函数.证明l im f(x)g(%)=0.xa证设|g(%)|、,00,存在d0,使得当0|/(X)|s!M 则0|%-a|b时x-a d 时/(x)gWH/W1|g W|a19.设夕=/(%)在(-8,+8)中连续，又设C为正的常数，定义g(X)如下f(x)g(x)=C 当/(%)一C试画出g(x)的略图,并证明 8(%)在(-8,+8)上连续.-12-证(一)若 I/(-Xo)|C,则存在，0,当 I X-X。|，时 f(x)I X。XXq若/(%0)C,则存在 3 0,当 I x-x0|0,不妨设 0,使得当I尤-0|3时(x)C|,设 I%o|5,若/(%)C,则 g(%)=f(x),g(x)g(%0)1=1 f(x)-c 3 则g(x)=c,|g(x)-g(x0)=0(%“)T 1；取无理数列x：-%,则。(x：)T 0;故l im D(x)不存在,Z)(x)在不连续.X-Xq23.求下列极限：.(1+X)团 1 71,(1)l im-=0;(2)l im(a r c t a n x)sin-二XT8(1+2%J Xf+8 X 2t a n 5x t a n 5x/x 5(3)l im-；-=l im-；-；-=5.v l n(l+x)+sin x-x x l n(l+x)/x +sin x/x 11(4)l im(4)T=l im(l+y)i/y=e.x-I y024.设函数、=/(%)在0,+8)内连续，且满足08若/=l im an,则/是方程/(%)=%的根，即/(/)=I.?7oc证 an+l=f(an)8/?CO CO/?0C25.设函数歹=5(%)在(-8,+8)内有定义且处处连续，并且满足下列条件：(0)=1,E(1)=e,E(x+y)=E(x 证明E(x)=ex(f x G(一8,+8).证用数学归纳法易得(+设是正整数，则1()=石(1+1=石(0)=1(+(及)=(”E(n)=e iy=en 对于任意整数明6=，nc mnm.于是(内)=E(x).1)=/.于对于任意整数1 1-n nE(巴)=E(ml J)I=en=e即对于所有有理数乙=/.n n n 对于无理数%,取有理数列X”f X,由1(%)的连续性，l im xE(x):l im E(xn):l im/二 丁(/的连续性):/.一 8 一 8习题2.11.设一物质细杆的长为/，其质量在横截面的分布上可以看作均匀 的.现取杆的左端点为坐标原点o,杆所在直线为轴.设从左端点到 细杆上任一点x之间那一段的质量为加=给自变量一个增量%,求的相应增量加；Am(2)求比值，问它的物理意义是什么？AxAw(3)求极限l im，问它的物理意义是什么？AxC)=Ax解(1)加=2(%+Ax)2-2x2=2(x2+2x Ax+Ax2)-2x2=2(2x Ax+Ax2).(2)处二型竺士生岂=2(2%+Ax).也是到犬+Ax那段细杆的平均线密度.%Ax Axm(3)l im-=l im 2(2%+Ax)=4x.l im-是细杆在点了的线密度.Ax f 0 0 Ax f 0 A%-14-2.根据定义，求下列函数的导函数：(l)y=ax3;(2)y=-2px,p 0;(3)j=sin 5x.,a(x+Ax)3 ax3解/二 l im-.-Ax-0(x3+3x2Ax+3x Ax2+Ax3)-x3=a l im-Ax-0(2)yf=l im Ax，20(+%)-2px=a l im(3x2+3x Ax+Ax2)=3ax2.x f0%Jip l imV Ax-0Ax=J2p l imV Ax f O(J)+A%/x)(，%+=+x)=J2p l im Y A.r-0AxAx(Jx+A%+yx)A%(Jx+Nx+a/x)历加 1 乓x-，%+%+Jx 2、x,.sin 5(x+Ax)-sin 5x(3)y 二 l im-二Ax-0Ax/*+A%),5Ax 1-sin-2 c o sl im-x f 05(2%+Ax),5Ax-sin-2%25 Ax2,5 Ax u/c a、sin-5(2x+A%)2 u u=5 l im c o s-h m-=5 c o s 5x.2 Ax f o 5 Ax22=l im 223.求下列曲线歹=/(%)在指定点M(%o，/(%o)处的切线方程：歹=2R(0,l);(2)y=Y+2,5(3,11).解(1)歹=21112,_/(0)=1112,切线方程歹一1=1112(%-0)/=(1112)x+1.(2)=2x,0)上任一点(x,y)(x 0/0)处的切线斜率,-15-证 y=y2px,y2P2yj2px2，过点的切线尸方程：Y-y=(X-x).yy2切线与x轴父点N(X0,0),y=x),X。x x.y pFN=+x,FM=Jf x-+y2(3)r W&时g(r)可导.,GM,2GM,+g_(R)=-r，g+(R)=-广手 g _(R),g S)在=R不可寸.R R2 Vl 2 J-/、22,Px+px+2p=x/=FN,故/FNM 2=AFMN.过M作尸0平行于轴，则NPMQ=ZFNM=ZFMN.5.曲线y=/+2%+3上哪一点的切线与直线=4%_i平行，并求曲线在该点的切线 和法线方程.解 y=2x+2=4,%。=1,凡=6,左=4(1A 1 25切线方程:y-6=4(x l),y=4%+2.法线方程：y 6=-(x-l),y=-X+.I 4；4 46.离地球中心厂处的重力加速度g是尸的函数，其表达式为g(r)=,其中R是地球的半径，是地球的质量,G是引力常数.GM问g()是否为一的连续函数:(2)作g(r)的草图;(3)g(r)是否是冲勺可导函数.解明显地，厂w R时g“)连续.l im g(r)=l imGMr GMf R-R3-r2l im g(r)=l imr/?+GM GM2 d2 r R=l im g(r),g S)在=R连续.yf R A A f-16-7.求二次函数尸(%),已知:点(1,3)在曲线y=P(x)上，且P(0)=3,P(2)=1.a+b+c=3解 P(x)=ax2+bx+c,P(x)-2ax+b.=；，y=元=;e e e(8)y=/.口 Jl+x l n l O).sin x x c o s x-sin x(9)y-x c o s x h-,y-c o s x-x sin%+-x x(10)y=ex sin x,y=ex sin x+ex c o s x=ex(sin X+c o s x).9.定义：若多项式尸(x)可表为尸(x)=(x-Xo)g(%),g(%0)w 0则称为是P(x)的冽重根.今若已知与是尸(%)的左重根，证明与是尸()的(k-1)重根(左2).证尸(%)=(x-x0)*g(x),g(x0)W 0产(%)=k(x-Xo)klg(x)+(x-Xo)fc gr(x)二(X 一%0尸(馆(尤)+(%-o)g(%)=(尤-%0)%(%),h(x0)=馆(0%)W 0,由定义/是PQ)的(左-1)重根.-17-10.若/(%)在(-a,。)中有定义,且满足/(-%)=/(%),则称/(%)为偶函数.设/(%)是偶函数，且/(O)存在,试证明/(0)=0.1-/(%)八)/(-)-/(0)./(-x)-/(0)证/(0)h m-=h m-=-l im-=-f(0),f(0)=0a0 jq x0%x f0%11.设/(%)在/处可导，证明 l im/(犬。+)一/(%)=2/a。).-2 Ax、工/(x0+Ax)-/(x0-Ax)_ 1/(%+%)一/(%)/(x0-Ax)-/(x0)TLl Hill-11111 2 Ax 2心-。|_ Ax Ax1 v/+%)/(%),/(%A%)八/)一 l im-1-2 A”Ax-Axu l im/(xo+Ax)-/(xo)+lim a。)2|_Ax-0 Ax Ax-0-Ax 小。)+广(%。)二/(%。).12.一质点沿曲线y=/运动,且已知时刻e(o t o+x x f O+i+e 14.设/(%)=|x-a|*(%),其中9(%)在x=a处连续且/(a)w 0.证明/(%)在x=a不可导.证(a)-h m-?(a),f+(a)-h m-=(p(a)w(a).习题2.2-19-1.下列各题的计算是否正确，指出错误并加以改正:(1)(cosa/7)，=-sin&,错.(co s)，=-sin x s/x(2)l n(l-x)=,错.l n(l%)=(1 x)=1 x 1 X x 1(3)x2-/l+x2=(，)(a/1+x)=2%-,错.r x3 2x+3x+%+I=-，l+X2+/(4)in x+2 sin2%|J-(1+4 sin x)c o s x,错.x+2 sinxIn|x+2 sin2 x n=-(1+4 sin%c o s%).L J x+2 sin x2.记/(g(x)=/(m)|“=g(x).现设/(%)=/+i.求/(%)J(0),/(/),/(sin%);(2)求;/(/),4-/(s in x);ax ax/(g(%)与(g(x)是否相同？指出两者的关系.解/(%)=2%,/(0)=0,f(x2)=2/,/1sin%)=2sin.(2)；/(号=/(号(1)=2/axd/(sin x)=/(sin x)(sin x)=2 sin%c o s%=sin 2x.d x(3)/(g(x)与/(g(%)不同,(g(%)=/(g(x)g(x).3.求下列函数的导函数:2,二二X 12：I 6x2(2)y=se c x,y =(c o s a:)-1)=-(c o s x)-2(c o s x)=-(c o s x)-2(-sin x)=t a n%se c x.(3)y=sin 3x+c o s 5x,y =3 c o s 3x -5 sin 5x.(4)y=sin3 x co s3x,y=3sin2 x c o s x c o s3x-3 sin3 x sin 3x=3 sin2 x(c o s%c o s 3x-sin%sin 3x)=3 sin2 x c o s 4x.-20-l+sin2x 2 sin x c o s x c o s x2-(1+sin2 x)(-sin x2)2x(5)y=；-y 2;c o s x c o s x sin 2x c o s x2+2x(1+sin2 x)(sin x2)(6)y=t a n3 x-t a n x+x,y=t a n2 x se c2 x-se c2 x+1 3，2 2,2,2 z 2 1，4=t a n x se c x-t a n x=t a n x(se c x-1)=t a n x.y=eax sin bx,y=aeax sin bx+beax c o s 6%=eax(a sin bx+Z?c o sZ?x).(8)j=c o s5,1+,V=5 c o s4 Vl+x2(-sinx1+x25x c o s4+sin Jl+x212s in f-+(2n c o s4/X 7C-1-(2 4 J1(10)y=In 2ax-ax+a(a 0,%w a),y=1 x+a(x+a)-(x-a)22a x-a(x+a)14.求下列函数的导函数:x(1)j=a r c sin a 0),yf-a11-/、x1 i2 a y/a2-x2V1 x,1 1(2)y=-a r c t a n-(0),y=-1a1+(x、212,2a+x2(3)j=x a r c c o s x(|x 0),a-21-2(8)y N 彳 a I、2nd44 5 1+a十b2 X q+6+(45)fa n I1(袅 V 5IV0).2 X 2 X(a+5)co s+(q b)sm I 14+5 co s X(9)y u(1+77)(1+v 7)(l+衍):n y H m(l+5/7)+hl(l+VI 7)+hl(l+宙):1 2 3y02(1+7 7)7 7+2(1+2(1+句)1 2 3_l2(1+你)12(1+2(1+(10)y n J l+X+2 X 2y、1+4 X+X+2 X 2(12)y J%lI X22 0 X 2+4 1 X2(13)y=l n(x+a/+a),/二1+q 2/+。2(14)y=(x-1)a/(3x+1)2(2-x).In y=l n(x-1)+l n(3x+1)+l n(2-x),3 3V 1 2 1-1_=_I_I_y x-1 3x+1 3 2-x,1 2 1-1y=y-+-+-_x-1 3x+l 3 2-x_(15)歹=ex+ee,y，=ex+ee ee).(16)y=x +ax+a11(a 0).a.a i.vf a a-I,x 1 z a-l ,a i x iy=a x+a In a(a x)+a In aa In a(l i X ca a i x 41.a x i 2=a x+amaa x+a a m a.5.一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭，它与发射台之间 的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭，初速度为0,火箭以的匀加 速度8m/s2垂直地向上运动；若雷达探测器始终瞄准着火箭.问：自火箭发射后10秒钟时，探测器的仰角9(E)的变化速率是多少？解工=L u1,t a n 0(t)_ x(f)_/，2400 100t2111 n0(t)=a r c t a n-，。)=-11001+/二、2 501+，50100)0).x 3+y 3y=0,yr=3 3(2)(x-a)2+(y-b)2=为常数).,x-a2(x-a)+2(y-b)y=0,y 二-y b(2)y=(Jx+2-V2)sin x=/-=,2阶.v x+2+/2(3)j-x(l-c o s x)-2阶.2 2.已知：当x.0时,。()=试证明 a(%)=o(x).a(x)a(x)证-=-X=O(1)X=O(l).X X3.设 a(x)=o(%)(%0),/?(x)=o(x)(x t 0).试证明:a(x)+0(x)=(?(%)(%f 0).a(x)+p(x)a(%)?(%)Ur-=-1-=o(l)+o(l)=o(l).X X X上述结果有时可以写成o(x)+o(x)=o(x).4.计算下列函数在指定点/处的微分：(l)y=%sin x,x0=九/A.y=sin x +x c o s 与,，：-=1+力=-j=l+(2)y=(l+x(a 0是常数).y-a(l+%)，y(0)-a,d y-ad x.5.求下列各函数的微分：d x.1 一%2,2 Id x-=-1+-,y=-4 d y=-r1+X 1+X(1+X)(1+X)(2)y=x ex,y-ex+x ex-ex(1+x),d y-ex(1+x)d x.26.设y=(w l),计算当X由3变到3.001时，函数的增量和向相应的微分.X 1解V,:1_2102.、y_X-25-(3)a r c t a n =In y/x2+y2.x歹J-/%_ x+y/、2 2,2(y)x+yi+一X)町_y2.2 x+y%+，,x+P相，孙y=+抄，丁二-x+y x-y(4)y sin x-c o s(x-y)=0/s in x+y c o s x+sin(x-y)(l-y)=0,yco sx+sin(x-y)y ；sin(x-y)sin x9.求下列隐函数在指定的点的导数:(1)歹 2-2x yx2+2x-4=0,M(3,7)2yy-2y-2x y-2x+2-0,y-y+x-1,-，/y x7+3-1 97-3 4(2)ex y-5x2y 0,M(2 o ne 20ex y(y+x y)-l Ox j-5x2yf=0,y=1 Ox j?-yex y,(e x ex y-5x2，歹 J。,20 220-2_=02 4 U.p oe2-5：10 10010.设y=/(x)由下列参数方程给出，求/=空:d xx=2t-12一d y _ 3 3t _ 3d x 2-2/2x=t int d y e(2)=-w l/e.y=e d x In Z+11%=a r c c o s).t y=a r c sin/,Vi77i(n 2tL 11 2八1+产 d y _ 177_a/1+1-”3+J=sg n。)/w 0.-26-2 211.试求椭圆周+二=1上一点0(%,歹。)处的切线方程与法线方程.并 a b证明：从椭圆的一个焦点向椭圆周上任一点M发射的光线，其反射线必通过 椭圆的另一个焦点.2x 2yy)b2x切线方程：y-y0=法线方程：y-凡=Mx。、。)苦+当”a b2 ci y 0 2 2 2不(%o),Q yox-b-xGy=(a b%)2 a y/)